2024年新东方初中数学初一年级寒假 满分版 第9讲 平行线的性质与判定的综合含答案

2024年新东方初中数学初一年级寒假满分版第9讲

平行线的性质与判定的综合含答案第9节平行线的性

质与判定的综合

目标层级图

课前检测

1.下列命题正确的是（）

A.若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行

B.一条直线有且只有一条垂线

C.两条不相交的直线叫做平行线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

2.下面各语句中，正确的是（）

A.同角或等角的余角相等B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.互补的两个角不可能相等D.相等的角是对顶角

3.如图，已知直线a、匕被直线c所截，那么41的同位角是（）

\A.Z2B.Z3

C.z.4D.Z5

4.如图，下列条件中，不能判断直线川比的是（)

.

A.z.1=z3B.z.2=z3C.匕4=25C>.z.2+z.4=180°

5.阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据,如图：

因为41+42=180°,42+/4=180°（已知）

所以乙1=44,（）

所以QIIC.（）

又因为22+43=180。（已知）

乙3=46（）

所以£2+46=180。，（等量代换)

所以a||b.（）

所以b||c.()

课中讲解

两种模型

内容讲解

（一）“铅笔”模型

例1.如图，已知48//CO,ZJ=120°,ZC=130°,那么N4PC的度数是

)

C.120°D.130°

过关检测

1.如图,直线相//CD,4E1CE于点E,若/〃0=120。，贝lj/EC。的度数是（）

A.120°B.100°C.150°D.160°

2.如图，若ABiCDHEF,则N-4C+N/CE+NCE/的度数为（）

AB

（74D

EF

A.360。B.270°C.180°D.无法确定

3.如图，已知/B//CO,则Na,Ny之间的等量关系为（）

A.Za+Z^-Z/=180°B./夕+々-Na=180。

C.Na+"+々=360。D.Za+Z^+Z/=180°

例2.如图，AB1/CD,则下列等式正确的是（）

B.Zl-Z2=180°-Z3

C.Zl-Z3=180°-Z2D.Z1+Z2+Z3=I8O°

过关检测

1.加图，己知/R4E=87°,/DC?=121。，则/”的度数为()

A

DB

A.28°B.34°C.56°D.46°

例3.己知如图，ABHCD,试解决下列问题：

(1)Z1+2.2=______________；

(2)zl+z2+z3=______________；

(3)zl+z.2+z3+z4=______________：

(4)试探究z.l+N2+z3+N4+...+Zn=______________.

A____BA____BABA____B

-H

N7____

匚仁慰CD

CDe—D

过关检测

1.如图，一环湖公路的18段为东西方向，经过四次拐弯后,又变成了东西方向的尸E段，

则Z5+ZC+ZD+ZE的度数是()

AB

、c

/D

FE

A.360°B.540℃.720°D.900°

3.如图，已知直线43//CQ,直线£户分别与力8、CD交于点M、N,点〃在直线CQ

上，HGLEF于点G,过点作GP///8.则下列结论：

①N4MF与ZDNF是同旁内角；

②ZPGM=NDNF；

③4BMN+4GHN=9/；

@/AMG+Z.CHG=270°.

其中正确结论的序号是-

（二）“猪蹄”模型

若AB//CD,求：，B、，D、/BPD的等量关系。

模型结论证明

AB

CD

CD

三

P

例1.如图，AB//CD,且N4=25。，ZC=45°,则NE的度数是（）

A.60°B.70°C.110°D.80°

例2.如图，在平行线＞4之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点力，4分别在直

线4，上，若/1=55。，则N2的度数是（）

/1

1

Q

BA.25°B.30°C.35。D.40°

过关检测

1.如图，EF//MN,CA1CBfNE4c=35。，则NM5C的度数是

2.如图，直线"/〃7,将含有45。角的三角板48C的直角顶点。放在直线加上，若N1=250,

C.30°D.35°

例3.如图，已知4〃4，MN分别和直线4、4交于点力、B,ME分别和直线4、4交于

点。、点P在上(尸点与4、B、”三点不重合).

