2024-2025学年云南省昭通市镇雄四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省昭通市镇雄四中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x∈Z|−1<x<2}，B={x|x2−2x=0}，则A∪B=A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{−1,0,1,2}2.复数z=i(−1−2i)的共轭复数为(

)A.2−i B.2+i C.−2+i D.−2−i3.高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：

①有人通过了体能测试；

②同学甲没有通过体能测试；

③有人没有通过体能测试．

若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是(

)A.只有1名同学通过了体能测试 B.只有1名同学没有通过体能测试

C.30名同学都通过了体能测试 D.30名同学都没通过体能测试4.已知一组数据：3，5，7，x，9的平均数为6，则该组数据的40%分位数为(

)A.4.5 B.5 C.5.5 D.65.函数fx=1A.0,23 B.0,23 C.6.已知f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m−2)+f(2m−3)>0，那么实数m的取值范围是(

)A.(1,53) B.(−∞,53)7.设a=sin(π−π6)，函数f(x)=aA.14 B.4 C.16 8.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=er描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0、T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.A.1.8天 B.2.4天 C.3.0天 D.3.6天二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(3,−1)，下列命题中正确的有(

)A.a=10 B.a//b

10.下列命题为真命题的是(

)A.若a>b，则ac2>bc2

B.若−2<a<3，1<b<2，则−4<a−b<2

C.若b<a<0，m<0，则ma>m11.如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，EF//AB，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB=2，EF=AD=1，则下列说法正确的是(

)A.OF//平面BCE

B.BF⊥平面ADF

C.三棱锥C−BEF外接球的体积为5π

D.三棱锥C−BEF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取______人．13.已知sin(3π2−α)+2cos(π−α)=sinα，则14.函数f(x)=b|x|−a(a>0,b>0)的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数“，并把其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”.以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”的图象有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，当a=1，b=1时，函数f(x)的“囧点”坐标为______；此时函数f(x)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3．

16.(本小题15分)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．(1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率；(2)求事件B发生的概率；(3)事件A与事件C至少有一个发生的概率．17.(本小题15分)

从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x−y|≤5}，求P(E)．18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在条件①2b+c=2acosC，②(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，③bsinB+C2=asinB中任选一个解答．

(1)求角A；

(2)若b+c=6，a=219.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，DA=DP，点M是PA的中点．

(1)求证：平面MCD⊥平面PAB；

(2)在线段PC上是否存在一点N，使直线MN与平面MCD所成的角为π6？若存在请求出点N的位置；若不存在，请说明理由．

参考答案1.C

2.B

3.C

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.AC

10.BC

11.ABD

12.40

13.3514.(0,1)

3π

15.(1)证明：连接B1C，交BC1于点O，连接OD，所以O是B1C的中点，所以OD//AB1，

又因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D中，所以AB116.解：(1)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，

Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共有36个样本点，

事件A：“两数之和为8”，事件A所含的样本点有：

(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个样本点，

∴事件A发生的概率为P(A)=536．

(2)事件B：“两数之和是3的倍数”，

事件B所含的样本点有12个，分别为：

(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，

∴事件B发生的概率P(B)=1236=13．

(3)事件A与事件C至少有一个发生所含的样本点有11个，分别为：

(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，

∴事件17.解：(1)第六组的频率为450=0.08，

∴第七组的频率为1−0.08−5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06．

(2)由直方图得，身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04，

身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08，

身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2，

身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2，

由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5，

设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则170<m<175，

由0.04+0.08+0.2+(m−170)×0.04=0.5得m=174.5，

所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，

平均数为157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5×0.06×5+182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.008×5=174.1．

(3)第六组[180,185)的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，

第八组[190,195]的抽取人数为0.008×5×50=2，设所抽取的人为A，B，

则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，

因事件E={|x−y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，

所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．

所以P(E)=18.解：(1)若选择条件①：∵2b+c=2acosC，

∴在△ABC中，由正弦定理得2sinB+sinC=2sinAcosC，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

∴2cosAsinC+sinC=0，

∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，

故cosA=−12，

又A∈(0,π)，

∴A=2π3；

若选则条件②：∵(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，

∴由正弦定理得(a+b)(a−b)=(c−b)c，即b2+c2−a2=bc，

∴cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，

∵A∈(0,π)，

∴A=π3；

若选择条件③：∵bsinB+C2=asinB，

∴由正弦定理得sinBsinB+C2=sinAsinB，

∵0<B<π，∴sinB≠0，

∴sinB+C2=sinA，

又B+C=π−A，

∴cosA2=2sinA2cosA2，

∵0<A<π，0<19.解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB，

又ABCD是正方形，所以AB⊥AD，

因为AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

因为DM⊂平面平面PAD，所以AB⊥DM，

又DA=DP，点M是PA的中点，所以DM⊥PA，

因为PA∩AB=B，PA，AB⊂平面PAB，所以DM⊥平面PAB，

又DM⊂平面MCD，

所以平面MCD⊥平面PAB．

(2)因为ABCD是正方形，所以DC⊥DA

又PD⊥平面ABCD，DC，DA⊂平面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥DA，

以D为原点，DA,DC,DP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，