北师大版八年级数学下册同步讲义 第1讲 等腰三角形原卷版+解析

第1讲等腰三角形

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1.掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.

2.掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理.

3.熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.

8父知识精讲

知识点（）1等腰三角形

1.等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角

叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示,在AABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰,BC为底边，NA是顶角，NB、

ZC是底角.

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝

角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

1go。_/A

ZA=180°-2ZB,ZB=ZC=.

2

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有•条对

称轴.

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为

边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【知识拓展1］根据等边对等角求角度

例1.（2023・贵州•思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形48c中，AB=AC,点、D为

AC上一点，AD=BD=BC,则/A等于多少？

例2.（2023•黑龙江省八五——农场中学八年级期末）如图，ZiaBC中，A8=4>C。，BD=AD,^A48C^ZCAB

的度数

例3.（2023•广东•广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在RJABC中，ZC

=90。，。是8c上一点，且DA=08,Z8=15°.求NC4。的度数.

例4.（2023•广西三江•八年级期中）如图，在△A8C中，点。在8c上，AB=AD=DC,/8=80。，求NC的度

【即学即练1】如图，已知AABC中，AB=BD=DC,ZABC=105°,求NA,NC度数.

【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,求/B的度数.

【知识拓展2】利用三线合一求解与证明

例1.（2023•湖北武汉•八年级阶段练习）如图，点D,E在△八8c的边8c上，AB=AC,AD=AE,求证：BD

=CE.

BDE

例2.（2023•重庆•八年级期中）如图：己知等边ABC中,BDLAC,垂足为。，E是5c延长线上的一点,

且cE=m

（1）求证：BD=DE；

（2）若“为昭中点，求证：DM平分4BDE.

例3.（2023•河南镇平•八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片

段，请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1,（1）分别在射线04。8上截取OC=OD,OE=OF（点C,£不重合）；（2）分别作线段CE,

DF的垂直平分线/I,/2,交点为P,垂足分别为点G,H；（3）作射线OP,射线OP即为N40B的平分线.

简述理由如下：

由作图知，ZPGO=ZPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以PGO合RtaPH。，则NPOG=NPOH,即射

线OP是NA08的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2,（1）分别在射线04OB

上截取。。=。0.O£=OF（点。，£不重合）：（2）连接。£,CF,交点为P：（3）作射线OP.射线OP即为

N408的平分线.

任务:

（1）小明得出R3PG。合RSPHO的依据是（填序号）.

①SSS；②S4S；③A4S；④ASA；⑤HL

(2)如图2,连接EF.

①求证：△CEF^△DFE；

②求证：APEF是等腰三角形；

③小军作图得到的射线0P是NAOB的平分线吗？请判断并说明理由.

例4.(2023•广东广州•八年级阶段练习)如图，在中,AB=AC,AD1BCf垂足为。，AB：AD：

BD=13：12：5,48c的周长为36,求ABC的面积.

例5.(2022•黑龙江富裕•八年级期末)已知：在aABC中，ZABC=A5°,CDJLAB于点D,点E为CD上一点,

JiDE=AD,连接8£并延长交47于点F.连接。£

(1)求证：BE=AC；

(2)若A8=8C,且8E=2cm,则CF=cm.

E

B

例6.（2023•江苏滨海•八年级期巾）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB=AC,AD±BC,若跨度8C

=16m,上弦长A8=10m,求中柱4。的长.

【即学即练1】（2023•福建•福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△48C中,N4=40。，N48c=80°,BE

平分N48C交AC于点E,£。_148于点。，求证：AD=BD.

【即学即练2］（2023•黑龙江五常,八年级阶段练习）已知：以线段A8为边在线段的同侧作△演C与△BA。,

8c与A。交于点£,若AC=B。，BC=AD.

（1）如图1,求证：CE=DE；

（2）如图2,当NC=90。，NAE8=2N4£C时,，作EFJ_AB于F,请直接写出所有等于：八8的线段.

图1卸

【即学即练3】(2023•吉林•八年级期末)如图，在A8c中，AB=AC,为边的中线，E是边A8上

一点(点E不与点A、8重合)，过点、E作EF工BC于点、F,交C4的延长线于点G.

(2)求证：AG=AE；

(3)若AE=3BE,且4C=4,直接写出CG的长.

