工程数学-概率论复习考试题库(成教、自考)资料

《概率论与数理统计(经管类)》复习题

一、单项选择题：1．设A，B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。A.B.C.D.2．设随机变量的可能取值为，随机变量的可能取值为,如果,则随机变量与（）。A.一定不相关B.一定独立C.一定不独立D.不一定独立3．下列函数为正态分布密度的是（）。A.B.C.D.4．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。A.二项分布B.指数分布C.泊松分布D.正态分布5．若二维随机变量的联合概率密度为，则系数（）。A.B.C.D.6．事件A，B相互独立，且（）。7．设随机变量服从,其分布密度函数为,则（）。A.0B.1C.D.8．设服从参数为的指数分布，则（）。A.B.C.D.9．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：，则（）。A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球10．设随机变量的密度函数为，则()。A.0B.C.1D.11．设对于随机事件A、B、C,有,，，,,则三个事件A、B、C,至少发生一个的概率为（）。A.B.C.D.12．设随机向量（X,Y）满足E(XY)=EX·EY，则（）。、Y相互独立、Y不独立、Y相关、Y不相关13．已知随机变量服从，且，则二项分布的参数n，p的值为（）。A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.114．设随机变量X的分布密度为，则（）。A.;B.2;C.;D.15．设随机变量与随机变量相互独立且同分布,且，,则下列各式中成立的是（）。A.B.C.D.16．设A，B为随机事件，则（）。A.AB.BC.ABD.17．设随机变量X～N(1,1)，其概率密度函数为p(x)分布函数是F(x)，则正确的结论是（）。A.P{X≤0}=P{X≥0}B.C.F(-x)=F(x)D.p(x)=p(-x)18．设是个相互独立同分布的随机变量，，，，则对于，有（）。A.B.C.D.19．设A,B为两个随机事件，且P(B)>0,P(A│B)=1则有（）。A.P(A∪B)>P(A)B.P(A∪B)>P(B)C.P(A∪B)=P(A)D.P(A∪B)=P(B)20．每张奖券中尾奖的概率为，某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中尾奖的张数为X，则X服从（）。A.二项分布B.泊松分布C.指数分布D.正态分布21．对掷一枚硬币的试验,“出现正面”称为（）。A.样本空间B.必然事件C.不可能事件D.随机事件22．设随机变量，的期望与方差都存在,则下列各式中成立的是（）。A.B.C.D.23．设随机变量服从正态分布，则（）。A.0B.1C.D.24．事件A，B相互独立，且,,（）。25．进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。A.B.C.D.26．下列函数为随机变量密度的是（）。A.B.C.D.27.设为服从正态分布的随机变量，则E(2X－1)=（）。A.9B.6C.4D.28．对于随机变量X,F(x)=P{X≤x}称为随机变量X的（）。A.概率分布B.概率C.概率密度D.分布函数29．设随机变量与相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（）。A.B.C.D.30．设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（）。A.B.C.D.二、填空题：1．若事件A与B互斥，P(A)=0.6,P(A∪B)=0.8,则。2．随机变量X服从区间[1，4]上的均匀分布，则P{0<X<3}=.3．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：则a=,b=。4．设服从正态分布，则D(-2X+1)=。5.设随机变量的概率分布为，则.6．设A，B，C是三个事件,则A，B，C中至多有2个事件发生可表示为。7．一批零件的次品率为0.2,连取三次,每次一件(有放回),则三次中恰有两次取到次品的概率为。8．设随机变量X服从泊松分布,且P｛X=1｝=P｛X=2｝,则DX=。9．设随机变量,都服从均匀分布，且与相互独立,则随机变量的联合分布密度。10.设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有。11．设A，B，C是三个事件，则A不发生但B，C中至少有1个事件发生可表示为___________12．设,,则________。13．设随机变量与相互独立，且服从，服从，则随机变量服从__________分布。14．设随机变量X服从泊松分布，且P（X=1）=P（X=2），E（3X-1）=__________。15.设随机变量的概率分布为,()，则__________。三、计算题：1．设系统由100个相互独立的部件组成,运行期间每个部件损坏的概率为0.1,至少有85个部件是完好时系统才能正常工作。用中心极限定理求系统正常工作的概率。()。2．设打一次电话所用时间（分钟）服从参数为的指数分布，如果某人刚好在你前面走进公用电话亭，求你等待时间在10分钟到20分钟之间的概率。3．已知随机向量的联合概率分布为（1）求的边缘分布；（2）判断与是否独立；（3）求.4．已知袋中装有5个球，其中2个白球，3个黑球。现从中任取3个球，设随机变量为取得的白球的个数。求：（1）随机变量的分布；（2）数学期望，方差。5．抽样表明某市新生儿体重（单位：公斤）近似地服从正态分布，求新生儿体重超过4公斤的概率。（）6.设随机变量服从均匀分布,服从指数分布，且与相互独立。求：（1）二维随机变量的联合概率密度函数；（2）.7．一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求：（1）的概率分布；(2）。8．设的联合密度为，（1）求边缘密度和；（2）判断与是否相互独立。9.