2025年北师大新版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高二数学下册月考试卷914考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、若f（x）=x2-2x-4lnx，不等式f′（x）＞0的解集为p，关于x的不等式x2+（a-1）x-a＞0的解集记为q；已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）

A.（-2；-1]

B.[-2；-1]

C.∅

D.[-2；+∞）

2、【题文】下图是某人在5天中每天加工零件个数的茎叶图；则该组数据的方差为（）

A.B.C.D.3、【题文】已知中，内角所对边长分别为若则的面积等于（）A.B.C.D.4、【题文】已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A.S2B.S3C.S4D.无法确定5、如图；在复平面内，点M表示复数z，则z的共轭复数对应的点是（）

A.MB.NC.PD.Q6、古代“五行”学说认为：物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．从五种物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、展开式中，常数项是____．8、已知x与y之间的一组数据：。x0123y1357则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点__________________________.9、在等差数列中，若则该数列的前2009项的和是____.10、若=（2，3，m），=（2n，6，8）且为共线向量，则m+n=____．11、已知f（x）=logax（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=C=f′（a+1），则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是______．12、在等比数列{an}中，若a9•a11=4，则数列前19项之和为______．13、以双曲线的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为______．14、已知双曲线x2a2鈭�y2b2=1(a>0,b>0)

的左、右焦点分别为F1F2

过F2

的直线交双曲线右志于PQ

两点，且PQ隆脥PF1

若|PQ|=512|PF1|

则双曲线的离心率为______．15、已知1(x)=(x2+2x+1)ex2(x)=[1(x)]隆盲3(x)=[2(x)]隆盲n+1(x)=[n(x)]隆盲n隆脢N*.

设n(x)=(anx2+bnx+cn)ex

则b2015=

______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)23、【题文】已知向量＝＝＝

（1）若求向量的夹角。

（2）当时，求函数的最大值24、【题文】（本题满分12分）在平面直角坐标系下，已知

（1）求的表达式和最小正周期；

（2）当时，求的值域．25、已知椭圆娄拢x2a2+y2b2=1(a>b>0)

的离心率为32

左顶点为C

上顶点为D

且|CD|=5

(1)

求椭圆娄拢

的方程。

(2)O

为坐标原点，斜率为k

的直线过P

的右焦点，且与娄拢

交于点A(x1,y1)B(x2,y2)

若x1x2a2+y1y2b2=0

求鈻�AOB

的面积．评卷人得分五、计算题(共1题，共8分)26、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．评卷人得分六、综合题(共4题，共16分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为30、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】

不等式f′（x）＞0即。

2x-2-＞0（其中x＞0）的解集p为（2；+∞）；

不等式x2+（a-1）x-a＞0可化为（x-1）（x+a）＞0；

由于p是q的充分不必要条件可知p是q的真子集；

①当-a＜1时，不等式x2+（a-1）x-a＞0的解集为（-∞；-a）∪（1，+∞），此时满足题意；

②当-a=1时，不等式x2+（a-1）x-a＞0的解集为（-∞；1）∪（1，+∞），此时满足题意；

③当-a＞1时，不等式x2+（a-1）x-a＞0的解集为（-∞；1）∪（-a，+∞），必须有-a≤2，即-1＜a≤-2．

∴实数a的取值范围是[-2；+∞）．

故选D．

【解析】【答案】分别求解解集p与q；由p是q的充分不必要条件可知p是q的真子集，利用集合的包含关系可以求得．

2、B【分析】【解析】

试题分析：由题设可得：选B.

考点：茎叶图、方差.【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】

试题分析：由正弦定理知将带入得解得所以故是等边三角形，从而故选B.

考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式.【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】解：根据题意可得显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29,得到公比的值为q=得到S3=361+q+q2,错误，显然只可能是S3算错了，此时由a2=12得q=a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设，故选B【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】根据共轭复数实部相等，虚部互为相反数，可得答案选B.6、A【分析】【解答】解：从五种物质中随机抽取两种，所有的抽法共有=10种，而相克的有5种情况，则抽取的两种物质相克的概率是=

故抽取的两种物质不相克的概率是1﹣=

故选A．

【分析】所有的抽法共有种，而相克的有5种情况，由此求得抽取的两种物质相克的概率，再用1减去此概率，即得所求．二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

展开式的通项为

令解得r=3

所以展开式的常数项为-C93=-84

故答案为：-84

【解析】【答案】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．

8、略

【分析】【解析】试题分析：y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点样本中心点计算可知即过点（1.5,4）。考点：本题主要考查线性回归直线的性质，平均数的计算。【解析】【答案】（1.5,4）9、略

【分析】【解析】试题分析：因为是等差数列，根据等差数列的性质可知所以该数列的前2009项的和是考点：本小题主要考查等差数列的性质.【解析】【答案】200910、6【分析】【解答】解：=（2，3，m），=（2n，6，8）且为共线向量，∴∴∴m+n=6故答案为：6

【分析】为共线向量，即可求出m、n11、略

【分析】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），则由于表示直线MN的斜率；A=f'（a）表示函数f（x）=logax在点M处的切线斜率；C=f'（a+1）表示函数f（x）=logax在点N处的切线斜率．

所以A＞B＞C．

故答案为：A＞B＞C．

设M坐标为（a；f（a）），N坐标为（a+1，f（a+1）），利用导数及直线斜率的求法得到A；B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案。

