逆向思维在初中数学解题中的应用

【摘要】在初中数学解题中，当学生无法运用正向思维解决问题时，教师便可以让学生尝试从逆向角度看待问题，以降低解题的难度。鉴于此，简述逆向思维应用在初中数学解题中的意义，并从创设情境、重视例题、逆向拓展、专题训练、逆用法则五个方面入手，探究逆向思维应用在初中数学解题中的策略，旨在提高学生解题的正确率。【关键词】初中数学；逆向思维；解题教学数学思维的培养是初中数学教学的重要目标之一，逆向思维的应用则是解决数学问题的重要方法。初中生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键时期，逆向思维的培养能助力初中生发展思维能力，学会灵活应用数学知识。因此，在实际教学中，教师应借助情境、例题等资源，为学生创造更多锻炼逆向思维的机会，提高学生解决问题的能力。一、初中数学解题中应用逆向思维的意义（一）有助于培养学生解题思维在初中数学学习中运用逆向思维有助于学生解题思维的形成。教师通过需要运用逆向思维的教学活动，可以让学生掌握多种解题方法，拓展解题思路。久而久之，学生可以养成从不同视角思考问题的习惯，使逆向思维能力和解题水平得到提升［1］。（二）有助于引导学生理解概念概念是学生解决数学问题的基础，也是教师开展具体教学活动的依据。学生对概念的掌握情况会影响学生思维的发散。这就需要教师提高对概念教学的重视程度，利用多样化教学手段，助力学生对概念形成正确的认知。当前的初中数学教学对学生思维的广度、深度有较高的要求。学生若仅凭正向思维，且没有经历辩证、推导的过程，是很难深入理解数学概念的［2］。对此，教师通过设计解题教学活动，锻炼学生逆向思维，能使学生对数学概念形成深层次理解，有效拓展知识面。（三）有助于发展学生逻辑思维初中数学学科中有一些知识点具有互逆性，如勾股定理及其逆定理、平行线的判定与性质等等。教师讲评相关的例题和习题时，鼓励学生多维度思考数学问题，培养逆向思维能力，并灵活运用公式、定理解决问题，能使学生打破思维定式，促进学生逻辑思维能力的发展。二、初中数学解题中应用逆向思维的策略（一）创设情境，培养逆向思考意识许多初中数学例题和习题蕴含着丰富的生活元素，这为逆向思维的培养提供了足够的支持，有效弥补了传统解题教学的不足。在教学中，教师应通过创设情境的方式与学生展开互动，激发学生的探究兴趣［3］。教师可以立足于情境，引导学生从相反的角度展开思考。如此一来，学生能够在教师的引导下发散思维，学会运用逆向思维思考问题、解决问题。以苏科版数学八年级下册“9.4矩形、菱形、正方形”教学为例，为了让学生理解矩形、菱形、正方形等特殊的平行四边形的定义和性质，教师在课堂中借助情境，培养学生逆向思考的意识。首先，教师在教学初始利用讨论法，让学生回答“谁能说一说平行四边形的定义是什么？平行四边形有哪些性质？”等问题，旨在帮助学生复习旧知，同时为新知学习奠定良好基础。其次，教师利用课件呈现矩形、菱形、正方形，并提问：“这三种图形是平行四边形吗？它们的特点是什么？如何定义这三种图形？”对此，学生在观察图形的基础上，利用平行四边形的定义和性质逆向验证矩形、菱形、正方形的特点，使用学过的关于边、角的知识给出矩形、菱形、正方形的定义。最后，教师引导学生借助逆向思维探究如下问题：有一天，明明小朋友在幼儿园的手工课上看到材料中有一张平行四边形纸片，就拿起彩笔给纸片的一角涂上了绿色，涂完后因为对自己的作品不满意，所以想撕去一部分。如果手工课的后续环节还需要用到平行四边形纸片，那么你认为明明如何撕能既使纸片的形状仍为平行四边形，又能使自己的作品有创意？学生便根据平行四边形的定义和性质，找出解决问题的方法。在上述案例中，教师通过设置具体的情境，能引导学生对问题进行逆向思考，结合所学知识去分析和解决，从而深化对特殊的平行四边形的认识。（二）重视例题，逆用数学公式解题学生进行数学计算时，往往需要代入公式，而这容易使其形成思维定式。为了避免该情况出现，教师应通过逆用数学公式的方式，让学生在解决问题时理解公式的推导过程。在实际教学中，教师可以以教材例题为基础，在使复杂问题简单化的同时，指导学生结合数量关系进行逆推，转换解题视角［4］。以苏科版数学七年级上册“2.3绝对值与相反数”教学为例，为了加深学生对绝对值概念的理解，教师在分析教材中的例题后创编如下习题，旨在锻炼学生的逆向思维：若化简|1-x|-|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围。教师发现，很多学生看完该习题后，第一反应是把绝对值去掉，而化简后仍无法求出x的取值范围。实际上，该习题不适合运用正向思维解答。对此，教师指导学生结合绝对值的概念逆向思考，进而推测出“1-x≤0”“x-4≤0”这两个条件，得到x的取值范围是1≤x≤4。这有助于学生在后续思考中，学会逆用数学公式解答题目，掌握类似问题的解法。（三）逆向拓展，帮助学生理清思路解题思路是学生运用数学知识和技能解决问题的关键，更是学生数学思维发展状况的具体表现。培养学生逆向思维能帮助学生理清解题思路，拓展学生思维的广度、深度，提高学生的解题能力。