【即学即练4】(2023•江苏•扬州市梅岭中学八年级阶段练习)在平面直角坐标系中，三角形△人8c为等腰直

角三角形，AC=BC,8c交x轴于点D.

(1)若2(-8,0),C(0,6),直接写出点B的坐标；

(2)如图2,三角形△OW8与△AC。均为等腰直角三角形，连。D,求NA。。的度数；

(3)如图3,若4。平分/BAC,4(-8,0),D(m,0),B的纵坐标为〃，求2n+m的值.

图1图2图3

【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论

例L在等腰三角形中，有一个角为40",求其余各角.

例2、已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.

【即学即练】如图，AABC中BD、CD平分NABC、NACB,过D作直线平行于BC,交AB、AC于E、

F,AB=5,AC=7,BC=8,4AEF的周长为()

B.12C.15D.20

【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用

例1、已知：如图，△ABC中，NAC8=45。，AD_LBC于D,CF交AD于点F,连接BF并延长交AC于点E,

ZBAD=ZFCD.

求证：(1)AABD^ACFD；(2)BE±AC.

BDC

知识点02等边三角形

1.等边三角形定义：

三边都相等的三角形叫等边三角形.

要点诠释：由定义可知，等边三角形是•种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包

括等边三角形.

2.等边三角形的性质：

等边.三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.

3.等边三角形的判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【知识拓展4】等边三角形

例I、如图.在等边AABC中，NABC与NACB的平分线相交于点0,且0D〃AB,0E/7AC.

（1）试判定AODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程.

【即学即练】等边△ABC,P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角

板绕P点旋转.如图，当P为BC的三等分点，且PE_LAB时，判断4EPF的形状.

【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

例1.（2023•山东惠民•八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，点M,/V都在BC边上，N847=120。，若

MELAB于点E,NF1AC于点、F,点E,F分别为48,4；的中点，且EM=2.则8c的长为（）

【即学即练1】（2023•浙江•温州市第二中学八年级期中）如图，RtM8C中，NACB=90。，ZABC=3Q°,分

别以AC,BC,48为一边在」ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为Si,S2,S3,已知S1=4,

则$3为（）

B.16C.AD.748+4

【即学即练2】（2023•广东•珠海市九洲中学九年级阶段练习）如图,在△A8C中，Z4CS=90°.AC=4,BC

=3,。为8c边上一点，8=1,E为4c边上一动点，连接DE,以。E为边并在OE的右侧作等边△DEF,

连接8F,则8F的最小值为（）

A.1B.2C.3D.6

【即学即练3】（2022•甘肃西峰•八年级期末）如图，在△A8C中，AB=AC,184c=120°,。是8c的中点，连

结AD,AE是N8A。的平分线，OFII48交AE的延长线于点F,若EF=3,则的长是（）

A.3B.6C.9D.12

U能力拓展

类型一、等腰三角形中的分类讨论

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为（）.

A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°

2.已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.

类型二、等腰三角形的操作题

1、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写

做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：NA与NE有怎样的数

量关系时才能完成以上作图？

图②

(1)如图①AABC中，ZC=90°,ZA=24°；猜想:

(2)如图②AABC中，ZC=84°,ZA=24°；猜想:

2.直角三角形纸片ABC中，NACB=90°,ACWBC,如图，将纸片沿某条更线折叠，使点A落在直角边BC

上，记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、F,

探究：如果折叠后的4CDF与ABDE均为等腰三角形，那么纸片中的NB的度数是多少？写出你的计算过程,

并画出符合条件的折叠后的图形.

类型三、等腰三角形性质判定综合应用

1.如图，△ABC中，/BAC=90",AB=AC,AD1BC,垂足是D,AE平分/BAD,交BC于点E,EH1AB,垂足

是H.在AB上取一点M,使BM=2DE,连接ME.求证：MEXBC.

2.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.

求证：AC=BF.

类型四、等边三角形

1.已知：如图，B、C、E三点共线，MBC,ADCE都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、U,

连结MN.

求证:AE=BD,MN77BE.