(1)如果点P在力、8两点之间运动时，Na、4、//之间有何数量关系请说明理由;

(2)如果点尸在4、8两点外侧运动时，Na、邛、//有何数量关系(只须写出结论).

过关检测

I.如图，直线AC/JBD,连接直线4C、6。及线段43把平面分成①、②、③、

④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点尸落在某个部分时，连接&,PB,

构成NP彳C,ZAPB,/尸80三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角

是0°角）

（1）当动点尸落在第①部分时，求证：NAPB=/PAC+NPBD；

（2）当动点尸落在第②部分时，NAPB=NPAC+NPBD是否成立?（直接回答成立或不

成立）

（3）当动点尸落在第③部分时，全面探究NR4C,ZAPB,N尸8。之间的关系，并写出动

点P的具体位置和相应的结论,选择其中一种结论加以证明.

例4.如图，ABHEF,则4,ZC,NO,NE满足的数量关系是()

A.N/+NC+NO+N£=360cB.ZJ+ZD=ZC+Z£

C.ZJ-ZC+ZD+ZE=180°D.ZE-ZC+ZD-Z^=90°

过关检测

1.如图，AB//EF,ZC=90°,则a、夕和7的关系是()

A./3=a+yB.a+夕+7=180。C.a+£—y=90。D./?+y-a=180°

2.如图，已知48//C。，EFUCD,乙48C=45。，ZC£F=150°,则N8CE等于度.

D

二.平行线的判定和综合

内容讲解

例1.同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

(1)如图1,若AB//CD,点、P在AB、C0内部，请写出N8P。、ZB、N。之间的数量

关系(不必说明理由)；

(2)如图2,将直线46绕点8逆时针方向转一定角度交直线8于点。，利用(1)中的

结论求NBP。、4B、NO、N80O之间有何数量关系？并证明你的结论；

(3)如图3,设8产交/C于点A/,AE交DF于点、N.已知N/M8=140。，乙4NF=105°,

利用(2)中的结论直接写出N8+NE+N尸的度数和乙4比/斤大多少度.

过关检测

1.如图，直级PQHMN，点C是PQ、A/N之间(不在直线尸0,MN上)的一个动点，

(1)若N1与N2都是锐角，如图甲，请直接写出/C与Nl,N2之间的数量关系；

(2)若把一块三角尺(/4=30。,/。=90。)按如图乙方式放置，点O,E,尸是三角尺的边

与平行线的交点，若NAEN=/A、求尸的度数；

(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G

在线段C。上，连接EG,且有NCEG=NCEM,求空处的值；

Z.BDF

例2.如图1,AB/ICD,NP4B=125°,NPCD=115。,求乙4PC的度数.

小明的思路是：过P作尸通过平行线性质来求N4PC.

（1）按小明的思路，易求得乙4PC的度数为度；

（2）如图2,X8//CO,点尸在直线a上运动，记NPAB=a,NPCD=p,当点尸在8、

。两点之间运动时，问乙4PC与。、尸之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点尸在8、。两点外侧运动时（点尸与点8、。两点不重合）,

请直接写出N/PC与a、£之间的数量关系

过关检测

1.问题情境：如图1,ABHCD,NP48=130。，ZPCP=120°,求/彳PC的度数.

小明的思路是：过P作PE//48,通过平行线性质来求N4PC.

（1）按小明的思路，易求得N4PC的度数为度；

（2）问题迁移：如图2,ABHCD,点尸在射线OM上运动，记N"8=a,ZPCD=。,

当点P在8、。两点之间运动时，问/力PC与。、夕之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点尸在5、0两点外侧运动时（点尸与点0、B、。三点不

重合），请直接写出N4PC与。、尸之间的数量关系.

例3.如图，已知48//CO,乙4=40。.点P是射线上一动点(与点彳不重合)，CE、

C"分别平分N4C2和/QCP交射线/夕于点E、F.

