安徽省肥东县某中学2024年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

安徽省肥东县二中2024年高三二诊模拟考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为后的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该

几何体的体积为（）

俯视图

A.3B.473C.2D.273

33

2.若复数及上（awR）是纯虚数，则复数2。+2,在复平面内对应的点位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在等差数列{"〃}中，若S〃为前〃项和，2%=〃“+12,则£的值是（）

A.156B.124C.136D.180

4.已知集合A={y|y=|x|-1,xGR},则下列结论正确的是（）

A.-3GAB.3任BC.ADB=BD.AUB=B

/、\e\x<\/、

5.已知函数/（"二〈，/川j若方程/（同一如一1=0恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）

A.（号1）B.

C.（彳』）u（l,e-l）D.

I3/13J

6.已知随机变量X服从正态分布N（l,4）,P（X>2）=03,P（X<0）=（）

A.0.2B,0.3C.0.7D.0.8

7.若z=（3-，jg+ZOSsR）为纯虚数，贝陵=（）

16.20.

A.iB.6iC.iD.20

33

8.已知函数/。）=3"2-。一1湾（〃£我）若对区间[0,1]内的任意实数内、/、七，都有/（“+/（/）2/（不），

则实数。的取值范围是（）

A.[1,2]B.[e,4]C.[14]D.[1,2）u[^,4]

9.已知/（x）是定义是R上的奇函数，满足/（一^+1）=/《+“，当犬£（°，（）时，/（A）=ln（x2-x+l）,

则函数/（x）在区间[0,6]上的零点个数是（）

A.3B.5C.7D.9

10.已知抛物线C:），2=8x的焦点为F,48是抛物线上两个不同的点，若|Ab|+|3b|=8,则线段A3的中点到

y轴的距离为（）

3

A.5B・3C.-D.2

2

11.若复数z=2，〃—l十，位（mwA）在复平面内的对应点在直线丁―一x上，则，等于（）

12.如图，平面四边形AC3O中，AB1BC,AB=C，BC=2,AAH力为等边三角形，现将/MB。沿AB翻

折，使点。移动至点?，且PBL/3C,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A.8万B.67rC.4乃D.------71

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC中，（A8—；IAC）>L3C（/1>1），若角力的最大值为?，则实数4的值是_____.

14.己知正方形A8CO边长为3,空间中的动点P满足24=2,PC=2PD,则三棱锥A—PC。体积的最大值是

*

15.在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程y=（。>0）转化为线性回归方程，即

两边取对数，令z=ln），，得到zujx+lg.受其启发，可求得函数y=M叫.）（x>0）的值域是.

16.直线/是圆G：（x+l）2+），2=l与圆G：*+4尸+），2=4的公切线，并且/分别与x轴正半轴，），轴正半轴相交

于A,B两点，则A4O8的面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数〃x)=sin(5+。)(。>0,I。|<])满足下列3个条件中的2个条件:

①函数的周期为〃；

②R=g是函数/(公的对称轴；

6

③/=0且在区间上单调.

⑷(62)

(I)请指出这二个条件，并求出函数/*)的解析式；

(II)若XC0,y,求函数/(X)的值域.

18.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同

性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,

统计情况如下表：

同意不同意合计

男生a5

女生40d

合计100

(1)求a,d的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由;

(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调

查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.

2

叽02n(ad-bc)

附：K二-------------------------

(。+b)(c+d)(。+c)(b+d)

2

P(k>k0)0.150.1000.0500.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

x=rcosa4cos，

19.(12分)已知直线/的参数方程为尸》sina-'为参数)'曲线0的极坐标方程为止而

⑴将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状;

⑵若直线/经过点(1,0),求直线/被曲线。截得的线段的长.

20.(12分)已知函数/(x)=|2x-l|-|2x+l|,记不等式“X)<4的解集为〃.

(1)求M;

⑵设证明：|幽一|4一网+1>().

21.(12分)已知奇函数/(x)的定义域为R,且当时，/(同=f-x+L

(1)求函数/")的解析式；

(2)记函数g("=/(x)-〃吠+1,若函数g(x)有3个零点，求实数加的取值范围.

y2v2I3

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：—+上=1(〃>6>0)的离心率为二.且经过点(1,i)

a-b*22

A,8分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点尸的直线/交椭圆C于。，£两点(其中。在x轴上方).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若△?!£尸与△吕。尸的面积之比为1：7,求直线/的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积.

