多元函数微分学总结复习题包括答案

一、选择题1.极限limx2y=（提示：令yk2x2）（B）x0x4y2y0(A)等于0(B)不存在(C)等于1(D)存在且不等于0或1222、设函数f(x,y)xsin1ysin1xy0，则极限limf(,y)=（C）0yxxy0x0xy0（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A)不存在(B)等于1(C)等于0(D)等于23、设函数f(x,y)xyx2y20（Ax2y2x2y2，则f(x,y)）00（提示：①在x2y20，f(x,y)处处连续；②在x0,y0，令ykx，lim2kx222limkx0f(0,0)，故在x2y20，函数亦连续.所以，x0kxx01k2y0xf(x,y)在整个定义域内处处连续.）(A)处处连续(B)处处有极限，但不连续(C)仅在（0,0）点连续(D)除（0,0）点外处处连续4、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的（A）(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件5、设uarctany，则u=（B）xx(A)x(B)y(C)y(D)xy2x2y2x2y2x2y2x26、设f(x,y)arcsiny，则fx'(2,1)（A）x（A）1（B）1（C）1（D）144227、设zarctanx，xuv，yuv，则zuzv（C）y（A）uv（B）vu（C）uvvuu2v22v2u2v2（D）2v2uu8、若f(x,2x)x23x,fx'(x,2x)6x1，则fy'(x,2x)=（D）(A)x3(B)x3(C)2x1(D)2x1229、设zyx，则(zz)(2,1)（A）xy(A)2(B)1+ln2(C)0(D)110、设zxyexy，则zx'(x,x)（D）(A)2x(1x2)ex2(B)2x(1x2)ex2(C)x(1x2)ex2(D)x(1x2)ex211、曲线x2sint,y4cost,zt在点(2,0,)处的法平面方程是（C）2(A)2xz42(B)2xz4(C)4yz2(D)4yz2212、曲线4xy5,yz,在点(8,2,4)处的切线方程是（A）(A)x8y2z4(B)x12yz4204204(C)x8y2z4(D)x3yz5451413、曲面xcoszycosx2z2在点,12,0处的切平面方程为（D）2（A）xz1（B）xy1（C）xy2（D）xz214、曲面x2yzxy2z36在点(32,,1)处的法线方程为（A）（A）x5y5z19（B）x3y2z183188318（C）8x3y18z0（D）8x3y18z1215、设函数z1x2y2，则点(00,)是函数z的（B）（A）极大值点但非最大值点 （B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点 （D）极小值点且是最小值点16、设函数zf(x,y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有fx(P0)0,fy(P0)0,fxx(P0)fyy(P0)0,fxy(P0)fyx(P0)2，则（C）（A）点P0是函数z的极大值点（B）点P0是函数z的极小值点（C）点P0非函数z的极值点（D）条件不够，无法判定17、函数f(x,y,z)z2在4x22y2z21条件下的极大值是（C）(A)1(B)0(C)1(D)2二、填空题1、极限limsin(xy)=.答：x0xy2、极限limln(yex2)=.答：ln2x0x2y2y13、函数zln(xy)的定义域为.答：xy14、函数zarcsinx的定义域为.答：1x1y，y05、设函数f(x,y)x2y2xylny，则f(kx,ky)=.答：xk2 f(x,y)6、设函数f(x,y)xy，则f(xy,xy)=.答：x2y2xy2x（Qf(xy,xy)(xy)(xy)x2y2）(xy)(xy)2x、设fxy)ln(1x2y2)x2y21/2，要使f(x,y)处处连续，则7(,Ax2y21/2A=.答：ln28、设f(x,y)tan(x2y2)(x,y)(0,0)，要使f(x,y)在（0，0）处连续，x2y2A(x,y)(0,0)则A=.答：19、函数zx2y2的间断点是.答：直线x10上的所有点x110、函数f(x,y)x212cosy的间断点为.答：直线yx及yxx011、设z sin(3x y) y，则 zx

