2025年北师大新版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、角的终边在（）

A.第一象限。

B.第二象限。

C.第三象限。

D.第四象限。

2、已知则A.B.C.D.3、【题文】设x,y满足则x+y的取值范围为（）A.B.C.D.4、【题文】设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若则B.若则C.若则D.若则5、设是等差数列，若则数列前8项的和为()．A.56B.64C.80D.1286、直线y=-x+1的倾斜角为（）A.30°B.45°C.135°D.150°7、已知OA鈫�=(cos15鈭�,sin15鈭�)OB鈫�=(cos75鈭�,sin75鈭�)

则|AB鈫�|=(

)

A.2

B.3

C.2

D.1

8、已知函数f(x)=2(x+1)

若f(娄脕)=1娄脕=(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、某同学动手做实验：《用随机模拟的方法估计圆周率的值》，在左下图的正方形中随机撒豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，若他随机地撒50粒统计得到落在圆内的豆子数为39粒，则由此估计出的圆周率的值为____．（精确到0.01）10、已知数列的前几项和为那么这个数列的通项公式=____.11、已知则。12、【题文】函数的定义域为__________________.13、已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是____，若A∩B=∅，则a的范围为____．14、已知平面向量=(1，-3)，=(4，-2)，λ+与垂直，则λ=____________．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．17、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、解答题(共4题，共32分)21、在△ABC中；已知B=45°，D是BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长．

22、【题文】如图，在四棱柱中，侧棱底面

（Ⅰ）求证：平面

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为求的值。

（Ⅲ）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为写出的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）23、已知AB=2a；在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60°．

（1）在上取一点P；若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函数；

（2）设f（θ）=PA+PB+PC，当θ为何值时f（θ）有最大值，最大值是多少？24、已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx；x∈R

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当函数f（x）取得最大值时；求自变量的集合；

（3）用五点法作出函数f（x）在一个周期内的图象．评卷人得分五、综合题(共3题，共12分)25、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．26、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A；B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围．27、已知：甲；乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行；其中甲到达N地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．

（1）试求线段AB所对应的函数关系式；并写出自变量的取值范围；

（2）当它们行驶到与各自出发地距离相等时，用了（h）；求乙车的速度；

（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】

因为角=

其终边与的终边相同；

因为的终边在第二象限；

所以角的终边在第二象限；

故选B．

【解析】【答案】由于角=所以终边与的终边相同，因为的终边在第二象限，所以角的终边在第二象限．得到答案．

2、C【分析】【解析】试题分析：依题意可知，所以考点：本小题主要考查集合的运算.【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】

考点：对数运算及基本不等式。

由可得且即由基本不等式可知则当且仅当时等号成立.

点评：此题考查基本不等式变形形式属中下档题型【解析】【答案】A4、D【分析】【解析】构造一个正方体，将各选项中的条件对应于正方体中的线和面，不难知道，A，B，C是典型错误命题，选D．【解析】【答案】D5、B【分析】【解答】根据题意，由于是等差数列，若那么可知，5d=10.d=2,因此首项为1，那么可知数列的前8项的和为8+故可知答案为B.

【分析】主要是考查了等差数列的通项公式以及求和公式的运用，属于基础题。6、C【分析】解：可得直线y=-x+1的斜率为-1；

设倾斜角为α；则tanα=-1；

∴α=135°

故选：C．

由直线方程可得直线的斜率；进而可得倾斜角．

本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．【解析】【答案】C7、D【分析】解：隆脽OA鈫�=(cos15鈭�,sin15鈭�)OB鈫�=(cos75鈭�,sin75鈭�)

隆脿AB鈫�=OB鈫�鈭�OA鈫�=(cos75鈭�鈭�cos15鈭�,sin75鈭�鈭�sin15鈭�)

则|AB鈫�|=(cos75鈭�鈭�cos15鈭�)2+(sin75鈭�鈭�sin15鈭�)2

=cos275鈭�+cos215鈭�+sin275鈭�+sin215鈭�鈭�2(cos75鈭�cos15鈭�+sin75鈭�sin15鈭�)

=2鈭�2cos60鈭�=2鈭�2隆脕12=1

．

故选：D

．

由已知向量的坐标求得AB鈫�

的坐标；代入向量模的计算公式求解．

本题考查平面向量坐标减法运算，考查向量模的求法，是基础题．【解析】D

8、B【分析】解：隆脽f(娄脕)=2(娄脕+1)=1

隆脿娄脕+1=2

故娄脕=1

故选B．

根据f(娄脕)=2(娄脕+1)=1

可得娄脕+1=2

故可得答案．

本题主要考查了对数函数概念及其运算性质，属容易题．【解析】B

二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】【解析】试题分析：设正方形的边长为2a,则内切圆的半径为a，由题意∴考点：本题考查了几何概型的应用【解析】【答案】3.1210、略

【分析】当时，【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、a≥2|a≤1【分析】【解答】解：根据题意；集合A={x|1≤x≤2}，在数轴上表示为：

