初三竞赛题数学试卷

初三竞赛题数学试卷一、选择题

1.若一个二次函数的图象开口向上，且对称轴为x=2，则该函数的顶点坐标为（）

A.（2，0）B.（2，1）C.（2，-1）D.无法确定

2.在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点为（）

A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）

3.若等差数列{an}的公差为d，则第n项an的表达式为（）

A.an=a1+(n-1)dB.an=a1-(n-1)d

C.an=a1+ndD.an=a1-nd

4.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，则f(-1)的值为（）

A.-4B.-2C.0D.2

5.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=60°，则∠ABC的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.若等比数列{an}的公比为q，则第n项an的表达式为（）

A.an=a1*q^(n-1)B.an=a1/q^(n-1)

C.an=a1*q^nD.an=a1/q^n

7.在平面直角坐标系中，点P（3，4）到直线y=2x+1的距离为（）

A.1B.2C.3D.4

8.若函数g(x)=x^3-3x^2+4x-1在x=1处的导数为g'(1)，则g'(1)的值为（）

A.-2B.-1C.0D.1

9.在等边三角形ABC中，若AB=AC=BC，则∠BAC的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

10.若函数h(x)=x^2-4x+4在x=2处的导数为h'(2)，则h'(2)的值为（）

A.-2B.-1C.0D.1

二、判断题

1.平行四边形的对角线互相平分，因此对角线的中点重合。（）

2.在三角形中，大边对大角，小边对小角。（）

3.一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。（）

4.指数函数y=a^x（a>0，a≠1）在定义域内是单调递增的。（）

5.对数函数y=log_ax（a>0，a≠1）的图像是单调递减的。（）

三、填空题

1.若等差数列{an}的第一项a1=3，公差d=2，则第10项an的值为______。

2.在直角坐标系中，点A（1，2）和点B（4，5）之间的距离为______。

3.函数f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标为______。

4.若等比数列{an}的第一项a1=1，公比q=2，则第5项an的值为______。

5.在三角形ABC中，已知∠A=45°，AB=AC，则∠B和∠C的度数分别为______和______。

四、简答题

1.简述一元二次方程ax^2+bx+c=0的解法步骤，并举例说明。

2.解释函数y=log_ax（a>0，a≠1）的单调性和定义域，并说明为什么对数函数的性质与指数函数的性质相反。

3.在直角坐标系中，如何根据两个点的坐标求出它们之间的距离？请给出公式并说明公式的推导过程。

4.简述等差数列和等比数列的性质，并举例说明它们在实际问题中的应用。

5.在三角形中，如何证明两个角相等或两个边相等？请列举至少两种证明方法，并简述其证明过程。

五、计算题

1.计算下列等差数列的前10项和：3,6,9,...,27。

2.计算下列等比数列的前5项和：2,6,18,...,432。

3.解一元二次方程：x^2-5x+6=0。

4.求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,3]上的最大值和最小值。

5.在直角坐标系中，已知点A（2，3）和点B（-3，-2），求线段AB的中点坐标。

六、案例分析题

1.案例分析题：某校初三数学竞赛中，有一道题目是关于三角形的外接圆和内切圆的面积比较。题目如下：

已知三角形ABC的边长分别为AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm。求三角形ABC的外接圆面积和内切圆面积，并比较两者的大小。

请根据所学知识，分析并解答此题。

2.案例分析题：在一次数学课上，教师向学生提出了以下问题：

已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求函数的极值点。

请根据所学知识，分析并解答此题，包括极值点的判断和极值的计算。

七、应用题

1.应用题：小明去书店购买数学参考书，书店有两种折扣方案。方案一：满100元打九折；方案二：满200元打八折。小明计划购买总价值为150元的参考书，请帮助小明选择最优惠的购买方案，并计算他实际需要支付的金额。

2.应用题：某工厂生产一批产品，每件产品原材料成本为10元，销售价格为20元。如果每多销售1件产品，总成本增加2元，销售价格不变。为了达到利润最大化，该工厂应销售多少件产品？请计算最大利润。