(1)求NEW的度数：

(2)随着点尸的运动，乙4PC与N/FC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数

量关系；若改变，请说明理由；

(3)当NNEC=/ZC户时，求N/PC的度数.

过关检测

I.如图，已知AMNBN,44=60。，点尸是射线M上一动点(与点力不重合)，BC,BD

分别平分ZABP和ZPBN,分别交射线4以于点C,D.

(1)ZCBD=

(2)当点P运动到某处时，NACB=NABD,则此时445。=

(3)在点。运动的过程中，4PB与的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比

值：若变化，请找出变化规律.

例4.已知，直线48//O。，点P为平面上一点，连接力P与CP.

(1)如图1,点P在直线48、CO之间，当/艮4P=60。，N0C尸=20。时，求乙4PC.

(2)如图2,点2在直线44、8之间，/BAP与ZDCP的角平分线相交于点K,写出ZAKC

与N4PC之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,点P落在C。外，/B力?与NOCP的角平分线相交于点K,乙4KC与乙4PC有

何数量关系？并说明理由.

过关检测

1.已知48//CO,解决下列问题:

(1)如图①，BP、。户分别平分/4BE、4CDE,若N£=100。，求NP的度数.

(2)如图②，若N4BP=；N4BE,NCDP=；/CDE,试写出NP与NE的数量关系并说

明理由.

(3)如图③，若NABP=L/ABE,NCDP=、NCDE,设NE=m。，求NP的度数(直接

nn

例5.“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路''为了安全起见在某段铁路两旁安置了两

座可旋转探照灯.如图1所示，灯/射线从4W开始顺时针旋转至.4加便立即回转，灯B射

线从3尸开始顺时针旋转至5。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯力转动的速度是

每秒2度，灯8转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQ//MN,且

NBAM"BAN=2:1.

(1)填空：ZBAN=。；

(2)若灯8射线先转动30秒，灯4射线才开始转动，在灯8射线到达80之前，4灯转动

几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,若两灯同时转动，在灯力射线到达XN之前.若射出的光束交于点C,过。作

NACD交PQ于点、D,且//。。=120。，则在转动过程中，请探究与NBCZ)的数量

关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

（图D（图2）

过关检测

1.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江

水及两岸河堤的情况.如图1，灯4射线自4M顺时针旋转至ZN便立即回转，灯8射线自

8P顺时针旋转至8。便立即回转：两灯不停交叉照射巡视.若灯力转动的速度是。度/秒,

灯8转动的速度是8度/秒，且a、b满足|〃-36|+5+6-4)2=0.假定这一带长江两岸河

堤是平行的，即P0//MM,且NB4V=45。

(1)求a、b的值；

(2)若灯8射线先转动20秒，灯彳射线才开始转动，在灯8射线到达8。之前，力灯转动

几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,两灯同时转动，在灯/射线到达彳N之前.若/射出的光束与8射出的光束

交于点C,过C作C0_L/C交尸。于点。，则在转动过程中，/比1C与N8C。的数量关系

是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.

学习任务

1.已知：直线/J4，一块含30。角的直角三角板如图所示放置，4=25。，则N2等于（）

O

—A.30°B.35°C.40°D.45°

2.如图，ABHEF,则4,NC,NO,NE满足的数量关系是（）

AB

A.4+/C+"+/£=360B.ZJ+ZD=ZC+Z£

C.ZJ-ZC+ZD+Z£=180°D.ZE-ZC+ZD-ZJ=90°

3.如图，已知，ABWCD,Z1=Z2,EPLFP,则以下结论错误的是（

A.Z1=Z3B.乙2+/4=90°C.Z.l+z3=90°D.乙3=44

4.如图，在同一平面内，直线I」/4,将含有60。角的三角尺48C的直角顶点C放在直线4

上，另一个顶点力恰好落在直线人上，若N2=40。，则N1的度数是.