此题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题．【解析】A＞B＞C12、略

【分析】解：a9•a11=4⇒a10=±2（舍去负值，∵an＞0）∴a10=2

∴

故答案为-19

由条件a9•a11=4，利用等比数列的通项，可知a10=2，从而可求数列前19项之和．

本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列的通项公式及其性质．【解析】-1913、略

【分析】解：双曲线的右焦点为F（20），一条渐近线为2x+y=0．

∴所求圆的圆心为（20）．

∵所求圆被渐近线2x+y=0截得的弦长为6；

∴圆心为（20）到渐近线2x+y=0的距离

圆半径

∴所求圆的方程是．

故答案为．

由题意知所求圆的圆心为（20）．圆心为（20）到渐近线2x+y=0的距离所以圆半径由此可知圆的方程．

本题考查圆锥曲线的综合运用，解题时要注意公式的正确选取．【解析】14、略

【分析】解：设PQ

为双曲线右支上一点；

由PQ隆脥PF1|PQ|=512|PF1|

在直角三角形PF1Q

中，|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1312|PF1|

由双曲线的定义可得：2a=|PF1|鈭�|PF2|=|QF1|鈭�|QF2|

由|PQ|=512|PF1|

即有|PF2|+|QF2|=512|PF1|

即为|PF1|鈭�2a+1312|PF1|鈭�2a=512|PF1|

隆脿(1鈭�512+1312)|PF1|=4a

解得|PF1|=12a5

．

隆脿|PF2|=|PF1|鈭�2a=12a5鈭�2a=2a5

由勾股定理可得：2c=|F1F2|=(12a5)2+(2a5)2=2375a

则e=375

．

故答案为：375

．

由PQ隆脥PF1|PQ|

与|PF1|

的关系，可得|QF1|

于|PF1|

的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|鈭�|PF2|=|QF1|鈭�|QF2|

解得|PF1|

然后利用直角三角形，推出ac

的关系，可得双曲线的离心率．

本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】375

15、略

【分析】解：根据题意；1(x)=(x2+2x+1)ex

2(x)=[1(x)]隆盲=(x2+4x+3)ex

3(x)=[2(x)]隆盲=(x2+6x+7)ex

4(x)=[3(x)]隆盲=(x2+8x+13)ex

分析可得n(x)=(x2+2nx+n2鈭�n+1)ex

则bn=2n

b2015=2隆脕2015=4030

故答案为：4030

．

根据题意，依次求出1(x)2(x)3(x)4(x)

的值，分析可得bn=2n

代入计算可得答案．

本题考查了导数的运算法则和归纳推理的问题，关键在于正确求导．【解析】4030

三、作图题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共15分)23、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）为求向量的夹角，首先计算向量的数量积，然后计算根据得到

（2）利用向量的坐标运算，并利用三角函数的和差倍半公式，化简得到，根据角的范围，进一步确定函数的最大值.

试题解析：（1）∵＝＝

∴2分。

当时，＝

4分。

5分。

∵∴6分。

（2）7分。

9分。

10分。

∵

∴故11分。

∴当即时,12分。

考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质.【解析】【答案】（1）（2）24、略

【分析】【解析】解：（1）

∴

∴6分。

∴的最小正周期为8分。

（2）∵∴∴．

∴．所以函数的值域是12分【解析】【答案】（1）

（2）函数的值域是25、略

【分析】

(1)

利用椭圆娄拢x2a2+y2b2=1(a>b>0)

离心率为32

左顶点为C

上顶点为D

且|CD|=5

根据椭圆的性质，求出a

求出b

即可求椭圆方程；

(2)

设直线AB

的方程为y=k(x鈭�3)

代入椭圆方程，消去y

并整理，利用韦达定理，结合x1x2a2+y1y2b2=0

求出k

进而求出|AB|

原点O

到直线AB

的距离，即可求鈻�AOB

的面积．

本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，确定直线AB

的斜率是关键．【解析】解：(1)

依题意，隆脽

椭圆娄拢x2a2+y2b2=1(a>b>0)

的离心率为32

左顶点为C

上顶点为D

且|CD|=5

隆脿ca=32a2+b2=5a2鈭�b2=c2

解得a=2b=1

隆脿

椭圆方程为x24+y2=1.(5

分)

(2)隆脽

直线AB

过右焦点(3,0)

设直线AB

的方程为y=k(x鈭�3).

代入椭圆方程，消去y

并整理得(1+4k2)x2鈭�83k2x+12k2鈭�4=0.(*)

故x1+x2=83k21+4k2x1x2=12k2鈭�41+4k2

．

隆脿y1y2=k(x1鈭�3)?2(x鈭�3)=鈭�k21+4k2

．

又x1x2a2+y1y2b2=0

即x1x24+y1y2=0

．

隆脿3k2鈭�11+4k2+鈭�k21+4k2=0

可得k2=12

即k=隆脌22

．

方程(*)

可化为3x2鈭�43x+2=0

由|AB|=1+k2?|x1鈭�x2|=32?(433)2鈭�4隆脕23=2

．

隆脽

原点O

到直线AB

的距离d=|3k|1+k2=1

．

隆脿S鈻�AOB=12|AB|?d=1.(13

分)

五、计算题(共1题，共8分)26、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．六、综合题(共4题，共16分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三