2025年外研版三年级起点高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点高二数学下册月考试卷533考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若则等于（）A.B.C.D.2、在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点E是侧面BB1CC1的中心，若AA1=3AB，则直线AE与平面BB1CC1所成角的大小为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

3、阅读程序框图，运行相应的程序，若输出的值为0，则判断框内为A.B.C.D.4、设为正数，则的最小值为（）A.B.C.D.5、在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形6、【题文】若向量为两个非零向量，且则向量与的夹角为()A.B.C.D.7、设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、在等比数列{an}中，若a3=2，a6=2，则公比q=____．9、椭圆的焦点分别为（-4，0），（4，0），且经过点的标准方程为____．10、在数列{an}中，a1=1，且对于任意正整数n，都有an+1=2an+n，则an=____．11、【题文】已知则____.12、已知a=sinxdx，若从[0，10]中任取一个数x，则使|x﹣1|≤a的概率为____．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共21分)20、【题文】若等边的边长为平面内一点满足求．21、选修4-4：坐标系与参数方程。

以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程：

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．22、设函数f（x）=|x-1|+|2x-1|．

（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；

（Ⅱ）若∀x∈R，不等式f（x）≥a|x|恒成立，求实数a的取值范围．评卷人得分五、计算题(共3题，共30分)23、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．24、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。25、解不等式组．评卷人得分六、综合题(共1题，共6分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】试题分析：是导函数在时的函数值，也即函数在处的导数值.题中故考点：导数的定义.【解析】【答案】A2、A【分析】

由题意画出图形如图；取BC的中点D，连接AD与ED；

因为三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，所以平面BCC1B1⊥平面ABC，点E是侧面BB1CC1的中心；

所以ED⊥BC，AD⊥BC，所以AD⊥平面EBC，∠AED就是直线AE与平面BB1CC1所成角；

∵AA1=3AB，∴ED=AB，AD=AB；

∴tan∠AED===

∠AED=30°．

故选A．

【解析】【答案】由题意画出几何体的图形，作出直线AE与平面BB1CC1所成角；然后求解即可．

3、B【分析】【解析】试题分析：运行程序应该是：第一圈，s=3,i=2,否；第二圈，s=4,i=3,否；第三圈，s=1,i=4,否；第四圈，s=0,i=5,是；故判断框内为选B。考点：程序框图的功能。【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】试题分析：当且仅当即时等号成立，所以最小值为9考点：均值不等式【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】试题分析：∵∴又角均为锐角，∴为锐角，根据余弦函数在[]单调递减，故即所以所以△ABC的形状是钝角三角形考点：本题考查了三角形形状的判断【解析】【答案】C6、A【分析】【解析】

试题分析：由结合平行四边形法则知与夹角为与为平行四边形的两条对角线，与的夹角为．

考点：平面向量的四边形法则．【解析】【答案】A7、A【分析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立；

若a⊥b；则α⊥β不一定成立；

故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件；

故选：A．

根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．【解析】【答案】A二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】

在等比数列{an}中，由a3=2，a6=2；

且所以2=2q3，q3=1；解得q=1．

故答案为1．

【解析】【答案】利用给出a3=2，a6=2，直接代入等比数列的通项公式求解．

9、略

【分析】

∵椭圆的焦点在x轴上；

∴设椭圆的方程为

可得方程组：解之得

∴椭圆标准方程为

故答案为：

【解析】【答案】设椭圆的方程为根据题意可建立关于a、b的方程组；解之即得椭圆的标准方程．

10、略

【分析】

∵an+1=2an+n；

∴an+1+（n+1）+1=2（an+n+1）；

∴

∵a1+1+1=3；

∴数列{an+（n+1）}是首项为3；公比为2的等比数列；

∴an+（n+1）=3•2n-1；

所以an=3•2n-1-n-1（n∈N*）．

故答案为：3•2n-1-n-1（n∈N*）．

【解析】【答案】由an+1=2an+n，知an+1+（n+1）+1=2（an+n+1），由a1+1+1=3，知数列{an+（n+1）}是首项为3，公比为2的等比数列，所以an+（n+1）=3•2n-1，由此能求出an．

11、略

【分析】【解析】因为则故答案为【解析】【答案】12、【分析】【解答】解：a=sinxdx=﹣cosx|=2；

从[0；10]中任取一个数x，对应的区间长度为10，则在此范围内，使|x﹣1|≤2的区间长度为3，由几何概型概率公式得到。

从[0，10]中任取一个数x，则使|x﹣1|≤a的概率为概率为

故答案为：．

【分析】首先利用定积分求出a，然后利用几何概型求概率．三、作图题(共9题，共18分)13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共21分)20、略

【分析】【解析】

试题分析：由于已知等边的边长为则且知向量的夹角为故可选择为基底，又因为平面内一点满足所以可用基底将向量表示出来，从而就可计算出的值．

试题解析：由已知得：且知向量的夹角为又因为平面内一点满足所以

从而

即．

考点：１．平面向量性线运算；２．向量的数量积．【解析】【答案】21、略

【分析】

（I）利用x=ρcosθ，y=ρsin，θρ2=x2+y2转化即可．

（II）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1-t2|；化为关于α的函数求解．

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程中参数的意义．考查转化、计算能力．属于中档题．【解析】解：（I）由得（ρsinθ）2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为y2=2x．

（II）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2α-2tcosα-1=0

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2；则。

t1+t2=t1t2=

∴|AB|=|t1-t2|===

当时，sin2α取得最大值1，从而|AB|的最小值为2．22、略

【分析】

（Ⅰ）分类讨论；利用绝对值的几何意义求不等式f（x）≥2的解集；

（Ⅱ）若∀x∈R；不等式f（x）≥a|x|恒成立，分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．

本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．【解析】解：（1）不等式f（x）≥2可化为|x-1|+|2x-1|≥2；

x＜不等式化为1-x+1-2x≥2，∴x≤0，∴x≤0；

不等式化为1-x+2x-1≥2，∴x≥2，不成立；

x＞1，不等式化为x-1+2x-1≥2，∴x≥∴x≥

综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤0或．（6分）

（2）当x=0时；f（x）=2，a|x|=0，原式恒成立；

当x≠0时，原式等价转换为恒成立，即．

∵当且仅当即时取等；

∴a≤1．（12分）五、计算题(共3题，共30分)23、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．24、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。25、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．六、综合题(共1题，共6分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D