5.如图，mlIn,A,8为直线打，〃上的两点，且N8_L8C,ZBAC=28°,则N1与N2

的度数之和为.

w4-._______

B

6.已知，如图，AB1/CD,则Na、乙B、//之间的关系为

AB//CD,Zl=110°,Z2=120°则Na=

8.如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使41=120。，AB1BC,试求42的度数.

I*

2.J

9.已知，AB//CD,卓、P为AB、CO之间一点，连接力C.

(1)如图1,若力产平分N打C,CP平分N/CQ,求证：APLCP；

(2)如图2,若ZPCD=2ZBAP,Z.APC=90°,ZACP=5ZPAC,廷长/尸交CD于点E,

试探究N4C与乙4EC之间的数量关系，并说明理由.

(注意：本题不允许使用三角形内角和为180。)

10.如图，已知直线点力、8在直线.上，点C、。在直线乙上，点。在点。的右

侧，ZJDC=80°,^ABC=n°,BE平分Z）E平分N4OC,直线BE、DE交于点

E.

（1）写出N£OC的度数；

（2）试求N8EO的度数（用含〃的代数式表示）；

（3）将线段向右平行移动，使点8在点力的右侧，其他条件不变，请画出图形并直接

写出/8EO的度数（用含〃的代数式表示）.

家长签字：____________

第9节平行线的性质与判定的综合

目标层级图

本节是初一下册第二章的内容，本讲的内容是针对平行线的性质与判

定的综合题型，包括常用的两种模型-“猪蹄”以及“铅笔”模型的简单

运用和综合使用，以及平行线与其他的结合（角平分线、动点等），

难度相对于上一讲来说会偏大一些。

课前检测

1.下列命题正确的是（D）

A.若两相等的角有边平行，则另边也互相平行

B.一条直线有且只有一条垂线

C.两条不相交的直线叫做平行线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

2.下面各语句中，正确的是（）

A.同角或等角的余角相等

B.过一点有且只有一条直线与己知直线平行

C.互补的两个角不可能相等

D.相等的角是对顶角

【解答】解：A,同角或等角的余角相等，正确；

8、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；

C、互补的两个角可能相等，错误；

。、相等的角不一定是对顶角，错误；

故选：A.

3.如图，已知直线如b被直线c所截，那么N1的同位角是（）

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【解答】解：Z1的同位角是N5,

故选：D.

4.如图，下列条件中，不能判断直线/1〃/2的是（

A.Z1=Z3B.Z2=Z3C.Z4=Z5D.N2+N4

=180°

【解答】解：/、根据内错角相等，两直线平行可判断直线小〃/2,故此选项

不合题意；

B、N2=N3,不能判断直线故此选项符合题意；

。、根据同位角相等，两直线平行可判断直线故此选项不合题意；

。、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线八〃，2,故此选项不合题意;

故选：B.

5.阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：

因为Nl+N2=180。，Z2+Z4=180°（己知）卜/2

所以N1=N4,（同角的余角相等）°——-LV-

所以a〃c.（内错角相等，两直线平行评——「

又因为N2+N3=180。（已知）

N3=N6（对顶角相等）

所以N2+N6=180。，（等量代换）

所以a〃b.（同旁内角互补，两直线平行）

所以b〃c.（平行于同一条直线的两条直线平行）

课中讲解

两种模型

内容讲解

（一）“铅笔”模型

①：

结论：若AB〃CD,贝ij：ZPBA+ZBPD+ZDPC=360°

（证明：过点P作尸£〃49,

*：AB//CD.

：.AB//PE//CD,

：.ZPAB+ZAPE=\^0,NPC7）+NCPE=180°,

V/APC=NAPE+NCPE,

\AZAPC+ZPAB+ZPCD=360°；J

②:

例1.如图，己知力8//CO,44=120。，ZC=130°,那么4PC的度数是（）（根据

平行线的性质即可求解,考察铅笔模型的结论记忆）

A.100°B.110°C.120°D.130°

解：过户作宜线MN//43,如下图所示，

•;MN口AB,

.•.4+4=180。（两直线平行,同旁内角互补），

Zl=180°-ZJ=l80。-1205=60°,

•;MNMAB,AB//CD,

:.MN//CD,

/.ZC+Z2=180°（两直线平行，同旁内角互补）,

/.Z2=180°-ZC=l80°-130°=50°,

/.NAPC=Z1+Z2=60°+50°=110°,

故选：B.

