【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）4.5.1 函数的零点与方程的解（九大题型）

4.5.1函数的零点与方程的解目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 3【思维导图】 3【知识点梳理】 3【典型例题】 5题型一：求函数的零点 5题型二：根据零点求函数解析式的参数 7题型三：零点存在性定理的应用 8题型四：根据零点所在区间求参数范围 10题型五：根据零点的个数求参数范围 13题型六：一次函数零点分布求参数范围 17题型七：二次函数零点分布求参数范围 19题型八：指对幂函数零点分布求参数范围 24题型九：函数与方程的综合应用 27

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.知识点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．【方法技巧与总结】1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则3、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.4、判断函数零点所在区间（1）将区间端点代入函数求函数的值；（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．【典型例题】题型一：求函数的零点【典例1-1】（2024·高一·四川达州·期中）“”是“函数只有一个零点”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，函数只有一个零点12；当时，函数只有一个零点1；若函数只有一个零点，则或．所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件．故选：C.【典例1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的零点为（

）A．1， B．， C．2， D．，【答案】B【解析】令，即，解得：，，所以函数的零点为和.故选：B【方法技巧与总结】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.【变式1-1】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（

）A． B． C．9 D．27【答案】A【解析】设，即，因为，可得，所以，解得，所以，令，可得，即，解得.故选：A.【变式1-2】（2024·高一·辽宁朝阳·期末）函数的图象与轴的交点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函数的图象与轴的交点坐标是.故选：C.【变式1-3】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）函数的零点为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，解得或，故的零点为.故选：A【变式1-4】（2024·高一·北京海淀·阶段练习）若，是二次函数的两个零点，则的值是（

）A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【解析】由，是二次函数的两个零点，，所以，是的两个实数根，所以，故，故选：C题型二：根据零点求函数解析式的参数【典例2-1】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知函数，若函数只有一个零点，则a的值是.【答案】0或【解析】函数，若函数只有一个零点,即只有一个根.当，解得，满足题意.当，解得，此时方程有两个相同的实数根，满足题意.综上，a的值是0或.故答案为：0或.【典例2-2】（2024·高一·江苏·专题练习）若x＝2是f（x）＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为．【答案】/【解析】由时函数的一个零点，可得，解得.故答案为：.【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是．【答案】1和【解析】∵函数的两个零点是2和3，∴，解得，∴，令，解得或1∴的零点为1和.故答案为：1和【变式2-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为【答案】【解析】（1）若，即时，①当时，此时，此时没有零点，②当时，此时，令，解得，符合题意，（2）当时，令，则，解得或1（舍去），综上或，则的取值集合为.故答案为：.【变式2-3】（2024·高一·湖南株洲·期中）已知函数的零点是2，则【答案】3【解析】由题意得，解得，故答案为：3题型三：零点存在性定理的应用【典例3-1】（2024·高一·北京·期中）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因和都是上的增函数，故也是上的增函数，又，由零点存在定理，可得函数fx的零点所在的区间是.故选：B.【典例3-2】（2024·高一·湖南·期中）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于，则fx为上的增函数，而，，，，，由于，根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为.故选：C.【方法技巧与总结】解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．【变式3-1】（2024·高一·上海·课堂例题）下列区间中存在方程的根的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为当时，当时，根据零点存在定理可得1,2存在方程的根.故选：B【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：123456136.115.610.9判断函数的零点个数至少有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】在上的函数的图象是连续不断的，由数表知，，因此函数在区间上分别至少有1个零点，所以函数的零点个数至少为3个.故选：C【变式3-3】（2024·高一·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（