某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的概率。四、应用题：1.设某产品的合格率为80%。检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。2.对敌人阵地进行100次炮击，每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是。求100次炮击中有370至430颗炮弹命中目标的概率。（）3.一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。（1）求通过验收的概率；（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。五、证明题：1.设，，（，均大于0）。证明：。2.已知随机事件与相互独立，证明：事件与也是相互独立的。3.设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零。第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换.解由已知:故2.已知两个线性变换求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换.解由已知所以有3.设,求3AB2A及ATB解4.计算下列乘积:(1);解(2);解(132231)(10)(3);解(4);解(5);解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a5.设,问:(1)ABBA吗?解ABBA因为所以ABBA(2)(AB)2A22ABB2解(AB)2A22ABB2因为但所以(AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2吗?解(AB)(AB)A2B2因为而故(AB)(AB)A2B26.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A20则A0;解取则A20但A0(2)若A2A,则A0或AE;解取则A2A,但A0且AE(3)若AXAY,且A0,则XY.解取则AXAY,且A0,但XY.7.设,求A2A3Ak解8.设,求Ak.解首先观察用数学归纳法证明:当k2时,显然成立.假设k时成立，则k1时，由数学归纳法原理知:9.设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵.10.设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA证明充分性:因为ATABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是对称矩阵.必要性:因为ATABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11.求下列矩阵的逆矩阵:(1);解.|A|=1,故A-1存在.因为,故.(2);解.|A|=1¹0,故A-1存在.因为,所以.(3);解.|A|=2¹0,故A-1存在.因为,所以.(4)(a1a2×××an¹0).解,由对角矩阵的性质知.12.解下列矩阵方程:(1);解(2);解(3);解(4).解13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)解方程组可表示为故从而有(2)解方程组可表示为故故有14.设AkO(k为正整数),证明(EA)1EAA2Ak1证明因为AkO所以EAkE又因为EAk(EA)(EAA2Ak1所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推论知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1证明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115.设方阵A满足A2A2EO,证明A及A2E都可逆,并求A1及(A2E)1.证明由A2A2EOA2A2E,即A(AE)2E或,由定理2推论知A可逆且由A2A2EOA2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推论知(A2E)可逆且证明由A2A2EO得A2A2E|A2A|2即|A||AE|2,故|A|0所以A可逆,而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆.由A2A2EOA(AE)A1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)116.设A为3阶矩阵,,求|(2A)-1-5A*|.解因为,所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8´2=-16.17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1¹0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A-1,所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明:(1)若|A|0,则|A*|0;(2)|A*||A|n1证明(1)用反证法证明.假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于,则AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n119.设,ABA2B求B.解由ABA2E可得(A2E)BA故20设且ABEA2B求B解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)因为所以(AE)可逆从而21设Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A8[A(A*2E)]18(AA*2A)8(|A|E2A)8(2E2A)4(EA)14[diag(212)]12diag(121)