过关检测

1.如图，直线AB//CD,AELCE于点E,若/£48=120。，则48的度数是（）

A.120°B.100°C.150°D.160°

解：延长力E,与0c的延长线交于点产，

•/AB//CD,

.•.ZJ+ZJFC=180°,

■/Z£J5=120°，

.\ZAFC=60°，

/AELCE,

Z.AEC=90°,

而ZAEC=Z.AFC+Z.ECF,

NECF=NAEC-ZF=30°,

z.ZECD=180°-30°=150°,

故选：C.

2.如图，若ABi/CDI1EF,则N8/C+N/CE+NCE尸的度数为（）

A.360°B.270。C.180°D.无法确定

解：vABHCD//EF,

/.ZBJC+Z/iCD=180o,ZDC£+ZC£F=180°,

・•.NBAC+ZACD+NDCE+ZCEF=360°，

即ZBAC+NACE+NCEF=360°，

故选：A.

3.如图，已知/8〃CQ,则Na,/夕，Ny之间的等量关系为（）

AB

A.Za+Z/7-Z/=18O°B.N/+//-/。=180。

D.Na+N尸+Ny=180。

vAB!IEF!/CD,

々+"£0=180°,

•/ZABE+ZFEB=\^O<>,/ABE=Na,ZFED+4FEB=Z。,

Zy+/FED+NABE+NFEB=360°,

Na+Z.p+Zy=360°,

故选：C.

例2.如图，AB//CD,则下列等式正确的是（）（本题考查平行线的性质，解答本题

的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，考察铅笔模型变形结论的使用）

A.Z1=Z2+Z3B.Zl-Z2=180°-Z3

C.Zl-Z3=180°-Z2D.Zl+Z2+Z3=180°

解：如右图所示，

-CD//AB,

Z4=Z3,

Z4=Z2+(1R0°-/l).

/.Z3=Z2+(18O°-Z1),

・..Zl-Z2=180°-Z3,

过关检测

1.如图，己知48//CO,NBAE=8，°,NDCE=121°,则NE的度数为()

D.46°

解：延长OC交于尸，

AB//CD,

:.NA=NEFC=87°,

NDCE=121。,

ZE=121°-87°=34°,

故选：B.

例3,已知如图，AB//CD,试解决下列问题:

(1)Zl+Z2=；

(2)Zl+Z2+Z3=；

(3)Zl+Z2+Z3+Z4=；

(4)试探究N1十N2+N3+N4十…+Nn=.(考查了平行线的性质，解题的

关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小，根据特殊情况推导一般规律)

解:⑴•.38，皿

.21+Z2=(两直线平行，同旁内角互补);

(2)过点E作一条■线EF平行于AB.

AB/CD,

AB/EF.CD/EF,

：X\+£AEF=180°,Zf^r+Z3=180°,

.•Nl+N2+N3=360°;

(3)过点E、F作EM、FN平行于AB.

AB/CD,

ABgEMIFNICD,

.\Z1+£AEM=180°,

ZA/EF+乙EFN=180o,ZATfC+Z4=180,;

.•Nl+N2+3+N4=540°;

(4)中，根据上述规律,显然作(n-1)条精助线,运

用(n-1)次两条直线平行,同旁内角互补.即可

过关检测

1.如图，一环湖公路的48段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的尸E段,

则Z5+ZC+ZD+NE的度数是()

A.360°B.540℃.720°D.900°

解：如图，根据题意可知:

AB/JEF,

B

FE

分别过点C,。作力8的平行线CG,DH,

所以ABUCG/IDHJ/EF,

贝S+4CG=180。，

ZGCD+Z/7DC=180°,

NHDE+NDEF=180°,

Z.B+Z.BCG+NGCD+NHDC+NHDE+/DEF=180。x3=540°,

NB+NBCD+NCDE+NE=540°.