2.如图，AB=AC=AD=4cm,DB=DC,若/ABC为60度，则BE为,ZABD='

4分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.（2022・四川仁寿•八年级期末）下列命题是真命题的是（）

A.全等三角形的角相等

B.等腰三角形的中线、高线、角平分线重合

C.全等三角形的边相等

12

D.R3A8C两直角边为3、4,则斜边上的高是彳

2.（2023•辽宁铁岭•八年级期末）如图，在AA4C中，AB=AC,ZA=50°,则A44c的外角ZAC。的度数

是（）

A.115°B.120°C.125,D.130°

3.（2023•黑龙江五常•八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4,5,则它的周长是（）

A.13B.14C.13或14D.9或12

4.12022•天津市第七中学八年级期末）等腰三角形的顶角是50。，则这个三角形的一个底角的大小是（）

A.65'B.40,C.50°D.80,

5.（2022•内蒙古乌兰察布•八年级期末）如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A,七重合），在月石同

侧分别作正,A3c和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点、P,%:与C7）交于点Q,连接PQ.以

下四个结论：①△公力二②AD=8E；③ZAOB=60。：④.CPQ是等边三角形.其中正确的是

（）

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②③

6.（2023•上海巾建平实验中学八年级期末）如图，一棵直立的人树在一次强台风中被折断，折断处离地面

2米，倒下部分与地面成30。角，这棵树在折断前的高度为（）

A.(2+2伪米B.(2+2扬米C.4米D.6米

二、填空题

7.（2023・贵州•峰林学校八年级期中）等腰三角形中顶角为30。，则底角的度数是.

8.（2023・广西隆安•八年级期中）已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于5,则它的周长为.

9.（2022•天津市第七中学八年级期末）一个直角三角形房梁如图所示，其中8CJ.AC,NA=30°，M=IOm,

CD_LAB»垂足为。，那么BD=.

10.（2023•江苏•如皋市实验初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，AB=BC,NABC=120。，£是线段AC

上一点，连接8£并延长至D,连接CD,若N88=120。，AB=2CD,AE=7,则线段C£长为.

三、解答题

11.（2022・吉林长春•八年级期末）图①、图②都是4x4的正方形网格，每个小正方形的项点为格点，每个

小正方形的边长均为1,在图①、图②中已画出A8,点48均在格点上，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一个以A8为提且三边长都是无理数的等腰三角形48C,点C为格点；

（2）在图②中，画一个以A8为底的等腰三角形加。，点。为格点.

4

图

①图②

12.（2022•宁夏盐池•八年级期末）如图，A3C是等边三角形，B。是中线，延长8c至E,使CE=C£）.求

证：DB=DE.

13.（2023•吉林九台•八年级期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格

点，以格点为顶点分别按下列要求画图形.

（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8：

（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数：

（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10.

___1・—-1_一.r___1-——1--------------——-1___r_一_r一一一一

,■■■

图1图2图3

14.（2023•吉林九台•八年级期末）如图，在d3c中，A8=AC,。是灰?的中点，8E_LAC于E.求证:

ZBAC=2ZEBC.

A

题组B能力提升练

一、单选题

1.（2023•湖北•仙桃市第二中学八年级阶段练习）如图，R3A8c中，N48c=90°,NC48的角平分线交8c

于M,N4CB的外角平分线与AM交于点。，与48的延长线交于点N,过。作。E_LCN交CB的延长线于点

P，交AN于点、E,连接CE并延长交P/V于点Q,则下列结论：①NADP=45。；②4V=CA+CP；③DC=

3

ED；@NQ・CD=PQ；⑤CN=QDE+EP,其中正确的结论有（）个.

2.（2023•辽宁铁岭八年级期末）如图，E是等边443C中AC边上的点，Z1-Z2,BE=CD,则是

)

AD

A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定

3.（2023•广东南沙•八年级期末）如图,NAO8=50。，OC平分N408,如果射线OA上的点E满足△。&是

等腰三角形，那么NOCE的度数不可能为（）

A.130°B.77.5°C.65°D.25°

4.（2023・山东•潍坊市潍城区乐埠山生态经济发展区中学八年级阶段练习）如图，在A8C中，ZC=90°,

点D为8c上一点，0E2.A8于£,并且。£=OC,F为4C上一点，则下列结论中正确的是（）

5.（2023,上海市建平实验中学八年级期末）已知下列命题中：

①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②行一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

6.（2023•辽宁铁岭•八年级期末）如图，在AA6c中，AS=AC,点。在边AC上，RBD=DA=BC,过A。

上一点M作交AB、8。的延长线、的延长线分别于点N,〃和E,有下列结论：①图中

共有4个等腰三角形；②NE=54'；③M4=C。：@AN+CE=CD.其中正确的结论有（请填

写序号）.

