2025年外研衔接版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研衔接版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设等差数列｛｝{}的前n项和为若则=A.B.C.D.2、已知直线l：x+y+2=0，是l的一个单位法向量，定点A（1，1）、B为l上一动点，则||恒为定值（）

A.

B.2

C.2

D.4

3、不等式≤0的解集为（）

A.{-≤x≤}

B.{x|x≤-或x≥}

C.{x|-≤x≤}

D.{x|x≤-或x＞}

4、已知函数的最小值是（）A.5B.4C.8D.65、【题文】某几何体的三视图（如图所示）均为边长为的等腰直角三角形；则该几何体的表面积是（）

A.B.C.D.6、已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A.函数f（x）的最小正周期为2πB.函数f（x）的图象关于点（0）d对称C.函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D.函数f（x）在[π]上单调递增7、将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（）A.一个圆台B.两个圆锥C.一个圆柱D.一个圆锥8、已知集合M={x|1＜x＜5，x∈N}，S={1，2，3}，那么M∪S=（）A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4，5}C.{2，3}D.{2，3，4}评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、（理）若直线x-y+m=0与曲线x=没有公共点，则m的取值范围是____．10、计算sin（-120°）cos1290°=____．11、集合{1，2，3}的真子集共有____个．12、已知在定义域上是减函数，且则的取值范围是。13、【题文】如图，直三棱柱中，则该三棱柱的侧面积为____．

14、【题文】已知函数的定义域和值域都是（其图像如下图所示），函数．定义：当且时，称是方程的一个实数根．则方程的所有不同实数根的个数是____．15、函数y=+1g（x﹣1）的定义域是____．16、已知函数y=asinx+2b（a＞0）的最大值为4，最小值为0，则a+b=______；此时函数y=bsinax的最小正周期为______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)17、（本小题满分12分）已知定义在R上奇函数在时的图象是如图所示的抛物线的一部分．（1）请补全函数的图象；（2）写出函数的表达式（只写明结果,无需过程）；（3）讨论方程的解的个数（只写明结果,无需过程）．18、设数列{an}的前n项和为．

（1）求a1，a2，a3；

（2）证明：{an+1-2an}是等比数列；

（3）求{an}的通项公式．

19、设数列的前项和为对一切点都在函数的图象上（1）求归纳数列的通项公式（不必证明）；（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），..，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为求的值；（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中求的取值范围20、若f（x）=是奇函数；则a=______．

21、已知等差数列满足：的前n项和为．（Ⅰ）求及（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．22、【题文】（12分）.已知圆C：

直线

（1）证明：不论取何实数，直线与圆C恒相交；

（2）求直线被圆C所截得的弦长最小时直线的方程；23、设全集U=R，集合A={y|﹣1＜y＜4}，B={y|0＜y＜5}，试求∁UB，A∪B，A∩B，A∩（∁UB），（∁UA）∩（∁UB）．24、如图，鈻�ABC

中，sin隆脧ABC2=33AB=2

点D

在线段AC

上，且AD=2DCBD=433

．

(

Ⅰ)

求：BC

的长；(

Ⅱ)

求鈻�DBC

的面积.

评卷人得分四、证明题(共4题，共36分)25、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．26、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．27、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．28、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、计算题(共3题，共24分)29、若，则=____．30、如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=15，AE为过点A的直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=9，则DE=____．31、△ABC中，AB=AC=5厘米，BC=8厘米，⊙O分别切BC、AB、AC于D、E、F，那么⊙O半径为____厘米．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】【解析】试题分析：依据等差数列求和公式可得考点：等差数列性质及求和【解析】【答案】A2、B【分析】

直线l：x+y+2=0的一个单位法向量=（）；

||==

表示的是向量在直线l方向的投影的长度；就是A到直线l的距离．

所以d==2．

即||恒为定值为：2．

故选B．

【解析】【答案】求出直线l：x+y+2=0的一个单位法向量然后求解||的值，就是向量在直线l方向的投影的长度；转化为，A到直线l的距离．

3、C【分析】

∵≤0；

∴或

解得-≤x≤．

故选C．

【解析】【答案】先把≤0等价转化为或由此能求出原不等式的解集．

4、B【分析】当且仅当时取等【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】

试题分析：由三视图还原成实物图得，则和都是以为直角腰长的等腰三角形，则

易知且所以

同理可得故该几何体的表面积为故选A.

