求离心率的9种方法【解析版】

求离心率的9种方法【解析版】求离心率的9种方法【解析版】专题：椭圆和双曲线的离心率第一节：常用求离心率的公式及推导过程汇总椭圆双曲线公式一e=e=公式二e=推导过程：e====e=（知渐近线求离心率）推导过程：e====公式三性质：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。证明：由正弦定理得：由等比定理得：即∴。性质：已知双曲线方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。证明：由正弦定理得：由等比定理得：即，∴。公式四性质：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，=，=β，则离心率证明：由正弦定理，有性质：以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，=，=β，则离心率（）.证明：由正弦定理，有即又.公式五性质：已知点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则有e=当曲线焦点在y轴上时，e=注：而不是性质：已知点F是双曲线的焦点，过F的弦AB与双曲线焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则有e=当曲线焦点在y轴上时，e=注：而不是第二节：离心率求值一、椭圆离心率的求值1、定义法求离心率2、运用通径求离心率3、运用e=求离心率4、运用求离心率5、运用结论求离心率——（A,B为椭圆上的任意两点，M为直线AB的中点）6、运用正弦定理余弦定理求离心率运用相似比求离心率8、求出点的坐标带入椭圆方程建立等式9、运用几何关系求离心率1、定义法求离心率【2018•新课标Ⅰ文】已知椭圆C的一个焦点为(2,0),则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，∵a2−4=4⇒a=22，则e=【2016新课标Ⅰ（文）5】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由直角三角形的面积关系得bc=，解得，故选B【2010•广东7】若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设长轴为2，短轴为2，焦距为2，则即.整理得：【2012江西文理】椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为．【答案】【解析】因为椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=．2、运用通径求离心率【2014•江西文】设椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．【答案】【解析】解法一：不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由=1得y==b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴，解得m=﹣，即D（0，﹣），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，则b2=2c=（1﹣c2）=2c，即c2+2c﹣=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e==，解法二：由题意得F1（﹣c，0），由通径长可得A（c,）,B（c,-），又因DO∥BF2，,O为F1F2中点所以D为F1B的中点，则D（0，），若AD⊥F1B，则，即，解得e==。【2013四川文9】从椭圆(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()．A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P，∵AB∥OP，∴.∴b＝c.∵a2＝b2＋c2，∴.∴．【2007福建理14】已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．【解析】解法一：设c=1，则.解法二：由题意得AD=AB=2c，由通径知AD=,则解得e=【2005全国卷Ⅲ理10】设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （） A．B．C． D．【答案】D【解析】解法一：设，，由题意易知，，，选D.解法二：由题意易知，由通径可得，故，解得e=3、运用e=求离心率【2010•全国大纲Ⅰ16】已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．【答案】【解析】解法一：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，解法二：kBF=,,由e=得e=,解得e=。【例】经过椭圆(a＞b＞0)的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若，求椭圆的离心率。【解析】直线AB的斜率k=tan60°=,带入公式e==2˙=4、运用求离心率【2018•新课标Ⅱ文】已知F1、F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若，且,则C的离心率为（）A.

1-

B.

2-

C.

D.

-1【答案】D【解析】解法一：依题意设PF1=r，PF2=r，F1F2=2r又r+r=2a，a=r,2r=2c∴c=r∴e==-1。解法二：===-1。

【2013福建文理15】椭圆Γ：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．【答案】【解析】解法一：∵由y＝(x＋c)知直线的倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°.∴MF1＝c，MF2＝c.又MF1＋MF2＝2a，∴c＋c＝2a，即.解法二：===-1。

【2013课标全国Ⅱ文】设椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()．A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan30°＝，得.而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，∴，∴.解法二：===。

【2009•江西理6】过椭圆a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．解法二：===。

5、运用结论求离心率——（A,B为椭圆上的任意两点，M为直线AB的中点）【2014江西理15】过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【答案】【解析】解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴两式相减可得，∴a=b，∴=b，∴e==．解法二：由点差法可得，1˙﹣=，解得a=b，∴=b，∴e==．6、运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率【2013辽宁文11】已知椭圆C：(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为()．A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，根据余弦定理，|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF||AB|cos∠ABF，即|AF|＝6，又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF，即|OF|＝5.又根据椭圆的对称性，|AF|＋|BF|＝2a＝14，∴a＝7，|OF|＝5＝c，所以离心率为。【2008全国卷1理15】在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．【解析】设，则，.【2008全国卷1文15】ABC在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．ABC【解析】如图，不妨设|AC|=3，|AB|=4,则|BC|=5，所以2a=8,2c=4,e=.7、运用相似比求离心率【2009•浙江文6】已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：解：如图，由于BF⊥x轴，故xB=﹣c，yB=，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，解法二：由题意可知△BFA∽△POA，且相似比为3:2，则，解得e==。8、求出点的坐标带入椭圆方程建立等式【2009•江苏13】如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆（a>b>0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B1与直线B2F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．【答案】【解析】解法一：由题意，可得直线A1B1的方程为，直线B2F的方程为两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得，故答案为解法二（难）：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N，易知直线A1B2斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，（负值舍去），易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标，即原椭圆的离心率e=．9、运用几何关系求离心率【2018•新课标Ⅱ理】已知F1、F2是椭圆C:（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，,则C的离心率为（

）A.