【详解】

由题意原几何体是正三棱柱，V=-x2xV3x4=4x/3.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.

2、B

【解析】

化简复数号'由它是纯虚数'求得从而确定2a+2,对应的点的坐标.

【详解】

2a+2i2(。+i)(lT)67+1=0

=。+1+(1-〃)，是纯虚数，则

1+/(1+0(1-/)1一。

2〃+2，=-2+23对应点为(-2,2),在第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考杳复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.

3、A

【解析】

因为%+41=24=。“+12,可得%=12,根据等差数列前〃项和，即可求得答案.

【详解】

%+41=2弓=%]+12,

二.%=12,

•*-S13=L_13%=13x12=156.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列前〃项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前〃项和公式，考查了分析能力和计

算能力，属于基础题.

4、C

【解析】

试题分析：集合A={y|yN-l}.•.8qA/.AcB=B

考点：集合间的关系

5、D

【解析】

当X>1时，函数周期为2,画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数/（工）和），=加工+1有图像两个交

点，计算心c=?,限=-1,根据图像得到答案.

【详解】

当柒>1时，/（%）=/（x-2）,故函数周期为2,画出函数图像，如图所示：

方程/（1）一如一1=0,即/（%）=侬+1,即函数/（x）和y=〃a+1有两个交点.

〃力=心/"）=-,故/⑼甘，8（1,e）,C（3,e）,1.

根据图像知：，〃£（『，—

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.

6、B

【解析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出P（X<0）=P（X>2）,进而可得出结果.

【详解】

•••x7V（1,4）,所以，P（X<0）=P（X>2）=0.3.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.

7、C

【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

z=(3-，)(〃+2，)=3〃+2+(6-々)，

・・・z=(3T)(a+2i)(a€H)为纯虚数，

，3。+2=0且6-。工0

得4=-2,此时7=改，

33

故选：C.

【点睛】

本题考杳复数的概念与运算，属基础题.

8、C

【解析】

分析：先求导，再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间［0,1］内的任意实数用、用、工，都有

/(^)+/(^2)>/(%3),得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.

详解：由题得fr(x)=ax-［ev+(x-1)^v\=ax-xex=x(a-ex).

当aVl时，fXx)<0,所以函数f(x)在［0,1］单调递减，

因为对区间［0,1］内的任意实数小朴七，都有/(%)+/(%)N/(七)，

所以/(1)+/(1)2/(0),

所以!4+

22

故01,与aVl矛盾，故aVl矛盾.

当1qve时，函数f(x)在［0,lna］单调递增，在(Ina,1］单调递减.

所以/(r)max=/On。)=gaIn2”一〃In〃+a,

因为对区间［0,1］内的任意实数不、々、工3，都有/(5)+)(工2)2/(七)，

所以/(0)+/⑴N/(lna),

所以l+'azLaln：alno+d

22

1,1

即一。ln-。一。hi。+一。-1K()

22

2

令g(a)=—wina-a\na+—a-1,(1Sa<e)f

所以，(。)=3(1M〃一1)<0,

所以函数g(a)在(1,e)上单调递减，

所以g(4)nm=g⑴=一3<0，

所以当Bave时，满足题意.

当aNe时，函数f(x)在(0,1)单调递增，

因为对区间［0,1］内的任意实数玉、号G，都有七)，

所以f(0)+f(0)"(D,

故1+12」〃，

2

所以4(4.

故eW。<4.

综上所述，a£［L4］.

故选C.

点睛：本题的难点在于“对区间［0,1］内的任意实数不与、&，都有的转化.由于是函数的问

题，所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就

是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.

9、D

【解析】

根据/(1)是定义是R上的奇函数，满足/(一日+工

,可得函数/(工)的周期为3,再由奇函数的性质结

33

合已知可得/(-$)=/(-1)=/(0)=/(i)=/(5)=o,利用周期性可得函数〃力在区间［0,6］上的零点个数.