考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积【解析】【答案】A6、D【分析】【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

∴函数f（x）的周期T=π；故A错误；

∵ω＞0

∴ω=2；

∴函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）；

∵函数f（x+）是偶函数；

∴+φ=kπ+k∈Z，又|φ|＜解得：φ=．

∴f（x）=sin（2x+）．

∴由2x+=kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣0），k∈Z，故B错误；

由2x+=kπ+k∈Z，解得对称轴是：x=+k∈Z，故C错误；

由2kπ≤2x+≤2kπ+k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ-kπ]；k∈Z，故D正确．

故选：D．

【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+）是偶函数，可得+φ=kπ+k∈Z，又|φ|＜解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．7、D【分析】【解答】解：将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周；所得的几何体为圆锥；

故选：D

【分析】根据圆锥的几何特征，可得答案．8、A【分析】解：∵M={x|1＜x＜5；x∈N}={2，3，4}，S={1，2，3}；

∴M∪S={1；2，3，4}；

故选：A．

列举出M中的元素确定出M；找出M与S的并集即可．

此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．【解析】【答案】A二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

因为0≤1-y2≤1；所以0≤x≤1．

所以曲线x=等价为x2+y2=1；（0≤x≤1），为圆的右半部分．

由x-y+m=0得y=x+m；

由图象可知当直线经过点A（0；1）时，m=1．

当直线与圆相切时，圆心到直线的距离即得m=此时m=．

所以要使直线x-y+m=0与曲线x=没有公共点；

则m＞1或m．

故答案为：m＞1或m．

【解析】【答案】将曲线x=转化为x2+y2=1；（0≤x≤1），然后利用直线与曲线没有公共点，求出m的取值范围．

10、略

【分析】

∵sin（-120°）cos1290°

=sin（-120°）cos（4×360°-150°）

=sin（-120°）cos（-150°）

=-×（-）

=．

故答案为：

【解析】【答案】利用诱导公式与终边相同角的公式即可求得sin（-120°）cos1290°的值．

11、略

【分析】

集合{1；2，3}的真子集有：

∅；{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．

故答案为：7

【解析】【答案】集合{1；2，3}的真子集是指属于集合的部分，包括空集．

12、略

【分析】由题意解得【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：∵直三棱柱中，∴棱柱的高为2．∵∴底面为直角三角形，∴的周长为∴三棱柱的侧面积＝．

考点：棱柱的侧面积．【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】615、（1，2]【分析】【解答】解：要使函数有意义，可得：解得：x∈（1，2]．函数y=+1g（x﹣1）的定义域是（1；2]．

故答案为：（1；2]．

【分析】通过对数的真数大于0，被开偶次方数非负求解即可．16、略

【分析】解：由题意，函数y=asinx+2b（a＞0）的最大值为4；最小值为0；

可得a+2b=4，2b-a=0，解得：a=2，b=1．

则a+b=3．

函数y=bsinax的最小正周期T=．

故答案为：3；π

根据正弦函数的性质求解即可．

本题主要考查了正弦函数的图象及性质以及周期的求法．属于基础题．【解析】3；π三、解答题(共8题，共16分)17、略

【分析】试题分析：（1）根据奇函数的图象关于原点对称，及已知条件可得函数的图象.（2）根据函数的图象顶点坐标及与轴交点坐标，可得函数的解析式（3）作出图象即可分析得出试题解析：（1）补全的图象如图1所示：（2）当时，设由得，所以此时，即当时，所以①又代入①得所以（3）函数的图象如图2所示.由图可知，当时，方程无解；当时，方程有三个解；当时，方程有6个解；当时，方程有4个解；当时，方程有2个解.考点：奇函数的图像与性质；分类讨论思想；数形结合思想.【解析】【答案】（1）详见解析；（2）（3）详见解析.18、略

【分析】

∵∴∴a1=2．（1分）

=2+22=6（2分）

=8+23=16（3分）

（2）证明：∵

∴当n≥2时，（4分）

∴两式相减可得（6分）

∴=2；（7分）

∴{an+1-2an}是首项为2；公比为2的等比数列．（8分）

（3）【解析】

由（2）得

∴n≥2时，=+1（10分）

由累加法可得

∴an=（n+1）•2n-1．（12分）

当n=1时，a1=2也满足上式；（13分）

∴an=（n+1）•2n-1（14分）

【解析】【答案】（1）利用n分别取1，2，3，代入计算可求a1，a2，a3；

（2）利用再写一式，化简即可证明{an+1-2an}是等比数列；

（3）由可得n≥2时，=+1，利用累加法，即可求{an}的通项公式．

（1）19、略

【分析】试题分析：(1)根据题意求处前几项利用归纳推理猜想通项公式(2)观察发现规律,可得：是第25组中第4个括号内各数之和；(3)将恒成立问题转化为求函数的最值进行求解.规律总结：1.归纳推理是合情推理的一种，对数学定理、结论的求解起到非常重要的作用；此类题型的关键是通过已知的项，发现内在的规律与联系，进而提出猜想；2.求序号较大的项时，往往要探索是否具有周期性；3.对于不等式的恒成立问题，主要思路是将所求参数进行分离，将其转化为求函数的最值问题.试题解析：（1）因为点在函数的图象上，故所以．令得所以令得所以令得所以．由此猜想：（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），.每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以．又=22，所以=2010.（3）因为故所以．又故对一切都成立，就是对一切都成立设则只需即可．由于所以故是单调递减，于是．令即解得或．综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是．考点：1.归纳推理；2.等差数列；3.函数的单调性【解析】【答案】（1)(2)2010;(3)20、略