3.如图，已知直线直线跖分别与48、CD交于点、M、N,点H在直线CD

上，HGLEF于点、G,过点作GP//48.则下列结论：

①乙4MF与2DNF是同旁内角；

②4PGM=4DNF、

③ZBMN+4GHN=90。；

④AAMG+ZCHG=270°.

其中正确结论的序号是-

E

解：4加尸与NON尸不是同旁内角,

.•.①错误；

vAB//CD,GP//AB,

AB//CD//GP，

:.NPGM=NCNM=ZDNF,NBMN=2HNG,NAMN+NHNG=180°,故②正确;

HG±MN,

NHNG+/GHN=90°,

:"BMN+NGHN=90。,故③正确;

••・NCHG=4MNH+Z.HGN,

...4MNH=4CHG—90"

：.乙AMN+/HNG=4AMN十乙CHG-90°=180°，

.•.NZMG+NC〃G=270。，故④正确,

故选：C

（二）“猪蹄”模型

求：NB、ND、NBPD的等量关系。

(1)结论：____________________________

CD

P

AB

(2)\

CD

例1.如图，AB//CD,且4=25。，ZC=45°,则NE的度数是（）（“猪蹄〃模型的

直接使用）

A.60°B.70°C.110°D.80°

【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等进行做题.

【解答】解：过点E作一条直线M"43,则E///CO,

/.Z4=Zl,ZC=Z2,

Z.AEC=Zl+Z2=Z/4+ZC=70°.

故选：B.

CD

例2.如图，在平行线4,之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点力，8分别在直

线4，，2上，若Nl=55。，则N2的度数是（）（注意从复杂图形中辨别出基本模型）

A.25°B.30°C.35°D,40°

【分析】依据平行线的性质，即可得至+=再根据/1=55。，

/比iC=60。，48C=3O。，即可得到N2的度数.

【解答】解：如图所示，•.FO//8E,

NDAB+N/iBE=T80°,

又•••Nl=55。，NB4c=60°,ZJ5C=30°,

Z2=180°-55°-60°-30°=35°,

过关检测

1.如图，EF//MN,CALCB.NE4c=35。，则NM8c的度数是_55。

【分析】过点。作CP//E尸，则CP//MN,利用“两直线平行，内错角相等”可得出

NPCA=NE4C=35°,ZPCB=NMBC,结合N4C8=90。，NPCB=N/4C6-NPC/可求出

NPC8的度数，进而可得出/M8C的度数.

【解答】解：过点C作CP//EF,则CP//MN,如图所示.

-CP//EF,CPHMN,

ZPCA=ZEAC=35°,4PCB=4MBC.

CALCB,

4c8=90。，

:.NPCB=ZACB-ZPCA=90°-35°=55°,

4MBe=55°.

故答案为：55°.

2.如图，直线"/〃7,将含有45。角的三角板48C的直角顶点。放在直线机上，若N1=25。,

则N2的度数为（）

【分析】首先过点8作3。///,由直线〃/掰，可得BDI/11/m,由两直线平行，内错角

相等，即可求得答案N4的度数，又由2MBe是含有45。角的三角板，即可求得N3的度

数，继而求得N2的度数.

【解答】解：过点B作BD//1,

,/直线1/Im,

s.BDIIlllm,

,-.Z4=Zl=25°,

vZJ^C=45°,

Z3=/ABC-Z4=45°-25°=20°,

Z2=Z3=20°.

故选：A.

例3.如图，已知《/〃2，MN分别和直线乙、4交于点X、B,ME•分别和直线4、人交于

点C、D,点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）.

（1）如果点尸在4、8两点之间运动时，Na、N£、Ny之间有何数量关系请说明理由;

（2）如果点P在力、8两点外侧运动时，Na、邛、//有何数量关系（只须写出结论）.

