巢湖学院离散数学试卷

巢湖学院离散数学试卷一、选择题

1.在图论中，一个无向图的所有顶点的度之和等于：

A.顶点数

B.边数

C.顶点数与边数之和

D.无向图中顶点的最大度

2.在集合论中，下列哪个命题是正确的？

A.如果A⊆B，则B⊆A

B.如果A⊆B，则B⊆A或A=B

C.如果A⊆B，则A=B

D.如果A⊆B，则A和B有相同的元素

3.在关系数据库中，第一范式（1NF）要求满足以下条件：

A.每个属性都是不可分割的

B.每个非主属性完全依赖于主属性

C.每个非主属性都只依赖于主属性

D.主属性不可分割

4.在计算机科学中，下列哪个算法的时间复杂度是O(nlogn)？

A.快速排序

B.冒泡排序

C.选择排序

D.插入排序

5.在离散数学中，下列哪个命题是正确的？

A.如果A∩B=∅，则A∪B=∅

B.如果A∩B≠∅，则A∪B≠∅

C.如果A∩B≠∅，则A∪B=∅

D.如果A∩B=∅，则A∪B≠∅

6.在图论中，一个无向连通图的最小生成树中包含多少条边？

A.顶点数

B.顶点数减1

C.顶点数加1

D.边数

7.在集合论中，下列哪个命题是正确的？

A.如果A⊆B，则B⊆A

B.如果A⊆B，则B⊆A或A=B

C.如果A⊆B，则A=B

D.如果A⊆B，则A和B有相同的元素

8.在关系数据库中，第三范式（3NF）要求满足以下条件：

A.每个属性都是不可分割的

B.每个非主属性完全依赖于主属性

C.每个非主属性都只依赖于主属性

D.主属性不可分割

9.在计算机科学中，下列哪个算法的空间复杂度是O(n)？

A.快速排序

B.冒泡排序

C.选择排序

D.插入排序

10.在离散数学中，下列哪个命题是正确的？

A.如果A∩B=∅，则A∪B=∅

B.如果A∩B≠∅，则A∪B≠∅

C.如果A∩B≠∅，则A∪B=∅

D.如果A∩B=∅，则A∪B≠∅

二、判断题

1.在离散数学中，一个有限集的基数（即元素个数）必定是一个自然数。（）

2.在图论中，一个无向图的所有顶点的度之和等于边数的两倍。（）

3.在集合论中，空集是任何集合的子集，但任何集合都不是空集的子集。（）

4.在关系数据库中，第二范式（2NF）确保了表中的每个非主属性完全依赖于主键。（）

5.在计算机科学中，哈希表是通过使用哈希函数来存储和检索数据的数据结构，它的时间复杂度通常是O(1)。（）

三、填空题

1.在图论中，一个连通图的最小生成树包含______条边。

2.在集合论中，两个集合的笛卡尔积（Cartesianproduct）表示为______。

3.在关系数据库中，一个关系模式的主键是______，它能够唯一标识表中的每一行。

4.在计算机科学中，一个算法的时间复杂度通常用______来表示，它描述了算法执行时间随输入规模增长的变化趋势。

5.在离散数学中，一个集合的幂集（powerset）包含该集合的所有______。

四、简答题

1.简述集合论中集合的并集、交集和补集的概念，并给出它们的数学表示。

2.解释图论中的连通性和路径的概念，并说明如何判断一个无向图是否连通。

3.描述关系数据库中第一范式（1NF）、第二范式（2NF）和第三范式（3NF）的定义，以及它们在数据库设计中的作用。

4.简要介绍哈希表的基本原理，包括哈希函数的选择和哈希冲突的解决方法。

5.解释图论中的最小生成树算法（如普里姆算法和克鲁斯卡尔算法）的基本步骤和适用场景。

五、计算题

1.计算集合{1,2,3,4,5}与集合{3,4,5,6,7}的并集、交集和差集。

2.设无向图G的顶点集合为V={A,B,C,D,E}，边集合为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)}，请画出该图，并找出图中的连通分量。

3.设关系模式R(U,F)的属性集合为U={A,B,C,D}，函数依赖集合为F={AB→C,AC→D,AD→B,BC→D}，判断R是否满足第三范式（3NF），并说明理由。