7.（2022•辽宁大石桥•八年级期末）已知△A8C的面积是12,AB=AC=5,4D是8c边上的中线，E,P分别是

AC,AD上的动点，则CP+EP的最小值为

8.（2023•贵州黔东南•八年级期末）如图，在边长为4,面积为46的等边AA5c中，点、D、E分别是8C、

边的中点，点尸是A。边上的动点，求4y+所的最小值_.

9.（2023•浙江•金华市第五中学九年级阶段练习）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操

作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图2,衣架杆QA=O8=18cm,

若衣架收拢时，ZAOB=60°,如图1,若衣架打开时，ZAOB=I2（T,则此时A,8两点之间的距离扩大了

图1图2

10.（广东省深圳市实验学校三部2021-2022学年八年级上学期期末联考数学试题）如图所示，直线），=x+2

与两坐标轴分别交于A、8两点，点C是OB的中点，。、E分别是直线AB、V轴上的动点，当A8E周

长最小时，点。的坐标为.

三、解答题

11.(2023•吉林朝阳•八年级期末)如图，A3C是等边三角形，AB=6.动点尸从点A出发，以每秒2个单

位的速度沿A8向终点8匀速运动：同时，动点。从点。出发，以相同的速度沿CA向终点A匀速运动，连

结CP,以“为边向其左侧作等边三角形COP,连结A。、。0、BQ.设点户的运动时间为r(s).

(1)求证：AACP@MBQ.

(2)求证：

(3)求△A。。的周长(用含，的代数式表示).

(4)当C尸的长最短时，连结尸Q,直接写出此时/的值和四边形AQQP的周长.

12.(2023•黑龙江铁锋•八年级期末)综合与探究

如图所示，在平面直角坐标系中，点8、。分别在y轴、x轴上，点4(-a,b),C(〃,a),且a,b满足

9/-6a力+/+(〃—6)2=0,AB1)，轴于点8,C/)_Lx轴于点D.

(1)直接写出。=,b=；

(2)如图2,连接AC,8D交于点P,求证：点P为AC中点；

G)若0。=2而，在x轴上是否存在点F,使-COF是以8为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出F

点的坐标；若不存在，请说明理由.

13.(2023•吉林伊通•九年级期末)如图，在RJABC中，ZACB=90°,8c是△48C中最短的边，边AC的长

度比8c长10cm,斜边48的长度比8c长度的2倍短10cm.

(1)求RS48C的各条边的长.

(2)求48边上的高.

(3)点D从点8出发在线段A8上以2cm/s的速度向终点A运动，设点。的运动时间为t(s).

①用含t的代数式表示线段BD的长为；

②当△BCD为等腰三角形时，请求出t的值.

14.(2022•辽宁大石桥•八年级期末)如图，8c是等边三角形，延长BC到点邑使CE=JBC,若。是4c

的中点，连接ED并延长交八8于点F.

(1)若2F=3,求八。的长；

(2)求证：DE=2DF.

15.(2023•吉林伊通•八年级期末)如图，点。是等边△48C内一点，点。是△48C外一点，/4。8=110。,

ZBOC=a,△DOC^△ADC,连接OD.

(1)求证：AOCD是等边三角形；

(2)当a=150。时，试判断△AOD的形状，并说明理由;

(3)3a=Z.AOB,4。=8cm时，求0C的长度.

A

16.（2023•江苏•如皋市实验初中八年级阶段练习）如图,在△ABC中，AB=ACf△48C的高8H,CM交卜

点P.

（1）求证：PB=PC.

（2）若P8=5,PH=3,求8c.

17.（2023•黑龙江五常•八年级期末）（1）画图探究：如图①，若点A,6在直线〃，的同侧，在直线机上求

作一点尸，使A尸+8尸的值最小，保留作图痕迹，不写作法；

.B

二

Hl

BDC

图①图②

(2)实践运用：如图②，等边闻定•的边4c上的高为6,A。是边AC上的中线，M是A。上的动点，E

是AC的中点，求0W+CM的最小值.