（折点在不同位置时，以同样的方法，得出不同的结论）

【分析】（1）根据平行线的性质口;求出它们的关系，从点尸作平行线.平行于4C,根据两

直线平行内错角相等可得出.

（2）分类讨论，①点尸在点4左边，②点尸在点8右边.

【解答】解：（1）如图，过点P做4C的平行线尸。，

:ACHPO,

：.Z/?=ZCPO,

又•：ACiIBD,

/.PO//BD,

Za=Z.DPO,

/.Za+Z/?=Z/.

（2）①尸在4点左边时，Za-Z^=Z/；

②尸在8点右边时，/4—Na=Ny.

（提示：两小题都过P作NC的平行线）.

/Z1

过关检测

1.如图，直线ACI/BD,连接直线4C、8。及线段力3把平面分成①、②、③、④

四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接P4,PB,

构成N4C,乙4PB,NP80三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角

是0。角）

（1）当动点尸落在第①部分时，求证：NAPB=NPAC+NPBD；

（2）当动点尸落在第②部分时，4PB=NPAC+NPBD是否成立?（直接回答成立或不成

立）

（3）当动点尸落在第③部分时，全面探究NP4C,ZAPB,NPa）之间的关系，并写出动

ZAPB=ZPAE+ZPEA,可知NAPB=NP4C+NPBD；

（2）过点尸作4C的平行线，根据平行线的性质解答：

（3）根据尸的不同位置，分三种情况讨论.

【解答】解：（1）解法一：如图1延长8尸交直线彳C于点E.

-AC//BD,：.ZPEA=ZPBD.

，.•ZAPB=NP4E+NPEA,

图1图2图3

过点P作/7P///C,

ZPAC=Z.APF.

'：AC//BD,:.FPHBD.

:.占PB="BD.

ZAPS=ZAPF+ZFPB

=APAC+NPBD；

解法三：如图3,

-AC//BD，

..ZCAB+ZABD=ISO°t

NPAC+NP4B+NPBA+ZPBD=180°.

又NAPB+2LPBA+Z.PAB=180°,

ZAPB=APAC+NPBD.

(2)不成立.

(3)(a)当动点尸在射线切的右侧时，结论是:

NPBD=NPAC+NAPB.

(b)当动点尸在射线54上，结论是：

NPBD=NPAC+NAPB.

或Z.PAC=Z.PBD+Z.APB或ZAPB=0°，

NPAC=ZPBD(任写一个即可).

(c)当动点尸在射线84的左侧时，

结论是ZPAC=AAPB+ZPBD.

选择（a）证明：

如图4,连接尸N,连接尸8交/C于M.

:AC//BD,

ZPMC=ZPBD.

又＜NPMC=NPAM+NAPM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

...ZPBD=NPAC+NAPB.

选择（b）证明：如图5

•点尸在射线加上，.•.乙"9=。度.

:AC//BD,...ZPBD=APAC.

二.NPBD=/PAC+NAPB

或Z.PAC=NPBD+NAPB

«£Z.APB=0°,NPAC=NPBD.

选择（c）证明：

如图6,连接尸4,连接PB交AC于F

-AC//BD,:.&FA=dBD.

•••APAC=ZAPF+ZPFA,

Z.PAC=NAPB+Z.PBD.

例4.如图，AB//EF,则4,ZC,ZD,“满足的数量关系是（）（多个折点

两种模型的结合，见折点做辅助线。）

A.Z/4+ZC+ZD+Z£=360cB.NA+ND=NC+NE

C.ZJ-ZC+ZD+Z£=180°D.Z£-ZC+ZD-ZJ=90°

【分析】过点C作CG//48,过点。作。尸，根据两直线平行，内错角相等可得

ZL4=ZACG,/CDH=/DCG,两直线平行，同旁内角互补可得NEO"=180。-,

然后表示出NC整理即可得解.

【解答】解：如图，过点。作CG//力8,过点、D作DH//EF,

贝|JZJ=NZCG,NEDH=180。一2E,

AB!/EF，

:.CG//DH，

...Z.CDH=Z.DCG，

ZC=N/CG+NCDH=乙4+NZ)-(180°-NE),

-ZC+ZD+Z^=180°.