若A∩B=A；则有A⊆B，必有a≥2；

若A∩B=∅；必有a≤1；

故答案为：a≥2；a≤1．

【分析】根据题意，将集合A在数轴上表示出来，对于第一空，若A∩B=A，则有A⊆B，即A是B的子集，结合集合A在数轴上的表示，分析可得a的范围，对于第二空，若A∩B=∅，即A、B没有公共部分，分析可得答案．14、略

【分析】解：

()⇒(λ+4)×1+(-3λ-2)×(-3)=0⇒λ=-1；

故答案为-1．【解析】-1三、证明题(共6题，共12分)15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、解答题(共4题，共32分)21、略

【分析】

法一：在△ADC中，由余弦定理得：

∵∠ADC∈（0；π），∴∠ADC=120°；

∴∠ADB=180°-∠ADC=60°

在△ABD中，由正弦定理得：

法二：在△ADC中，由余弦定理得

∵∠ACD∈（0，π），∴

在△ABC中，由正弦定理得：

故答案为：

【解析】【答案】法一：先在△ADC中用余弦定理求出∠ADC的余弦值；进而求出∠ADC，再根据互补求出∠ADB，然后在△ABD中用正弦定理就可求出AB的长；

法二：先在△ADC中用余弦定理求出∠ACD的余弦值；在根据同角三角函数关系求出∠ACD的正弦，然后在△ABC中用正弦定理就可求出AB的长．

22、略

【分析】【解析】（Ⅰ）取中点连接

四边形为平行四边形。

且

在中，

即又所以

平面平面

又

平面

（Ⅱ）以为原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

所以

设平面的法向量则由

得取得

设与平面所成角为则

解得．故所求的值为1

（Ⅲ）共有种不同的方案。

立体几何第一问对于关系的决断往往基于对公理定理推论掌握的比较熟练；又要善于做出一线辅助线加以证明，那么第二问就可以在其基础上采用坐标法处理角度或者距离问题，坐标法所用的公式就必需熟练掌握，第三问主要考查了学生的空间思维能力，要在平时多加练习。此题坐标法也很考验学生的计算功底。

【考点定位】本题主要考查立体几何中线线关系线面关系的判断以及线面角的算法，并且通过第三问的设问又把几何体的表面积与函数巧妙的结合起来，计算和空间思维要求比较高。属于难题。【解析】【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1（Ⅲ）共有种不同的方案。

23、略

【分析】

（1）在三角形中使用余弦定理求出PA；PB、PC的长度；使用二倍角公式及两角和差的三角公式进行化简．

（2）利用两角和差的三角公式进一步化简f（θ）的解析式到关于某一个角的正弦函数的形式；利用正弦函数的最值；

求出f（θ）的最大值；并求出此时θ的值．

本题考查余弦定理；二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式的应用；以及利用正弦函数的有界性求函数的最值；

要注意θ的范围．【解析】解：（1）由题意知；AB为直径的半圆的半径为a，0°＜2θ＜120°，∴0°≤θ≤60°；

△PAO中，由余弦定理得PA==2acosθ；

同理可求得PB==2asinθ；

PC==2asin（60°-θ）；

∴PA+PB+PC=2asinθ+2acosθ+2asin（60°-θ）=2asinθ+2acosθ+2a（cosθ-sinθ）

=asinθ+（2+）acosθ．

（2）f（θ）=PA+PB+PC=asinθ+（2+）acosθ=2a（sinθ+cosθ）

令cosα=sinα=则f（θ）=2asin（θ+α）；

取锐角α，则α=arcsin＞45°，故当θ=90°-arcsin时；sin（θ+α）=1取得最大值；

此时，f（θ）取最大值2a．24、略

【分析】

（1）化简先求f（x）的解析式；由周期公式即可求出最小正周期．

（2）令2x+=2kπ+即可解得{x|x=kπ+k∈Z}；

（3）列表描点即可用五点法作出函数f（x）在一个周期内的图象．

本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考察．【解析】解：（1）∵f（x）=cos2x+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+）

∴最小正周期为π；

（2）令2x+=2kπ+即可解得{x|x=kπ+k∈Z}；

（3）列表如下：。x-2x+0π2πsin（2x+）+-作图如下：

五、综合题(共3题，共12分)25、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠POM=90˚．

x=-=-=2，y===-4；

∴顶点M的坐标为（2；-4）；

设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a）；

过P点作PE⊥y轴；垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．

则∠POE+∠MOF=90˚；∠POE+∠EPO=90˚．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90˚；

∴Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P点的坐标为（，）；

（3）过顶点M作MN⊥OM；交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90˚．

∵∠MOF+∠OMF=90˚；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90˚；

∴△OFM∽△MFN．

∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．

∴点N的坐标为（0；-5）．

设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则；

解得，∴直线的解析式为y=x-5；

联立得x2-x+5=0，解得x1=2，x2=