3.应用题：在三角形ABC中，已知AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm。若三角形ABC的面积为24cm²，求三角形的高AD（D为BC边上的高）。

4.应用题：一辆汽车以60km/h的速度行驶，当油箱中还剩30L油时，司机计划再行驶150km到达下一个加油站。汽车的平均油耗为每100km消耗8L油。请计算汽车到达下一个加油站时油箱中剩余的油量。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.B

3.A

4.C

5.C

6.A

7.B

8.B

9.C

10.D

二、判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空题

1.27

2.5

3.（2，-1）

4.32

5.45°，45°

四、简答题

1.解一元二次方程的步骤如下：

-将方程写成标准形式ax^2+bx+c=0。

-计算判别式Δ=b^2-4ac。

-如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根，根据公式x=(-b±√Δ)/(2a)计算。

-如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根，即x=-b/(2a)。

-如果Δ<0，则方程没有实数根。

举例：解方程x^2-5x+6=0，得到x=2或x=3。

2.指数函数y=a^x（a>0，a≠1）在定义域内是单调递增的，因为当a>1时，随着x的增加，a^x的值也增加；当0<a<1时，随着x的增加，a^x的值减少。对数函数y=log_ax（a>0，a≠1）的单调性与指数函数相反，因为当a>1时，随着x的增加，log_ax的值减少；当0<a<1时，随着x的增加，log_ax的值增加。

3.在直角坐标系中，两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离公式为：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。

4.等差数列的性质包括：第一项与公差的和等于第二项，相邻两项的差等于公差。等比数列的性质包括：第一项与公比的乘积等于第二项，相邻两项的比等于公比。应用实例：等差数列可以用于计算等间距数列的和，等比数列可以用于计算等比数列的项数。

5.在三角形中，证明两个角相等或两个边相等的方法有：

-SSS（Side-Side-Side）准则：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

-SAS（Side-Angle-Side）准则：如果两个三角形的两边和它们夹角分别相等，则这两个三角形全等。

-AAS（Angle-Angle-Side）准则：如果两个三角形的两角和它们非夹边分别相等，则这两个三角形全等。

五、计算题

1.等差数列前n项和公式为：S_n=n/2*(a1+an)，其中a1是首项，an是第n项，n是项数。所以，前10项和为：S_10=10/2*(3+27)=5*30=150。

2.等比数列前n项和公式为：S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。所以，前5项和为：S_5=2*(1-2^5)/(1-2)=2*(1-32)/(-1)=2*31=62。

3.解一元二次方程x^2-5x+6=0，使用配方法或公式法，得到x=2或x=3。

4.求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,3]上的最大值和最小值，首先求导f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2，将x=2代入原函数得f(2)=4-8+4=0，所以最小值为0。因为函数在区间[1,3]上是开口向上的抛物线，所以最大值在端点处取得，f(1)=1-4+4=1，f(3)=9-12+4=1，所以最大值为1。

5.线段AB的中点坐标为两点坐标的平均值，所以中点坐标为((2-3)/2,(3-2)/2)=(-1/2,1/2)。

七、应用题

1.小明选择方案一，实际支付金额为150*0.9=135元。

2.利润P=销售收入-总成本，设销售x件产品，则销售收入为20x，总成本为10x+2x=12x，所以P=20x-12x=8x。为了达到利润最大化，需要求解8x的最大值，即x的最大值。因为每多销售1件产品，总成本增加2元，所以当x=25时，销售收入为500元，总成本为300元，利润为200元，这是最大利润。

3.三角形面积公式为S=1/2*底*高，所以24=1/2*6*AD，解得AD=8cm。

4.汽车平均油耗为每100km消耗8L油，所以150km消耗12L油。汽车剩余油量为30L-12L=18L。

本试卷所涵盖的理论基础部分知识点总结如下：

-数列：包括等差数列和等比数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式。

-函数：包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的基本性质、图像和图像变换。

-三角形：包括三角形的面积、高、周长和角度关系，以及全等三角形的判定条件。

-直线：包括直线的方程、斜率、截距和两点间的距离。

-应用题：包括实际问题中的数学建模和解题方法。

各题型所考察学生的知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念和性质