4.给定一个长度为10的数组，包含以下元素：[5,3,8,2,9,1,6,4,7,10]。请使用快速排序算法对这个数组进行排序。

5.设图G是一个有向图，其邻接矩阵如下所示：

```

01000

10100

01010

00101

00010

```

请找出图G的所有顶点的入度和出度，并计算图G的度序列。

六、案例分析题

1.案例分析：某电子商务平台为了提高用户购物体验，决定引入推荐系统。请分析以下情况，并给出相应的离散数学解决方案。

情况描述：该平台有大量用户和商品数据，用户在平台上浏览和购买商品的行为数据被记录下来。平台希望根据用户的浏览和购买历史，为用户推荐他们可能感兴趣的商品。

分析要求：

-使用集合论中的概念描述用户集合U和商品集合P。

-利用图论中的概念描述用户和商品之间的关系，并画出相应的图。

-设计一种方法来计算用户对商品的评分，并说明如何利用这些评分进行商品推荐。

2.案例分析：某教育机构正在开发一个在线学习平台，该平台需要管理大量的课程资源和用户数据。请分析以下情况，并给出相应的离散数学解决方案。

情况描述：教育机构希望对课程进行分类管理，以便用户能够根据兴趣和需求快速找到合适的课程。此外，平台还需要跟踪用户的课程学习进度和成绩。

分析要求：

-使用关系数据库的概念设计一个简单的数据库模式，包括用户表、课程表和成绩表。

-利用集合论中的概念描述课程分类，并说明如何将课程分类存储在数据库中。

-设计一种算法，根据用户的学习进度和成绩，为用户提供个性化的学习建议。

七、应用题

1.应用题：某班级有30名学生，其中有15名学生选修了数学，12名学生选修了物理，8名学生选修了化学。有5名学生同时选修了数学和物理，3名学生同时选修了物理和化学，2名学生同时选修了数学和化学，且有1名学生同时选修了数学、物理和化学。请计算：

-只选修数学的学生人数。

-只选修物理的学生人数。

-只选修化学的学生人数。

-同时选修数学和化学但不同时选修物理的学生人数。

2.应用题：给定一个整数数组，请设计一个算法，找出数组中的最大子序列和。例如，对于数组[−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4]，最大子序列和为6（由子序列[4,−1,2,1]得出）。

3.应用题：一个无向图有5个顶点，边的权重如下表所示：

|边|权重|

|-----|------|

|AB|3|

|AC|4|

|AD|2|

|BC|1|

|BD|5|

|CD|6|

请使用普里姆算法（Prim'salgorithm）找到这个图的最小生成树，并计算其总权重。

4.应用题：设计一个哈希表，使用简单的哈希函数来存储以下键值对，并解决潜在的哈希冲突：

-(Key1,Value1)

-(Key2,Value2)

-(Key3,Value3)

-(Key4,Value4)

-(Key5,Value5)

假设哈希函数为`hash(key)=key%5`，其中`%`是取模运算符。请描述如何处理哈希冲突，并展示如何插入和检索这些键值对。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.C

3.B

4.A

5.D

6.B

7.C

8.B

9.A

10.B

二、判断题答案：

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.顶点数减1

2.A×B

3.主键

4.大O符号

5.子集

四、简答题答案：

1.并集：两个集合A和B的并集是由所有属于A或B或同时属于A和B的元素组成的集合，表示为A∪B。

交集：两个集合A和B的交集是由同时属于A和B的元素组成的集合，表示为A∩B。

补集：集合A的补集是由所有不属于A的元素组成的集合，表示为A'。

2.连通性：一个无向图G是非连通的，如果存在顶点u和v，使得u和v之间没有路径相连。

路径：一个顶点序列v1,v2,...,vn，其中v1和vn是图G中的两个顶点，且对于1≤i≤n-1，vi和vi+1之间有边相连，那么这个序列就是一个从v1到vn的路径。

3.第一范式（1NF）：每个属性都是不可分割的原子值。

第二范式（2NF）：满足1NF，且每个非主属性完全依赖于主键。

第三范式（3NF）：满足2NF，且每个非主属性都不传递依赖于主键。

4.哈希表的基本原理：使用哈希函数将键映射到表中的一个位置，解决冲突的方法包括开放寻址法、链地址法等。

5.最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法都是寻找最小生成树的有效方法。普里姆算法从某个顶点开始，逐步添加边直到覆盖所有顶点，而克鲁斯卡尔算法则先排序所有边，然后逐步选择边添加到生成树中，直到覆盖所有顶点。

五、计算题答案：

1.并集：{1,2,3,4,5,6,7}，交集：{3,4,5}，差集：{1,2,6,7}。

2.使用动态规划，定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最大子序列和。初始化dp[0]为数组第一个元素，对于每个元素i（1≤i≤n-1），计算dp[i]为max(dp[i-1]+arr[i],arr[i])。

3.使用普里姆算法找到最小生成树，总权重为3+4+2+1+5+6=21。

4.使用哈希表，插入时使用哈希函数计算键的哈希值，然后根据哈希值将键值对存储在相应的位置。检索时，使用相同的哈希函数找到键值对的位置。

七、应用题答案：

1.只选修数学的学生人数为15-5-2-1=7。

只选修物理的学生人数为12-5-3-1=3。

只选修化学的学生人数为8-3-2-1=2。

同时选修数学和化学但不同时选修物理的学生人数为2-1=1。

2.算法实现略。

3.最小生成树的总权重为21。

4.哈希表实现略。

知识点总结：

本试卷涵盖了离散数学、图论、数据库和计算机科学的基本概念和算法。以下是各题型所考察的知识点详解及示例：

选择题：

-考察集合论、图论、数据库和算法的基本概念。

-示例：集合的并集、交集、补集；图论中的连通性、路径；关系数据库中的范式；算法的时间复杂度和空间复杂度。

判断题：

-考察对基本概念的理解和判断能力。

-示例：集合论中的子集、补集；图论中的连通性；关系数据库中的范式。

填空题：

-考察对基本概念的记忆和应用能力。

-示例：集合论中的并集、交集、补集；图论中的连通性、路径；关系数据库中的范式；算法的时间复杂度和空间复杂度。

简答题：

-考察对基本概