18.(2023•吉林龙潭•八年级期末)探究：(1)如图(1),已知：在△48C中，NB4>90。，AB=AC,直线m

经过点4,8DJL直线m,CE_L直线m,垂足分别为点D、E.请直接写出线段8D,DE,CE之间的数量关系

是___________

拓展：（2）如图（2）,将探究中的条件改为：在aABC中，AB=AC,D、A.E三点都在直线m上，并且有

ZBDA=AAEC=ABAC=a,其中夕为任意锐角或钝角.请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明;

若不成立，请说明理由.

应用：（3）如图（3）,D、E是D、4、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为/BAC

平分线上的一点，且AA8F和均为等边三角形，连接8。、CE,若NBDA=NAEC=NBAC,请直接写出

△DEF的形状是.

题组C培优拔尖练

一、填空题

1.（2023•江苏•镇江市外国语学校八年级阶段练习）如图，在△ACB和▲力CE中，ZACB=ZDCE=90°,

CA=CB,CD=CE,点4在边DE上，若DE=23,AO=8,MAC2=.

D

2.（2023・四川•石室中学八年级期中）如图，在等腰直角八3c中，A8=4C=8,乙4=90。，点£是8C边上

一点，点。是AC边上的中点，连接E/）,过点E作所_!_££>,满足包>=EF,连接。尸，交BC于点M,将

△OEM沿DE翻折，得到一OEN,连接NF,交DE于点P,若BE=20,则P尸的长度是.

4

3.（2023•山东省青岛第二十六中学八年级期末）如图，在直角义标系中，直线/：y=§x+8与x轴、y轴分

别交于点8,点4直线x=-2交48于点C,。是直线x=-2上一动点，且在点C的上方，设。（-2,

m）

（1）求点。到直线AB的距离；

（2）当四边形八。8。的面枳为38时，求点。的坐标，此时在x轴上有一点E（8,0）,在y轴上找一点M,

使MD|最大，请求出|ME的最大值以及M点的坐标；

4

（3）在（2）的条件下，将直线/：y=§x+8左右平移，平移的距离为t（t>0时，往右平移；tVO时，往

左平移）平移后直线上点4点B的对应点分别为点A、点g,当△A&D为等腰三角形时，求t的值.

4.（2023•四川南充•八年级期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=L点。是射线AC上

一点（点。与点八不重合），连接8D,以8。为腰作等腰直角ABDE,ZDBE=90°,连接4E交8C于点F.

（1）如图1，点。在线段AC上.

①求证；Ar=cr；

②已知AO=,，BF=—fm,〃都是整数，求m,。的值；

ntn

（2）如图2,如果点。在AC延长线上（其它条件不变），AD=3BF,求4D的长.

5.（2023•江苏滨海•八年级期中）如图，在等边aABC中，AB=AC=BC=6cm,现有两点M、N分别从点4、

8同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为lcm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次回到点8

时，点M、/V同时停止运动，设运动时间为

（1）当t为何值时，M、N两点宜合;

（2）当点M、N分别在A?、8a边上运动，△AM/V的形状会不断发生变化.

①当t为何值时，△AM/V是等边三角形：

②当t为何值时，△AMN是直角三角形：

（3）若点M、N都在8c边上运动，当存在以M/V为底边的等腰△4MN时，求t的值.

6.（2023•吉林九台•八年级期末）如图，在长方形A8C。中，A4=4,BC=6.延长AC到点E,使CE=3,

连接。E.动点尸从点8出发，沿着3E以每秒1个单位的速度向终点E运动，点P运动的时间为，秒.

（1）OE的长为；

（2）连接求当，为何值时，AABPMDCE；

（3）连接OP,求当f为何值时，是直角三角形；

（4）直接写出当，为何值时，△?是等腰三角形.

AD

7.（2023•黑龙江平房•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，AO=CO=G,AC交y轴于点0,ZDAO=

30。，CO的垂直平分线过点B交X轴于点£.

（1）求4E的长；

（2）动点N从E出发，以1个单位/秒的速度沿射线EC方向运动，过N作x轴的平行线交直线OC于G,

交直线8E于P,设GP的长为d,运动时间为t秒，请用含量t的式子表示d,并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，动点M从八以1个单位/秒的速度沿射线AE运动，且点M与点N同时出发，MN

与射线0C相交于点K,是否存在某一运动时间3使得1=2,若存在，请求出t值；若不存在，请说明

OM

理由.

8.(2023•黑龙江•哈尔滨市松雷中学校八年级期中)在四边形A8CD中，ZDAB+N0cB=180°,AC平分NDAB.