【详解】

・・・/("是定义是R上的奇函数，满足/一彳十1=f-+x,.•J(_3+x+3)=/q+x+：),可得

/(x+3)=/(x),

函数/(工)的周期为3,

丁当时，/(X)=,n(%2-X+1)»

令/(力=。，则丁7+1=1，解得T=。或i,

又•・•函数/(犬)是定义域为R的奇函数，

・•・在区间［一|,|］上，有=—/(1)=0,/(0)=0.

由/--+x=/-4-x,取4=0,得/(一三)=/(三)，得/(三)=/(一:)=0,

\27\272222

.\/(-|)=/(-1)=/(0)=/(1)=/(1)=0.

又♦・•函数/(x)是周期为3的周期函数，

3Q

・・・方程/(力=0在区间［0,6］上的解有0片,2,3叱,5,6.共9个，

故选I).

【点睛】

本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题.

10、D

【解析】

由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知IAFI+1B尸|=*+2+电+2=8，继而可求出

%+9=4,从而可求出A3的中点的横坐标，即为中点到)'轴的距离.

【详解】

解：由抛物线方程可知，2〃=8,即p=4,「./(ZO).设4(,%)［),8(工2，%)

贝!!|4耳=内+2,忸尸|=/+2,即|A"十|8/|=王+2+/+2=8,所以玉+七二生

所以线段AB的中点到>轴的距离为"三二2.

2

故选:D.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A8两点横坐标的和.

11、C

【解析】

由题意得2加-1+m=0,可求得〃?=；,再根据共枕复数的定义可得选项.

【详解】

由题意得2机—1+机=0,解得〃?=!，所以z=—!+!"所以1=一_1__1八

33333

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的几何表示和共扼复数的定义，属于基础题.

12、A

【解析】

将三棱锥P-A8C补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角

形的外心连线上，在RtOBE中,计算半径08即可.

【详解】

由A8_LZ?C,PB上BC,可知4C_L平面RW.

将三棱锥A8C'补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.

由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记△ABP的外心为E，由△A3。为等边三角形，

可得BE=1.又。E二半=1,故在Rt：.OBE中,OB=g,

此即为外接球半径，从而外接球表面积为87.

故选：A

【点睛】

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

把向量进行转化，用4表示cosA,利用基本不等式可求实数4的值.

【详解】

(AB-AAC)(-AB+AC)=-c2-Ab2+(2+IoccosA=0

1Ahc2\IAGM殂7_[

cos/4=---（—+-）>----=——，解得4=1.

A+lcb2+12

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.

14、亚

4

【解析】

以A为原点，A8为x轴，AO为）'轴，过A作平面A8C。的垂线为z轴建立空间直角坐标系，设点根据

题中条件得出a—3〃—5,进而可求出卜|的最大值，由此能求出三棱维A8体积的最大值.

【详解】

以A为原点，A8为4轴，AD为｝'轴，过A作平面ABC。的垂线为二轴建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,。（3,3,0）,。（0,3,0）,设点尸（〃也c）,

空间中的动点尸满足B4=2,PC=2PD,

yja1+b2+c2=2

所以整理得。=3〃-5,

J(a-3『+(L-3『+c?=2亚+(〃—3f+c?

23

/.|c|=yl4-a2-b2=J"(3b-5)2=卜+一，

2

当b=),〃=_，时,

22

XXX

所以，三棱锥A-PC。的体积为匕A-rpLUg：/r-AA(.UCD3=-SZViC^1.C^D'\^3--2^—2=--

因此，三棱锥A-PC。体积的最大值为地.

4

故答案为：乎

【点睛】

本题考杳三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

1

15、—,+oo

3

【解析】

转化y=式阳(QO)为log3y=(log/+1)2-1,即得解.

【详解】

由题意:

log,，9v>2

_v=x(x>0)=>log3.y=log3x(log39x)=log3x(2+log3x)=(log3x+1)-1>-1=>

J

1

故答案为:一,+8

3

【点睛】

本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

16、克

2

【解析】

根据题意画出图形，设。4=。,。8二人，利用三角形相似求得。力的值，代入三角形的面积公式，即可求解.

【详解】

如图所示，设OA=a,OB=〃，

由AA8G与AAOG相似，可得"1=！，解得〃=2,

-'。十42

再由A40B与AAEC,相似，可得I二业士1,解得b=立,

132

由三角形的面积公式，可得AAO8的面积为5=,6力='、2乂也=立.

