2025年外研版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学上册月考试卷704考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、下列函数中；在（0，+∞）上为增函数的是（）

A.y=sin2

B.y=xex

C.y=x3-

D.y=ln（1+x）-

2、设全集集合则（）A.B.C.D.3、命题“”的否定是（）A.B.C.D.4、若X～B（n，p），且EX=6，DX=3，则P（X=1）的值为（）A.3•2-2B.2-4C.3•2-10D.2-85、用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A.a、b中至少有二个不小于2B.a、b中至少有一个小于2C.a、b都小于2D.a、b中至多有一个小于26、小球A

在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口3

”落出的概率为(

)

A.15

B.14

C.316

D.38

7、已知正方体的棱长为2

则此正方体全面积是(

)

A.4

B.12

C.24

D.48

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、设数列满足则．9、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若则AB1与C1B所成的角的大小____．10、若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：____.11、如果执行右侧的程序框图，那么输出的____．12、函数的单调递减区间是____。13、【题文】是虚数单位，复数______14、【题文】三个实数成等比数列，若有成立，则的取值范围是____．15、【题文】已知若则与夹角的大小为____.16、已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=且|ω|=5则复数ω=______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共6分)24、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，．（1）若b＝4，求sinA的值；（2）若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．25、已知函数f（x）=lnx，g（x）=-lnx．

（1）如果函数g（x）≤f（x）恒成立；求t的取值范围；

（2）设函数F（x）=f（x）-+．试问函数F（x）是否存在零点，若存在，求出零点个数，若不存在，请说明理由．26、已知函数的图象在点P（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0，求函数f（x）的解析式．评卷人得分五、计算题(共2题，共6分)27、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．28、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共3题，共24分)29、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．30、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．31、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】

∵f（x）=sin2x=（1-cos2x）在（0；+∞）有增有减，∴A不正确；

∵f（x）=xex的导函数′（x）=ex（x+1）＞0恒成立；所以它在（0，+∞）上增，∴B正确；

∵y=x3-x，的导数y′=2x2-1在（0；+∞）上不恒大于0．，所以它在（0，+∞）先减后增，∴C不正确；

∵y=ln（1+x）-x的导数y′=-1在（0；+∞）恒小于0，所以它为减函数，∴D不正确．

故选B．

【解析】【答案】欲判断函数的单调性；可考虑应用导数这个工具，令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．从而对选项一一进行判断即可．

2、C【分析】本试题主要是考查了集合的交集和补集的运算。是一道基础题。因为根据题意结合补集的运算可知再结合交集的运算可知故选C.解决该试题的关键是求解然后利用交集运算得到结论。【解析】【答案】C3、D【分析】试题分析：因为命题“”是全称命题，否定应为特称命题，其否定为“”，故选D．考点：全称命题的否定．【解析】【答案】D4、C【分析】解：EX=np=6；DX=np（1-p）=3；

∴p=n=12；

则P（X=1）=C121••（）11=3•2-10．

故选C．

根据二项分布的期望和方差的计算公式，EX=np=6，DX=np（1-p）=3，解方程组可求得p和n的值，根据P（X=k）=C12k•（）k•（）n-k；即可求得P（X=1）的值．

此题是个基础题．考查离散型随机变量的期望和方差，特别是二项分布的期望和方差的计算公式，体现了解方程组的思想．【解析】【答案】C5、C【分析】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤；应先假设命题的否定成立；

而命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则d、b中至少有一个不小于2”的否定为“a、b都小于2”；

故选C．

根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“a、b都小于2”；从而得出结论．

本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．【解析】【答案】C6、D【分析】解：我们把从A

到3

的路线图单独画出来：

分析可得，从A

到3

总共有C42=6

种走法，每一种走法的概率都是12

隆脿

珠子从出口3

出来是C42(12)4=38

．

故选D．

我们把从A

到3

的路线图单独画出来：分析可得从A

到3

总共有4

个岔口，每一岔口走法的概率都是12

而从A

到3

总共有C42=6

种走法，计算可得答案．

本题是二项分布的一个模型，下面第n

层第i

个出口对应的概率是Cni鈭�1(12)ni=12n

．【解析】D

7、C【分析】解：根据正方体的表面为全等的正方形；

隆脽

正方体棱长为2

隆脿

该正方体的全面积为6隆脕22=24

故选：C

．

根据正方体的性质；面积公式求解．

本题考查了正方体的面积公式求解，属于容易题．【解析】C

二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】试题分析：即：偶数项－奇数项＝3，且即：奇数项－偶数项＝5，，将以上各式累加得：．考点：①数列的递推公式；②累加法．【解析】【答案】80529、略