B.

C.

D.

【答案】D【解析】∵过A直线斜率为∴tanα=

即sinα=339=113∴2c113=a+csinβ

【2017•新课标Ⅲ文理】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e===．【2016新课标Ⅲ文理12】已知O为坐标原点，F是椭圆C（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为,化简可得=，即为a=3c，可得e==．【2016江苏文理10】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得kBF•kCF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=。【2015•浙江】——中难椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．【答案】【解析】不妨令c=1，设Q（m，n），由题意可得，即：，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=【2012新课标理】设、是椭圆E：=1（）的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A、B、C、D、【答案】C【解析】如图所示，是等腰三角形，，，，，，又，所以，解得，因此。【2013浙江文理9】如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()．A．B．C．D．【答案】D【解析】椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝.又四边形AF1BF2为矩形，∴∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴|AF1|＝，|AF2|＝，∴双曲线C2中，2c＝，2a＝|AF2|－|AF1|＝，故.【2013江苏文理12】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为(a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若，则椭圆C的离心率为__________．【答案】【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，.∵，∴，即.∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.∴.双曲线离心率的求解1、定义法关系求离心率2、运用渐近线求离心率3、运用e=求离心率4、运用求离心率5、运用结论求离心率——（A,B为椭圆上的任意两点，M为直线AB的中点）6、运用几何关系求离心率1、定义法关系求离心率【2018•新课标Ⅲ】设F1,F2是双曲线（，）的左，右焦点，O是坐标原点。过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若|PF1|=6|OP|，则C的离心率为（A.

B.

2C.

D.

【答案】C【解析】因为OF2=c，直线OP的斜率为，则|OP|=a,|PF2|=b

则|PF1|=6a,OF1=C,cos∠POF1=−cos∠POF2=−ac

则【答案】2【解析】解：右焦点F（C,0）到的距离，32C=【2014•重庆文】设F1，F2分别为双曲线a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.4D.【答案】D【解析】∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．【2014重庆理（理）】设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|=ex﹣a，|PF2|=ex+a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab∴a=b，∴c==b，∴e==．【2011课标理7】设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.B.C.2D.3【答案】B【解析】通径|AB|==4a得.【2016山东（理）】已知双曲线E:（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．【答案】2【解析】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．2、运用渐近线求离心率【2015•湖南文】若双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）B.C.D.【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得e==【2010新课标文】中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．【2010•辽宁文9】设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=x垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）【2015•山东文15】过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为【答案】2+【解析】x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．3、运用e=求离心率【2009全国卷2理11】已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为（）A．B.C.D.【答案】A【解析】设双曲线的右准线为,过分别作于,于,,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又解法二：直线AB的斜率k=,带入公式e==2˙=4、运用求离心率【2013湖南文14】设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．【答案】【解析】解法一：如图所示，∵PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c.由双曲线定义知，|PF1|＝2a＋c，由|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2得4c2＝(2a＋c)2＋c2，即2c2－4ac－4a2＝0，即e2－2e－2＝0，∴，∴.解法二：===+1。

【2008•陕西理8】双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．解法二：===。【2008全国卷Ⅱ11】设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由题意2c=|AB|，所以，由双曲线的定义，有，∴故选B．

解法二：===。【2005福建理10】已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （） A． B． C． D．【答案】D【解析】===+1。

5、运用结论求离心率——（A,B为椭圆上的任意两点，M为直线AB的中点）【2010全国2理21】己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为.求C的离心率；【答案】2【解析】解法一：由题设知，的方程为：带入的方程，并化简，得设则①由为的中点知，故即，②故所以的离心率解法二：由，即1˙3=，e==26、运用几何关系求离心率【2017·新课标全国Ⅱ卷理9】.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得.解法二：待定系数法设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法三：几何法从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为，由于，可得，渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵，∴点的坐标为，代入圆方程中，解得.【2016新课标Ⅱ(理）】已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin,则E的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】离心率，由正弦定理得．【2015新课标2理】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】设M在双曲线的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．【2015湖南（理）】设F是双曲线C的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【答案】【解析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．【2015•山东理】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【答案】【解析】双曲线C1:（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），则=，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．【2014浙江文理】设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【答案】【解析】双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴c==b，∴e==．【2013湖南理14】设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．【答案】【解析】不妨设|PF1|＞|PF2|，由可得∵2a＜2c，∴∠PF1F2＝30°，∴cos30°＝，整理得，c2＋3a2－ac＝0，即e2－e＋3＝0，∴.【2012浙江理8】如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A．B．C．D．【答案】B【解析】如图：|OB|＝b，|OF1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣．直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，令y＝0得：xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝．【2012重庆文】设为直线与双曲线（a＞0，b＞0）左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率___________.【答案】【解析】因为直线与双曲线相交，联立方程化简得又PF1垂直于轴，【2009浙江理9】过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是()A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．四、椭圆、双曲线离心率综合【2018•北京】已知椭圆M:(a>b>0）,双曲线N：.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________【答案】-1；2【解析】解法一：图中A(c2,32c)，设椭圆焦距为2c,