）A．0,1 B． C．2,3 D．【答案】C【解析】当时，设，则，故在0,+∞上是单调递增函数；又，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为2,3.故选：C.【变式3-4】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知函数的零点在区间内，，则的值为（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】B【解析】因为函数定义域为，且在上单调递增，且，，即，由零点存在定理可得，的零点区间为，所以.故选：B题型四：根据零点所在区间求参数范围【典例4-1】（2024·高一·浙江宁波·期中）已知是函数的一个零点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意知函数在区间1,+∞上单调递减，函数在区间单调递减，故函数在区间1,+∞上单调递减，又因，又因在上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在使得.故选：C【典例4-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】C【解析】函数的定义域为，由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点，其横坐标为，而当时，递减，当时，递增，于是，对于A，由，得，即，A正确；对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确；对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：C【变式4-1】（2024·高一·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，在R上单调递增，因为，，则零点在区间上，可得.故选：C.【变式4-2】（2024·高一·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【解析】当时，，不存在零点；当时，是一次函数，必然单调，故只需即可，即，解得或，即的取值范围是∪，故选：D【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增，由函数的一个零点在区间内得，解得，故选：A【变式4-4】（2024·高一·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函数，在上是增函数，只需即可，即，解得．故选：B.【变式4-5】（2024·高一·江苏南京·期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知,,函数的零点为，可得,函数的零点为，则又因为,这两函数均单调递增，当时，,解得.故选:D.题型五：根据零点的个数求参数范围【典例5-1】（2024·高一·江苏无锡·期中）若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由题意可得方程在上存在一个根，，由函数，则其对称轴为直线，当时，，可得，解得；当时，，可得，显然无解.综上所述，.故选：A.【典例5-2】（2024·高一·福建宁德·阶段练习）若函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】因为函数的图象与轴有两个不同的交点，则，解得或.故选：A.【方法技巧与总结】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．【变式5-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，由题意有两个零点，或，当时，，当时，，当时，，当时，，或，当时，，或，当时，，或，当时，，或，综上所述，满足题意的的取值范围为.故选：A.【变式5-2】（2024·高一·浙江宁波·期中）已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数为上的奇函数，当时fx=x2令，则，则，又所以，则，设，作出函数的图象，对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意；对于B，当时，函数有四个根，其中，，，；作出与、、与的图象，如图，显然几个函数恰有8个交点，则有8个不同的解，故B正确；对于CD，当时，函数有两个根，其中，，与选项B同理可知与、各有一个交点，则只有2个不同的解，不满足题意，故CD错误.故选：B.【变式5-3】（2024·高一·陕西渭南·期末）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】关于的方程至少有两个不相等的实数根，则直线与的图象至少两个不同的交点，作出函数的图象如下，直线恒过1,0，当直线与相切时，，由可得，此时与平行，所以此时方程只有一个根，不合题意；当时，与有两个交点，符合题意；当时，与y=fx有三个交点，符合题意；当时，经过点时，与y=fx有两个交点，此时，若，与y=fx有三个交点，综上可知，方程至少有两个不相等的实数根，实数的取值范围为.故选：B.【变式5-4】（2024·高一·安徽芜湖·开学考试）若函数存在两个不同的零点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上，与都单调递减，函数在上单调递减，函数值集合为；在上，与都单调递增，函数在上单调递增，函数值集合为，由函数有两个零点，得，解得，所以实数m的取值范围为.故选：C题型六：一次函数零点分布求参数范围【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【解析】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故选：D.【典例6-2】（2024·高二·河南新乡·阶段练习）当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意，结合函数零点存在定理进行求解即可..当时，，函数值恒为正，不符合题意；当时，要想函数的值有正也有负，只需，即.综上所述：.故选：C【变式6-1】（2024·高一·福建厦门·期中）已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】因为函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，又因为f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）单调，所以，即，解得或，故选：C【变式6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数在区间上存在零点，则（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先判断函数在上单调，利用零点存在性定理即可求解.∵在区间上单调且存在零点，∴，∴或．故选：C【变式6-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数为一次函数，要使其在区间上存在零点，要保证其两端点分别在轴的两侧，所以即，解得或，故选项.