【分析】

如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D

若B1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D

∴B1A⊥面C1DB，而C1B⊂面C1DB

∴B1A⊥C1B；故答案为90°

【解析】【答案】将异面直线所成角转化成证明线面垂直；根据题目的条件很容易证得线面垂直，则异面直线互相垂直．

10、略

【分析】【解析】试题分析：等差数列中的bn和可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的可以类比等比数列中的等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”．猜想m（（ap-an）+n（am-ap）+p（an-am）=0，故答案为m（（ap-an）+n（am-ap）+p（an-am）=0．考点：本题主要考查类比推理。【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】试题分析：第一次循环：满足条件，执行循环；第二次循环：满足条件，执行循环；第三次循环：满足条件，执行循环；第四次循环：满足条件，执行循环；第n次循环：考点：程序框图。【解析】【答案】42012、略

【分析】【解析】

因为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】解：因为

可以解得结果。【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】又因为所以【解析】【答案】16、略

【分析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a-3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．

又ω===|ω|=∴．

把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5；∴a=±15．

∴ω=±=±（7-i）．

故答案为±（7-i）．

设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a-3b+（3a+b）i为纯虚数，可得．

又ω=|ω|=可得．即可得出a，b．

熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．【解析】±（7-i）三、作图题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共6分)24、略

【分析】试题分析：（1）根据同角三角函数的关系可，由B的余弦值可得再根据正弦定理得求出sinA；（2）由三角形的面积公式可解得c值,再由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，求得b．解（1）∵且0<π，∴sinB＝．由正弦定理得．（2）∵∴×2×c×＝4，∴c＝5．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×＝17，∴．考点：1．同角的三角函数基本关系式；2．正、余弦定理．【解析】【答案】（1）（2）．25、略

【分析】

（1）把恒成立问题转换为求2xlnx的最小值问题；利用导数求出最小值。

（2）把函数整理成F（x）=lnx-+≥-+=（-），要判断是否有零点，只需看F（x）的正负问题，令G（x）=-利用导数分析G（x）

考查了恒成立问题和利用导函数研究原函数的最值问题．【解析】解：（1）∵-lnx≤lnx恒成立；

∴t≤2xlnx恒成立．

令h（x）=2xlnx；

h'（x）=2（1+lnx）；

当x∈（0，）时；h'（x）＜0，h（x）递减；

当x∈（+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增；

∴h（x）的最小值为h（）=-

∴t≤-．

（2）由（1）知，2xlnx≥-

∴lnx≥

F（x）=f（x）-+①

∴F（x）=lnx-+≥-+=（-）；

令G（x）=-则g'（x）=

当x∈（0；1）时，G'（x）＜0，G（x）递减；

当x∈（1；+∞）时，G'（x）＞0，G（x）递增；

∴G（x）≥G（1）=0②

∴F（x）=lnx-+≥-+=（-）≥0；

∵①②中取等号的条件不同；

∴F（x）＞0；

故函数没有零点．26、略

【分析】

求出f（x）的导数；可得切线的斜率，由切点在切线上和曲线上，满足方程，解方程即可得到m，n的值，即可得到f（x）的解析式．

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．【解析】解：函数的导数为f′（x）=

切线方程为x+2y+5=0；

由题意得

即为=-2，=-

解得或（由n+1≠0舍去n=-1）；

则f（x）=．五、计算题(共2题，共6分)27、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．28、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共3题，共24分)29、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．30、【解答】（1）设等差数列{an}的公差为d；则。

∵S6=51，

∴{#mathml#}12×6

{#/mathml#}×（a1+a6）=51；

∴a1+a6=17；

∴a2+a5=17，

∵a