【分析】

∵f（x）是奇函数；

∴f（x）=-f（-x）；

∴=

∴=

解得a=．

故答案为：．

【解析】【答案】根据奇函数的性质；f（x）=-f（-x），代入f（x）的解析式，得到等式即可求出a的值．

21、略

【分析】【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为所以有解得所以==（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以bn===所以==考点：等差数列和裂项求和【解析】【答案】（1）==（2）22、略

【分析】【解析】本题考查学生会求两直线的交点坐标；会利用点到圆心的距离与半径的大小比较来判断点与圆的位置关系，灵活运用圆的垂径定理解决实际问题，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据斜率与一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．

（1）要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交；即要证直线l横过过圆C内一点，方法是把直线l的方程改写成m（2x+y-7）+x+y-4=0可知，直线l一定经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点，联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AC之间的距离d，判断d小于半径5，得证；

（2）根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径；最短的弦是过A垂直于直径的弦，所以连接AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B；D，弦BD为最短的弦，接下来求BD的长，根据垂径定理可得A是BD的中点，利用（1）圆心C到BD的距离其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长，根据勾股定理可求出12

|BD|的长，求得|BD|的长即为最短弦的长；根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出直线BD的斜率，又直线BD过A（3，1），根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程．【解析】【答案】（1）可证明直线L过圆C内的定点（3,1）

（2）2X-Y-5=023、解：由条件得B={y|0＜y＜5}，从而CUB={y|y≤0或y≥5}；A∪B={y|﹣1＜y＜5}；

A∩B={y|0＜y＜4}；

A∩（CUB）={y|﹣1＜y≤0}；

（CUA）∩（CUB）={y|y≤﹣1或y≥5}【分析】【分析】利用集合的交集、并集、补集的定义求出各个集合．24、略

【分析】

(

Ⅰ)

由sin隆脧ABC2

的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos隆脧ABC

的值，设BC=aAC=3b

由AD=2DC

得到AD=2bDC=b

在三角形ABC

中，利用余弦定理得到关于a

与b

的关系式，记作垄脵

在三角形ABD

和三角形DBC

中，利用余弦定理分别表示出cos隆脧ADB

和cos隆脧BDC

由于两角互补，得到cos隆脧ADB

等于鈭�cos隆脧BDC

两个关系式互为相反数，得到a

与b

的另一个关系式，记作垄脷垄脵垄脷

联立即可求出a

与b

的值；即可得到BC

的值；

(

Ⅱ)

由角ABC

的范围和cos隆脧ABC

的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin隆脧ABC

的值，由AB

和BC

的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC

的面积，由AD=2DC

且三角形ABD

和三角形BDC

的高相等，得到三角形BDC

的面积等于三角形ABC

面积的13

进而求出三角形BDC

的面积．

此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．【解析】解：(

Ⅰ)

因为sin隆脧ABC2=33

所以cos隆脧ABC=1鈭�2sin2隆脧ABC2=1鈭�2隆脕13=13

．

在鈻�ABC

中，设BC=aAC=3b

由余弦定理可得：9b2=a2+4鈭�43a垄脵

在鈻�ABD

和鈻�DBC

中；由余弦定理可得：

cos隆脧ADB=4b2+163鈭�41633bcos隆脧BDC=b2+163鈭�a2833b

．

因为cos隆脧ADB=鈭�cos隆脧BDC

所以有4b2+163鈭�41633b=鈭�b2+163鈭�a2833b

所以3b2鈭�a2=鈭�6垄脷

由垄脵垄脷

可得a=3b=1

即BC=3

．

(

Ⅱ)

由(

Ⅰ)

知cos隆脧ABC=13

则sin隆脧ABC=1鈭�(13)2=223

又AB=2BC=3

则鈻�ABC

的面积为12AB?BCsin隆脧ABC=12隆脕2隆脕3隆脕223=22

又因为AD=2DC

所以鈻�DBC

的面积为13隆脕22=223

．四、证明题(共4题，共36分)25、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．26、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．27、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．28、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：