题型七：二次函数零点分布求参数范围【典例7-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数在区间恰有一个零点，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】若，则，它的零点为，故符合题意．若，函数在区间恰有一个零点，则需满足：①或②或③解①得，或；解②得，解集为；解③得；综上，的取值范围是．故选：D．【典例7-2】（2024·高一·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是.【答案】【解析】易知，令，则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根，由解得.故答案为：.【变式7-1】（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）若函数在-1,1内恰有一个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，，解得，符合题意，则；当时，二次函数的判别式为：，若，即时，函数的零点为，符合题意，则；当，即时，由，解得且，则且；当时，，方程另一根，当时，，方程中一根，则或，所以实数a的取值范围为.故答案为：【变式7-2】（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）已知函数在区间有零点，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得在1,4上有解，由对勾函数性质可知在1,2上单调递减，在上单调递增，又，，，故当时，，故的取值范围是.故答案为：.【变式7-3】（2024·高一·全国·专题练习）若三个方程，和中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当三个方程均无实根时，有，，，故三个方程均无实根时，的取值范围为，三个方程中至少有一个方程有实根时，实数的取值范围为．故答案为：【变式7-4】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）方程的两个根均大于1，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】设，因为的两个实数根均大于1，所以，解得，所以m的取值范围为．故答案为：.【变式7-5】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知二次函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由方程有三个不同的实数根，等价于方程与直线的图象有3个不同的交点，当时，显然不符合题意，所以，令，直线过定点且斜率为（1）当时，如图所示，要使得与有3个交点，则满足，即，由，整理得，因为直线与抛物线相交，所以，解得，所以；（2）当时，如图所示，要使得与有3个交点，则满足，即，由，整理得，因为直线与抛物线相交，所以，解得，所以；综上可得，实数的取值范围为,故答案为：.【变式7-6】（2024·高一·四川成都·期末）若关于的方程恰好有四个不同的实数根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意可知时，，即不是该方程的解，故令，则即为，作出函数的图象如图示：结合图象可知，若只有一个解，则最多有2个解，不合题意；故要使得恰好有四个不同的实数根，需有2个不等正数根，且两根分别处于内，由可得，设，作出其图象：当时，，故，故答案为：题型八：指对幂函数零点分布求参数范围【典例8-1】（2024·高一·云南昆明·期中）已知，若，且，则的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象如下图所示：设，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个公共点，且点、关于直线对称，则，且，故.故答案为：.【典例8-2】（2024·高一·广东东莞·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，，，且，，则实数的取值范围是．【答案】【解析】的图象如图所示，因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，，，所以，，所以，因为，所以，得，即实数的取值范围为，故答案为：【变式8-1】（2024·高一·安徽阜阳·期末）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为.【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示，由图象可知，且，所以，则，所以，故的取值范围为．故答案为：．【变式8-2】（2024·高一·上海松江·期末）已知函数y=fx的表达式为，若方程有四个不相等的实根，且，则取值范围是.【答案】【解析】当时，，函数关于直线对称，画出函数的图象，如图所示，方程有四个不相等的实根，函数与有4个交点，由函数的图象可知，即的取值范围为：，由函数的图象可知：，，且，，，，，，令，，，设，则，，根据对勾函数单调性其单调递增，则，又，设，，对称轴为，则即，即范围为故答案为：．【变式8-3】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为．【答案】【解析】因为方程有四个根，故函数的图象与函数的图象有四个交点，它们的横坐标分别为，如图所示，当时，，且，故，当时，，且，所以，解得，因为函数的图象与函数的图象有四个交点，由图可得，，故，所以，令，，在单调递增，所以，，故的取值范围是.故答案为：.题型九：函数与方程的综合应用【典例9-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．(1)求二次函数的不动点；(2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．【解析】（1）由题知，设的不动点为，则，即，解得或，即的不动点为或.（2）由题知，设的不动点为，则，即，所以，，因为，所以，，解得则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.【典例9-2】（2024·高一·湖南湘潭·期末）已知函数.(1)证明：当时，在上有零点.(2)当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围.【解析】（1）当时，，因为，所以，因此在上有零点.（2）当时，，由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增.又，故在上的值域为，且关于x的方程在上没有实数解，故或，即或所以m的取值范围为.【变式9-1】（2024·高一·四川乐山·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，．(1)求的解析式；(2)若方程有三个不同的根，求的取值范围．【解析】（1）设，则，因为时，fx=x2可得，又因为函数y=fx是奇函数，所以，即，所以函数的解析式为.（2）要使得方程有三个不同的根，即函数y=fx与的图象有三个不同的交点，如图所示