x2_________.答：3cos5y112、设f(x,y)x2y2，则fy(0,1)=_________.答：1xz33113、设uxyz，则du(1,2,3)=_________.答：ln2dz(,,)ydxdy881614、设ux2x，则在极坐标系下，u=_________.答：0y2r15、设uxyy2u=_________.答：2y，则x2x3x16、设uxlnxy，则2u=___________.答：1xyy17、函数yy(x)由1x2yy所确定，则dy=___________.答：2xyedxeyx218、设函数zz(x,y)由方程xy2zxyz所确定，则z=_______.答：y2xyz11xy219、由方程xyzx2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点（，，－）101处的全微分dz=_________.答：dx2dy20、曲线xt2,y2t,z1t3在点(1,2,1)处的切线方程是_________.33答：x1y2z122321、曲线x2te2t,y3e2t,zt2e2t在对应于t1点处的法平面方程是___________.答：x3y1120e22、曲面xeyy2e2zz3e3x21在点(2,1,0)处的法线方程为_________.y1ze答：x222e2e23、曲面arctany在点(2,1,0)处的切平面方程是_________.答：xz14y2z124、设函数zz(x,y)由方程1x23xyy25x5yez2z4确定，则函数z2的驻点是_________.答：（－1，2）27、函数z2x23y24x6y1的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f(x,y)x22xy3y2axby6在点(1,1)处取得极值，则常数a_________，b_________.答：a0，b426、函数f(x,y,z)2x2在x2y22z22条件下的极大值是_______答：4三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形 .(1)z1x2y2(2)zln(xy)(3)z1(4)zln(xy1)ln(xy)解：(1)要使函数z1x2y2有意义，必须有1x2y20，即有x2y21.故所求函数的定义域为D{(x,y)|x2y21},图形为图(2)要使函数zln(xy)有意义，必须有xy0.故所有函数的定义域为D(x,y)|xy0，图形为图(3)要使函数z1有意义，必须有ln(xy)0，即xy0且ln(xy)x y 1.故该函数的定义域为 D (x,y)|x y 0，x y 1，图形为图(4)要使函数zln(xy1)有意义，必须有xy10.故该函数的定义域为D{(x,y)|xy1}，图形为图yyx+y=0O1xO1x图 图yy1x+y=01y=1/xO1x-1O1xx+y=1-1图图2、求极限limysin2x.x0xy11y0解：limysin2xlimysin2x(xy11)=4xyx0xy11x0y0y03、求极限lim1x2y1sin(xy).3y2x0y0x解：原式=limx2ysin(xy)lim1sin(xy)13222x0x(1xy1)x01y1xy2y0yy0x4、求极限limxyex.416xyx0y0解：limxyexlimxyex(416xy)=-8xyx0416xyx0y0y05、设uxsinyycosx，求ux,uy.解：uxsinyysinxuyxcosycosx6、设zxeyyex，求zx,zy.解：zxeyyexzyxeyex7、设函数zz(x,y)由yzzxxy3所确定，试求z,z（其中xy0）.xy解一：原式两边对x求导得yzxzzy0，则zzy同理可得：zzxxxxyxyyx解二：zFxzy,zFyzxxFyyxyFxyx8、求函数z2x23xy2y24x3y1的极值.解：由zx4x3y4010,)zy3x4y3，得驻点(0Dzxxzxy43zyxzyy3470zxx9、设z

40，函数z在点(10,)处取极小值z(1,0)1.e3x2y，而xcost,yt2，求dz.dt解：

dzdt

3e3x2y(sint)2e3x2y(2t)(3sint4t)e3x2yxzz10、设z

yln(xy)，求,.xy解：zxyxlnylnxy1yxzyxyx1ln(xy)1yxxy11、设uaxyzlnxa(a0)，求du.解：uaxyzlnaax1，uaxyzzlna，uyaxyzlnaxyzdu (axyzlna ax1)dx axyzlna(zdy ydz)12、求函数zln(x2y2exy)的全微分.解：z2xyexy,z2yxexyxx2y2exyyx2y2xyedz1xy(2xyexy)dx(2yxexy)dyx2y2e四、应用题1、要造一容积为 128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为 x,y,z米.水池底部的单位造价为 a.则水池造价S xy 4xz 4yzaxyz128令Lxy4xz4yzxyz128Lxy4zyz0由Lyx4zxz0Lz4x4yxy0Lxyz1280得xy8z2由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x和y（件），总成本函数C(x,y)8x2xy12y2（元）.商品的限额为xy42，求最小成本.解：约束条件为(x,y)xy420，构造拉格朗日函数F(x,y,)8x2xy12y2(xy42)，Fx16xy0解方程组Fyx24y0，得唯一驻点(x,y)(25,17)，Fxy420由实际情况知，(x,y) (25,17)就是使总成本最小的点，最小成本为C(25,17) 8043（元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：L(x,y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数L(x,y)(10x9y)[4002x3y0.01(3x2xy3y2)]8