2222

故答案为：立.

2

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能

力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)只有①②成立，X(%)=sin2x+2；(II)1

I6JP-

【解析】

(I)依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.

(II)OWxwf得到乙工2工+巳与皂，得到函数值域.

3666

【详解】

/T、-L/-X_71(0,71,7171(0,“

(I)由①可得，—="=>3=2：由②得：-----\-(p=krr-\—n(p=kjr〜-------,keZ；

co6226

冗①乃①)7、乃乃乃2万、2万八

由③得，-----卜(p=m兀=(p=m兀----,meZr—>-----=—=——>—=>0<<w<3；

442263。3

若①②成立，则啰=2,(p=-,/(x)=sin(2x+f],

6ko7

jrmTT

若①③成立，则仁加不合题意,

7t(i)

若②③成立，则kiI:=m7V""=3=12(w—k)—6>6fm、kGZ,

264

与③中的0<©43矛盾，所以②③不成立，

所以只有①©成立，/（x）=sin（2x+J

（II）由题意得，OWxW—=>—W2A>+—W—=—V/（X）W1,

36662

所以函数/*）的值域为.

【点睛】

本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

18、（1）4=20,1=35,有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出。，d,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父

母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.

【详解】

（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%,

所以々=60—40=20,d=40—5=35

文⑵由列联表可得“看震曹

而P（炉>5.024）=2.日

所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关

（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为：

100{

即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为最由于总体容量很大,

O

故X服从二项分布，

即ASB（4，?，汽*=k）==0,123,4］从而X的分布列为

X01234

.Mn*J

saS3

X的数学期望为E(X)=4x：=?

b9

【点睛】

本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.

19、(1)曲线C表示的是焦点为(1,0),准线为工二-1的抛物线;(2)8.

【解析】

4cos。

试题分析：(1)将曲线。的极坐标方程为P=两边同时乘以「，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其

sin26>

直角坐标方程；(2)由直线/经过点(1,0),可得tana的值，再将直线/的参数方程代入曲线C的标准方程，由直线参

数方程的几何意义可得直线/被曲线。截得的线段C的长.

试题解析：(1)由夕=——可得023/0=42cos。，即丁二4了,

sin~6

・・・曲线C表示的是焦点为(1,0),准线为其=-1的抛物线.

x=tcosa:I=tcosa

(2)将(1,0)代入，，得：八•tana=—1,

y=1+tsina()=1+tsina

37r

,:0<a<7ra=—・・・直线/的参数方程为(/为参数).

f4

将直线1的参数方程代入V=4x得/-6+2=0，

由直线参数方程的几何意义可知，

=

|AB|=|f|—t2\=J(Z[+,)~-血,，42-8=8.

20、(1){x|-l<x<l};(2)证明见解析

【解析】

(1)利用零点分段法将/(x)表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M.

(2)将不等式坐标因式分解，结合(1)的结论证得不等式成立.

【详解】

-4x,x<--

2

c11

（1）解：/（x）=«2,—vx<一,

22

4x,x>-

2

由/(%)<4，解得—Ivxvl,

故M={x|-l<x<l}.

⑵证明：因为批HwM,所以同<1,例<1,

所以|园一（同+同）+1=（同一。

所以阿一同一回+1>0.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.

x2-x+l,x>0

21、（1）/（x）=<0,x=0；（2）（2&-1,+8）

—X2—X—l,X<0

【解析】

（1）根据奇函数定义，可知/（0）=0；令X£（F,O）则—XW（O,R）,结合奇函数定义即可求得X£（ro,0）时的解

析式，进而得函数/（X）的解析式;

（2）根据零点定义，可得/（力=加51,由函数图像分析可知曲线y=/（x）与直线），=如-1在第三象限必1个交

点，因而需在第一象限有2个交点，将），二九Y-1与），=/一X+1联立，由判别式」〉0及两根之和大于0,即可求得

m的取值范围.

【详解】

（1）因为函数/（X）为奇函数，且X£R,故/（o）=o；

当X£（-CO,0）时，-XG（0,+OO）,

/(—x)=(—X