因此，教师可以从“突破教学重难点”“求解几何证明题”两个方面入手进行逆向拓展。1.突破教学重难点，深入理解知识在初中数学解题教学中引导学生应用逆向思维，让学生经历知识的形成过程，能突破教学重难点，提高学生的理解能力和创造能力。以苏科版数学八年级上册“3.2勾股定理的逆定理”教学为例，考虑到勾股定理的逆定理是学生需要学习的重难点知识，因此教师在解题教学中结合学情，设计以下关于三角形的难度适中的问题，旨在让学生在用逆向思维解题的过程中，深入理解知识：有一个三角形的边长分别是a、b、c，且它的边长与实数n（n＞0）有着a=2n+1、b=2n2+2n、c=2n2+2n+1的关系。请试着证明这个三角形是直角三角形。学生若借助正向思维，围绕已知条件展开思考，往往在短时间内找不到解题思路；而若运用逆向思维，由问题逆推条件，在看到问题中的“直角三角形”后则会联想到勾股定理。对此，教师指导学生思考若这个三角形是直角三角形，则这个三角形的三边有怎样的关系，进而让学生找到解题的关键所在，即a2+b2=4n4+8n3+8n2+4n+1=c2，得出这个三角形是直角三角形。2.求解几何证明题，简化解题过程几何证明题是初中数学学科中的常见题型。而对于一些难度较大的几何证明题，如果利用正向思维解题，所需的步骤往往较多，解题过程较为复杂，且容易出现错误。对此，教师应指导学生从证明的结果入手，逆向分析解题所需的条件，寻找更简便的解题方法。以苏科版数学八年级上册“2.5等腰三角形的轴对称性”教学为例，教师在讲解三线合一的定理时展示以下这道几何证明题，旨在引导学生逆向推导定理，帮助学生掌握相关解法：如图1所示，已知△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证AB=AC，∠BAD=∠CAD。在求解这一问题时，教师让学生先观察AD在三角形中的地位，明白AD是三角形的中线，也是三角形的高线，三角形的中线和高线重合；然后根据三线合一的定理，判断出AD还是三角形的顶角平分线；最后根据全等三角形判定定理，得出△ADB≌△ADC，AB=AC，∠BAD=∠CAD。在上述案例中，学生层层递进地展开逆向思考，发现了结论与问题之间的联系，得出了对应的结论，顺利解决了问题。（四）专题训练，提供解题新思路在以往的学习中，部分学生在练习环节习惯根据条件推导结论。这部分学生的思维方式不利于教师取得理想的教学效果。同时，也有一些学生在解答关于函数图像、几何图形的题目的过程中，容易遗漏题目中的隐含条件，无法顺利解题。对此，教师应设计专题训练活动，指导学生按照新的思路解题。以苏科版数学九年级下册“6.4探索三角形相似的条件”教学为例，为了帮助学生突破思维定式，教师开展需要运用逆向思维的专题训练活动。首先，教师利用课件展示以下问题：如图2所示，已知△ABC中，D为AC上的一点，P为AB上的一点，AB=12，AC=8，AD=6，请问AP长度为多少时△ADP和△ABC相似？其次，教师给予学生充足的时间去思考和解题，并鼓励学生分享解题思路，从中了解到不少学生的解题过程很烦琐。最后，教师结合学生在解题中出现的错误进行讲评，在讲评时应用倒推法启发学生思考，若要使△ADP和△ABC相似，需要满足哪些条件，再让学生回顾相似三角形的判定与性质的相关知识，进而发现本题存在△ADP∽△ABC、△ADP∽△ACB两种情况，应该进行分类讨论。在上述案例中，教师引导学生通过逆推形成正确的解题思路，能让学生在解题时明确图形与文字之间的联系，发展学生的数学思维。（五）逆用法则，学会进行逆运算逆向思维与逆运算有着密切的关系。教师应通过教学活动培养学生进行逆运算的能力，并在学生展开逆向思考时，给予一定的指导和启发。教师可以在学生解题的过程中引导学生逆用法则，利用科学的手段培养学生逆向思维能力［5］。以苏科版数学九年级上册“2.5直线与圆的位置关系”教学为例，对于其中涉及的多个法则、定理，教师抓住时机，为学生创造锻炼能力的机会。首先，教师在讲解知识点时，让学生思考“直线与圆存在几种位置关系？”这一问题，为学生进行逆运算奠定良好的基础。其次，教师借助以下这道考查对直线与圆的位置关系的相关法则的逆用的习题，旨在让学生尝试运用逆向思维：如图3所示，已知DE是一条与x轴和y轴相交的射线，其中点D坐标为（3，0），点E坐标为（0，4）。可移动的点C将从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴向左做匀速运动，运动的时间为t秒。以点C为圆心、以t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点。当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围。在学生读懂题意后，教师引导学生思考在点C运动的过程中，⊙C的半径怎样变化，⊙C什么时候开始与射线DE有公共点，到什么时候不再与射线DE有公共点。学生通过分析图3蕴含的信息，发现⊙C在A、D两点重合时开始与射线DE有公共点，在点C运动到⊙C与射线DE相切的位置后不再与