又|AF2|=C⋅|AF1|=3c。

∴解法二：连接AF1，则∠AF1F2=30°,∠AF2F1=60°对于椭圆===-1。连接六边形的对角线AB则∠AOF2=60°，，则

【2016浙江（理）】已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1【答案】A【解析】∵椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，∴满足c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D则c2=m2﹣1＜m2，c2=n2+1＞n2，则c＜m．c＞n，e1=，e2=，则e1•e2=•=，则（e1•e2）2=（）2•（）2====1+=1+=1+＞1，∴e1e2＞1.【2014•湖北理（理）】已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.B.C.3D.2【答案】A【解析】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12-3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号。【2012浙江（文）】如图，中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点，是双曲线的两顶点。若将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3 B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线和椭圆的方程分别为，，则。依题意可得，，所以。【2011•福建文11】设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A．或 B．或2 C．．或2 D．或【答案】A【解析】依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==【2013课标全国Ⅱ文10】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()．A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝或y＝C．y＝或y＝D．y＝或y＝【答案】C【解析】由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x＝－1作垂线，垂足分别为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，在△AMK中，由，得，解得x＝2t，则cos∠NBK＝，∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k＝tan60°＝，故直线方程为y＝．当直线l的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝，故选C.第二节、求离心率取值范围一、根据题目已知不等式求离心率的取值范围（注意“存在”“恒成立”是隐藏的不等式）【2015福建文】已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）【答案】A【解析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是．【2007北京文4】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】D【解析】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，取值范围是。【2008湖南理8】若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 【答案】B【解析】或(舍去),.【2007湖南理9】设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知P，所以的中点Q的坐标为，由当时，不存在，此时为中点，综上得二、根据顶角建立不等式求离心率的取值范围1、P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则∠F1PF2最大当且仅当P为短轴顶点；2、P是椭圆上的任意一点，A,B为椭圆的长轴顶点，则∠APB最大当且仅当P为短轴顶点；3、P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2=θ，则椭圆的离心率的取值范围为≤e<1.【2008•江西理7】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）【答案】C【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．【变式1】已知F1、F2是椭圆(a>b>0)的左右焦点，若椭圆上存在点P,使得∠F1PF2=900，则椭圆的离心率e的取值范围为【答案】[，1)【解析】设上顶点为B，只要∠F1BF2≥,就存在点P使得∠F1PF2=900，所以e=sin∠F1BO≥sin=，解得≤e<1.【变式2】已知A,B是椭圆(a>b>0)长轴的两个顶点，若椭圆上存在点P,使得∠APB=1200，则椭圆的离心率e的最小值为【答案】【解析】设上顶点为M，只要∠AMB≥,就存在点P使得∠APB=1200，所以===tan∠AOM≥tan=，解得≤e。【变式3】已知椭圆C：两个焦点为，如果曲线C上存在一点Q，使，求椭圆离心率的最小值。【分析】根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。【解析】根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：设故，故椭圆离心率的最小值为。【变式4】双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】B【解析】设，，当点在右顶点处，．．三、根据焦半径的取值范围（利用三角形三边的关系建立不等关系）求离心率的取值范围1、F是椭圆的一个焦点，P是椭圆上的任意一点，则a-c≤≤a+c；2、F是双曲线的右焦点，若P是双曲线右支上的任意一点，则c-a≤；若P是双曲线左支上的任意一点，则c+a≤，根据题给等式确定P位置。3、P是椭圆上的任意一点，则-a<xp<a,-b<yp<b.【2010•四川理9】椭圆(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）【答案】D【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|=，|PF|∈[a﹣c，a+c]于是∈[a﹣c，a+c]即ac﹣c2≤b2≤ac+c2∴又e∈（0，1）故e∈[，1）．【2009•重庆理15】已知双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是．【答案】（1，）【解析】（由正弦定理得），，．又，，，由双曲线性质知，，即，得，又，得．【2009•重庆文15】已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【答案】（，1）【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0），解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e<-或e>，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（，1）。【2008福建理11】双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3) B. C.(3,+) D.【答案】B【解析】由题意可知即由c+a≤则e≤3.【2004重庆理10】已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知即由c+a≤则e≤.【例】如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由题意及椭圆第二定义可知（当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得又。【例】已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值