(1)如图1,求证：BC=CD；

（2）如图2,连接8。交4c于点£,若N/W8=90。，AE=2DE,求/八8。的度数；

（3）如图3,在（2）的条件下，过点C作CH_L48于点H,△ECH沿8c翻折，点H的对应点为点F,点G

在线段48上，连接FG,若/CGF=30。，SACHG=9,求线段CG的长.

9.（2023•黑龙江・哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y

轴上，点8在x轴上，NA8c=90。，AB=BCt连接47,CD_Lx轴于点D,CD=5.

（1）如图1，求点8的坐标；

（2）如图2,OF平分NAOB,OF交4c于点F,求证：点F为4c的中点；

（3）如图3,在（2）的条件下，点E在第二象限，连接AE、CE,且NE=45。，NECA+N840=45。，CE=

18,求点F的坐标.

图1图2

第1讲等腰三角形

0目标导航

1.掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及

两条直线垂直.

2.掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理.

3.熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.

极局情井

知识点01等腰三角形

1.等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底,

两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在AABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB.AC为腰，BC为底边,

NA是顶角，NB、NC是底角.

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为

锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

180。-NA

ZA=180a-2ZB,ZB=ZC=

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线

合一”）.

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情

况只有一条对称轴.

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相

等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【知识拓展1］根据等边对等角求角度

例1.（2023・贵州•思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形4BC中，

A8=4C,点。为AC上一点，且AD=8D=8C,则NA等于多少？

【分析】首先设N4=x。，然后由等腰三角形的性质，求得N48C=NC=2x。，然后由三角形的

内角和定理，得到方程：x+2x+2x=180,解此方程即可求得答案.

【详解】设/4=x。，

AD=BD,

ZABD-Z.A=x°,

：.ZBDC=N4+ZABD=2x°,

,/BD=BC,

/.ZC=Z8DC=2x°,

AB=AC,

ZABC=ZC=2x0,

在△48C中，Z>4+ZABC+AC=180°,

x+2x+2x=180,

解得:x=36,

Z4=36°.

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定.此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结

合思想的应用.

例2.（2023•黑龙江省八五---农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD,BD=AD,

求△48C中/CAB的度数

工

【分析】利用AB=AC,可得/B和/C的关系，利用AD=BD,可求得/CAD=ACDA及其与/B

的关系，在△40C中利用内角和定理可求得NC,进一步求得NA8C,得到结果.

【详解】.解：AB=AC=CD,BD=AD,

•*-N8=NC=NBADZCAD=Z,CDA,

设NB=x°,则NCDA=Z3AD+ZB=2x°

从而N64。=/CDA=2x°fZC=x0

在AAOC中，NC4D+NCO/A+NC=180°

/.2x+2x+x=180°

解得“36。

.•.在△ABC中，ZB=ZC=36°,

/.ZCAB=108°

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角

和定理的应用.

例3.（2023・广东•广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）己知：如图所示，在

R3A8C中，ZC=90°,。是8c上一点，且。4=。8,N8=15。.求NC4）的度数.

【分析】由等腰三角形的性质得出N8=/1=15°,由外角的定义得NADC=30°,在R也ABC

中由三角形内角和可求得/CAD的度数.

【详解】解：•「。八=。8,Z8=15°,

Z8=N1=15°,

/AOC=30°,

.".在RtAZBC中,ZC=90%

/.ZC4D=90°-30°=60°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的定义以及三角形的内角和定理，熟练各性质

是解题的关键.

例4.（2023•广西三江•八年级期中）如图，在△48C中，点。在8c上，AB=AD=DC,N8=80。，

求NC的度数.

【答案】/C的度数为40〉.

【分析】根据等边对等角可得NBNAD8,NC必CAD,再根据三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内角的和解答.

【详解】解：AB=AD=DC,

Z8=/408=80%ZC=ZCAD,

由三角形的外角性质得，ZAD8=NC+ZC2D=2NC=80°,

/.ZC=40°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

【即学即练1】如图，已知AABC中，AB=BD=DC,ZABC=105°,求NA,NC度数.

VBD=DC,/.ZC=ZCBD,

设NC=NCBD=x,则NBDA=NA=2x,

AZABD=180o-4x,

/.ZABC=ZABD+ZCDB=180°-4x+x=105°,

解得：x=25°,所以2x=5(T,

即NA=50°,ZC=25°.