故选：C.

过关检测

1.如图，AB//EF,ZC=90°,则。、夕和y的关系是（）

B.«+/?+/=180°C.a+p~y=90°D.fi+y-a=\80°

【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关

系.

【解答】解：延长OC交力8与G,延长CO交所于

在直角ABGC中，Zl=90°-a；AEHD中,Z2=fi-y,

VAB//EF,

Z1=Z2,

:.900-a=p-r，即a+Q-y=90。.

故选：C.

2.如图，已知力8//CO,EF//CD,ZJBC=45°,ZC£F=150°,则乙gCE等于15度.

B

【分析】根据两直线平行，内错角相等求出/8CO等于45。；两直线平行，同旁内角互补求

出NEC。等于30。，/8CE的度数即可求出.

【解答】解：ZABC=45°,

:./BCD=/ABC=45°,

-EFHCD,

NECD+NCEF=180。,

vZCEF=150°,

ZECD=180°-Z.CEF=180°-l50°=30°，

ZBCE=/BCD-/ECD

=45°-30°=15°,

NBCE的度数为15。.

故答案为：15

二.平行线的判定和综合

内容讲解

例1.同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

（1）如图1,若ABHCD,点P在力8、CO内部，请写出NBPZ）、4B、NO之间的数量

关系（不必说明理由）；

（2）如图2,将直线绕点8逆时针方向转一定角度交直线CO于点0,利用（1）中的

结论求N8尸。、4B、N。、N4。。之间有何数量关系？并证明你的结论；

（3）如图3,设8产交/C于点M,4E交DF于点、N.已知乙"/8=140。，ZANF=\05°,

利用（2）中的结论直接写出N5+NE+NF的度数和4比NE大多少度.

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键。熟知猪蹄型常用辅助线。

【分析】（1）过点尸作PE//4B,根据两直线平行，内错角相等可得N8=Nl,N£>=N2,

再根据NBPZ）=Z1+Z2即可得解；

（2）连接QP并延长，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答;

（3）依据（2）中的结论、三角形的内角和及三角形的外角和即可求得.

【解答】解：（1）过点P作PE//4B,

ABHCD,

ABHEPIICD,

/.Z5=Z1,ZD=Z2,

:.NBPD=NB+/D；

（2）如图2,连接。尸并延长,

结论：/BPD=NBQD+/B+/D.

/RPD=(/RQP+/#)+(/DQP+ZD)=/RQD+/R+/D：

(3)，；N4NF=105。，

Z.ENF=NB+NE+NF=180°-105°=75°,

,:ZA=NAMB-NB-NE,

NF=180°-Z.ANF-NB-ZE,

...NA-NF=ZAMB+Z.ANF-\^0=65°.

答：4+NE+N尸的度数为：75。；

ZJ比NF大65。.

过关检测

1.如图，直线尸0//MN,点。是尸。、MN之间(不在直线尸。，MN上)的一个动点，

(1)若N1与N2都是锐角，如图甲，请直接写出NC与Nl,N2之间的数量关系；

(2)若把一块三角尺(4=30。,/。=90。)按如图乙方式放置，点。，E,尸是三角尺的边

与平行线的交点，若乙4EN=NA，求尸的度数；

(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G

在线段CO上，连接EG,且有NCEG=,求幺处的值；

NBDF

【分析】(1)过。作。。〃尸。，依据平行线的性质，即可得出/C=N1+N2；

(2)根据(1)中的结论可得，ZC=Z.MEC+Z.PDC=90°,再根据对顶角相等即可得

出结论；

(3)设NCEG=NCEM=x,得到NGEN=180。-2x,再根据(1)中的结论可得

2LCDP=90°-ZCEM=90°-x,再根据对顶角相等即可得出产=90。-%，据此可得

/GEN

的值.

NBDF

【解答】解：（1）ZC=Z1+Z2.

理由：如图，过。作C0//P。，