2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱锥台和球的体积学案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．7柱、锥、台和球的体积1．了解祖暅原理．2．理解柱、锥、台体的体积公式的推导．3．会求柱、锥、台、球的体积．1．长方体的体积公式V长方体＝abc＝Sh．其中a、b、c分别是长方体的长、宽和高，S、h分别是长方体的底面积和高．2．祖暅原理幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．3．祖暅原理的应用等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．4．柱、锥、台、球的体积其中S表示底面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥eq\f(1,3)Sh圆锥eq\f(1,3)πr2h台体棱台eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)圆台eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)球eq\f(4,3)πR3把锥体用平行于底面的平面截开，截得的小锥体的体积与原锥体的体积之比等于截得小锥体的高度与原锥体的高度之比的立方．1．已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长为2eq\r(14)，则这个长方体的体积是()A．6 B．12C．24 D．48答案：D2．若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是()A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55)C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55)答案：C3．把直径分别为6cm，8cm，10cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cm解析：选B．设大铁球的半径为R，则有eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))eq\s\up12(3)，解得R＝6．柱体的体积棱柱ABC­A′B′C′的侧面AA′C′C的面积为S，且这个侧面到与它相对的侧棱BB′之间的距离为a，求这个棱柱的体积．【解】如图，过侧棱BB′、CC′分别作侧面AC′、AB′的平行平面，DD′是交线，再伸展两底面，得到平行六面体ABDC­A′B′D′C′．因为侧面AA′C′C的面积为S，设此面为底面，则平行六面体BDD′B′­ACC′A′的高为a，所以V平行六面体＝Sa．又V棱柱ABC­A′B′C′＝eq\f(1,2)V平行六面体，所以V棱柱ABC­A′B′C′＝eq\f(Sa,2)．eq\a\vs4\al()当所给几何体的体积不易求出时，我们可以通过“割补法”，使之变形为我们熟识的几何体去解决．正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45°，求此三棱柱体积．解：如图为正三棱柱ABC­A1B1C1，则有AB1＝2，∠B1AB＝45°，所以AB＝BB1＝eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(3),2)，所以V三棱柱＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2)，即此三棱柱的体积为eq\f(\r(6),2)．锥体、台体的体积四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．【解】因为C(2，1)，D(0，3)，所以圆锥的底面半径r＝2，高h＝2．所以V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π，因为B(1，0)，C(2，1)，所以圆台的两个底面半径R＝2，R′＝1，高h′＝1．所以V圆台＝eq\f(1,3)πh′(R2＋R′2＋RR′)＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圆锥＋V圆台＝5π．eq\a\vs4\al()在多面体和旋转体的有关计算中通常将其转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算．对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形；对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面积是780cm2．求正四棱台的体积．解：如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm．取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．由S侧＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780得EE1＝13(cm)．在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5(cm)，OE＝eq\f(1,2)AB＝10(cm)，所以O1O＝eq\r(E1E2－(OE－O1E1)2)＝12(cm)，V正四棱台＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱台的体积为2800cm3．球的体积过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积和表面积．【解】如图，设过A、B、C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′．因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为正三角形ABC的中心，所以AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)(cm)．设OA＝R，则OO′＝eq\f(1,2)R，因为OO′⊥截面ABC，所以OO′⊥AO′，所以AO′＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)，所以R＝2(cm)，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．即球的体积为eq\f(32,3)πcm3，表面积为16πcm2．eq\a\vs4\al()球的体积的求法及留意事项(1)要求球的体积，必需知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．依据球与球的组合体的结构特征及数据计算其体积．此时要特殊留意球的三种视图都是直径相同的圆．若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的()A．3倍 B．9倍C．27倍 D．3eq\r(3)倍解析：选D．设改变前、后两球的半径分别为r、R，则有eq\f(πr2,πR2)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(r,R)＝eq\f(1,\r(3))．所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(4,3)πr3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(r3,R3)＝eq\f(1,3\r(3))．故选D．1．多面体与旋转体的体积公式只要求我们了解，但结论“等底面积、等高的两个棱锥的体积相等”必需记熟且学会对它的熟识运用，柱体、锥体、台体的体积关系如下：2．在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分成三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一．在这个过程中，一是运用了等体积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要敏捷运用．1．求几何体的体积，须要求与其体积有关的各个量，但有时各个量不肯定都要求出，而只需求出与其体积有关的各量的组合．2．“割补”是求体积的一种常用策略．运用时，要留意弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系．