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形

”等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题.

【即学即练2］已知:如图,D、E分别为AB、AC上的点，AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,

求/B的度数.

【答案】解：VAC=BC=3I),AD=AE.DE=CE.

・••设NECD=NEDC=x,ZBCD=ZBDC=^,

贝ijNAED=NADE=2x,ZA=ZB=180°~4x

在△ABC中，根据三角形内角和得，

x+y+180°-4x+180°-4x=180°①

又YA、D、B在同一直线上，.・.2x+x+），=180°②

由①，②解得x=36°

.,.ZD=18004A:=180，＞1-14°=36°.

【知识拓展2】利用三线合一求解与证明

例1.（2023•湖北武汉•八年级阶段练习）如图，点D,£在△4BC的边8C上，AB=AC,AD

=AE,求证：BD=CE.

【分析】过八作AF_L8c于F,根据等腰三角形的性质得出8F=CF,DF=EF,即可求出答案.

【详解】证明：如图，过人作AF_18c于F,

---AB=AC,AD=AE,

：.BF=CF,DF=EF,

：.BF-DF=CF-EF,

：.BD=CE.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的

中线，顶角的平分线互相重合.

例2.（2023•重庆•八年级期中）如图：已知等边.A4C中，BDA.AC,垂足为O,E是BC

延长线上的一点，且CE=CO,

（1）求证：BD=DE；

（2）若M为帆中点，求证：DM邛■气乙BDE.

D

BMCE

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质得到ND8C=/NA8C=30。，根据三

角形的外角性质得到N£=30。，根据等腰三角形的判定定理证明结论；

(2)根据等腰三角形的三线合一证明.

【详解】⑴证明：是等边三角形，BDVAC,

/O3C」/A8C=30。，

2

-CD=CE,

NCDE=/E,

ZACB=60°,

/.NE=30。，

:"DBE=/E，

:.BD=DE;

(2)证明：M为BE中点,

:.DM平分/BDE.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、等边三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一

是解题的关键.

例3.(2023•河南镇平•八年级阶段练习)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的

平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1,(1)分别在射线0408上截取OC=。。，OE=OF(点C,E不重合)；(2)

分别作线段CE,OF的垂直平分线/I,/2,交点为P,垂足分别为点G,H：(3)作射线0P,

射线0P即为NAOB的平分线.

简述理由如下：

由作图知，NPGO=NPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以PGOaPH。，则NPOG

=ZPOH,即射线OP是NAOB的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2,(1)分别

在射线。8上截取OC=。。，0£=0F(点C,E不重合)：(2)连接。E,CF,交点为P；

(3)作射线0P.射线OP即为/208的平分线.

任务:

图1图2

（1）小明得出R3PGO^RtAPHO的依据是（填序号）.

①SSS；②外S；③4AS：④4s4©HL

（2）如图2,连接EF.

①求证：△CEF^△DFE；

②求证：△「小是等腰一..角形；

③小军作图得到的射线CP是NAOB的平分线吗？请判断并说明理由.

【答案】（1）⑤：（2）①证明见解析：②证明见解析；③射线0P是NAO8的平分线，证

明见解析

【分析】（1）因为小明的证明条件为NPGO=NPHO=90。，OG=OH,OP=OP,即两对直角

相等，一对直角边相等，一对斜边相等，故为也证明依据.

（2）①由等边对等角得=再由一条公共边EF和重合的部分得出

OE-OC=OF-OD,即。E=。产，SAS为依据可证明△在「拶△OFE.②由①问所证

△则对应用下石=产相等，再由等角对等边可得庄产，即△是

CEF^ADFETNCREF

等腰三角形③可由全等得出PE=PEOE=。尸，得出0P是E”的垂直平分线，又因为②可

知，庄广是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可知。户也是NAO4的平分线.

【详解】

（1）,•・小明的证明条件为NPGO=NPHO=90。，OG=CH,OP=OP为HL证明方法，改选

⑤；

（2）证明：®vOC=OD,OE=OF

NOEF=NOFE,OE-OC=OF-0D即CE=DF

又：EF=FE

：cCEF，DFE（SAS）

②由①知：NCFE=/DEF

:.PE=PF

即：4分下是等腰三角形；

③射线0P是NAOB的平分线，理由如下：（方法不唯一）