3．解答组合体问题要留意学问的横向联系，擅长把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．1．已知一个圆柱底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为()A．2π B．4πC．8π D．16π解析：选D．V圆柱＝πR2h＝π×22×4＝16π．2．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是()A．eq\f(\r(3),24)πR3 B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),24)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR3答案：A3．若正方体的棱长为eq\r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．答案：eq\f(\r(2),3)4．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3．解析：题图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由题中所给公式计算得体积为V＝eq\f(1,3)×(4×4＋eq\r(16×64)＋64)×3＋4×4×2＝144(cm3)．答案：144,[学生用书P89(单独成册)])[A基础达标]1．若一个长方体有相同顶点的三个面的面积分别是eq\r(2)、eq\r(3)、eq\r(6)，则这个长方体的体积为()A．2eq\r(3) B．3eq\r(2)C．6 D．eq\r(6)解析：选D．因为ab＝eq\r(2)，ac＝eq\r(3)，bc＝eq\r(6)．所以a2b2c2＝6，所以V＝abc＝eq\r(6)．2．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1∶V2＝()A．1∶3 B．1∶1C．2∶1 D．3∶1解析：选D．V1∶V2＝(sh)∶(eq\f(1,3)sh)＝3∶1．3．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．1 D．2解析：选C．该几何体的直观图为直三棱柱ABC­A1B1C1，如图所示，其体积为V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝1．故选C．4．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A．eq\f(r\r(h),2) B．eq\f(r2h,4)C．eq\r(3,\f(r2h,4)) D．eq\f(r2h,2)解析：选C．因为eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝eq\r(3,\f(r2h,4))．5．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A．eq\f(32π,3) B．eq\f(8π,3)C．8eq\r(2)π D．eq\f(8\r(2)π,3)解析：选D．设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，所以球的体积为eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，故选D．6．已知正方体外接球的体积是eq\f(32,3)π，那么正方体的棱长等于________．解析：V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，所以R＝2．设正方体的棱长为a，则eq\r(a2＋a2＋a2)＝2R，所以3a2＝16，所以a＝eq\f(4,3)eq\r(3)．答案：eq\f(4,3)eq\r(3)7．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14cm3，则棱台的高为________．解析：如图所示，设正四棱台AC′的上底面边长为2a，则斜高EE′和下底面边长分别为5a、8a．高OO′＝eq\r((5a)2－(4a－a)2)＝4a．又因为eq\f(1,3)×4a×(64a2＋4a2＋eq\r(4a2×64a2))＝14，所以a＝eq\f(1,2)，即高为4a＝2cm．答案：2cm8．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm．解析：设球的半径为xcm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－eq\f(4,3)πx3×3，解得x＝4．答案：49．依据图中标出的尺寸，求各几何体的体积．解：(1)该几何体是圆锥，高h＝10，底面圆半径r＝3，所以底面积S＝πr2＝9π，则V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×9π×10＝30π．(2)该几何体是正四棱台，底面中心连线就是高h＝6，上底面积S上＝64，下底面积S下＝144，则V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h＝eq\f(1,3)×(64＋144＋eq\r(64×144))×6＝608．10．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eq\r(15)，求这个正三棱锥的体积．解：如图，正三棱锥S­ABC中，设H为△ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH，延长后交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC．由于△ABC是边长为6的正三角形，所以AE＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3)．所以AH＝eq\f(2,3)AE＝2eq\r(3)．在Rt△SHA中，SA＝eq\r(15)，AH＝2eq\r(3)，所以SH＝eq\r(SA2－AH2)＝eq\r(15－12)＝eq\r(3)．在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝9eq\r(3)．所以VS­ABC＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×eq\r(3)＝9．[B实力提升]11．圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a，下底边长为2a，对角线长为eq\r(3)a，则这个圆台的体积是()A．eq\f(7\r(3),4)πa3 B．eq\f(7,12)eq\r(3)πa3C．eq\f(7,8)eq\r(3)πa3 D．eq\f(7\r(3),24)πa3解析：选D．如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，知∠ADB＝90°．取DC中点E，AB中点F，分别过D点、C点作DH⊥AB，CG⊥AB，知DH＝eq\f(\r(3),2)a．所以HB＝eq\r(3a2－\f(3,4)a2)＝eq\f(3,2)a．所以DE＝HF＝eq\f(1,2)a．所以V圆台＝eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2))·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(7,24)eq\r(3)πa3．12．球的一个内接圆锥满意：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是eq\f(r,2)，于是圆锥的底面半径为eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3)r,2)．高为eq\f(3r,2)．该圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)r,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3r,2)＝eq\f(3,8)πr3，球体积为eq\f(4,3)πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为eq\f(\f(3,8)πr3,\f(4,3)πr3)＝eq\f(9,32)．②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为eq\f(3,32)．答