2024-2025学年高考数学考点第十一章计数原理随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理理

PAGEPAGE5考点11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点梳理考点梳理一般形式区分分类加法计数原理完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．它们的区分在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成分步乘法计数原理完成一件事须要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法概念方法微思索1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示假如已知的每类方法中的每一种方法都能完成这件事，应当用分类加法计数原理；假如每类方法中的每一种方法只能完成事务的一部分，就用分步乘法计数原理．2．两种原理解题策略有哪些？提示①明白要完成的事情是什么；②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间相互独立，“步”间相互联系；③有无特别条件的限制；④检验是否有重复或遗漏．真题演练真题演练1．（2024•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【解析】依据正六边形的性质，则，满足题意，而，，，，，和一样，有，当为底面矩形，有4个满足题意，当为底面矩形，有4个满足题意，故有故选D．2．（2024•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的状况有__________种．【答案】18【解析】当，0种，当，2种，当，4种；当，6种，当，4种；当，2种，当，0种，故共有：．故答案为：18．3．（2024•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参与科技竞赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】方法一：干脆法，1女2男，有，2女1男，有依据分类计数原理可得，共有种，方法二，间接法：种，故答案为：16．4．（2024•上海）某校组队参与辩论赛，从6名学生中选出4人分别担当一、二、三、四辩，若其中学生甲必需参赛且不担当四辩，则不同的支配方法种数为__________（结果用数值表示）【答案】180【解析】依据题意，分2步分析：①，学生甲必需参赛且不担当四辩，则甲可以担当一、二、三辩，有3种状况，②，在剩下的5名学生中任选3人，支配到其他三个辩手的位置，有种状况，则有种不同的支配方法种数；故答案为：180．强化训练强化训练1．（2024•金安区校级模拟）2024里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运竞赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运竞赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运竞赛的不同状况有A．6种 B．24种 C．36种 D．42种【答案】B【解析】第一步从4个没转播的频道选出2个共有种，在把2个报道的频道选1个有种，依据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运竞赛的不同状况有种．故选．2．（2024•西湖区校级模拟）从集合，1，2，3，4，5，中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有A．36个 B．42个 C．30个 D．35个【答案】A【解析】，互不相等且为虚数，全部只能从，2，3，4，5，中选一个有6种，从剩余的6个选一个有6种，依据分步计数原理知虚数有（个．故选．3．（2024•汉阳区校级模拟）学校支配在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶馆》不能在周一、周三上演；《天籁》不能在周三、周四上演；《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，则全部的可能状况有种．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由题意，周一只能上演《天籁》，周四只能上演《茶馆》，故周二上演《雷雨》，周三上演《马蹄声碎》；或者周二上演《马蹄声碎》，周三上演《雷雨》．故全部的可能状况有2种，故选．4．（2024•沙坪坝区校级模拟）设集合，，，，，，，，2，3，4，5，，那么集合中满足条件“”的元素的个数为A．35 B．50 C．60 D．180【答案】B【解析】集合，，，，，，，，2，3，4，5，，要满足“”由题可得：中有2个，4个1，或3个，3个1，或4个，2个1，共三类状况符合条件．所以中满足条件“”的元素的个数为：；故选．5．（2024•安徽模拟）中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队打完3场竞赛，则该球队积分状况共有几种A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】打完3场竞赛，可能出现的输赢状况为：三胜，二胜一平，二胜一负，一胜二平，一胜二负，一胜一平一负；三平，二平一负，一平二负；三负；对应的积分依次为：9，7，6，5，3，4，3，2，1，0；共9种积分状况．故选．6．（2024•吉林模拟）一只蚂蚁从正四面体的顶点动身，沿着正四面体的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点，第4秒后又回到点的不同爬行路途有A．6条 B．7条 C．8条 D．9条【答案】B【解析】依据已知，可作出右图，由图知，不同的爬行路途有7条，故选．7．（2024•青羊区校级模拟）由数字0，1，2，3组成的无重复数字的4位数中，比2024大的数的个数为A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】依据题意，分2种状况探讨：①、当首位为3时，将剩下的三个数字全排列，支配在后面的三个数位，有种状况，即有6个符合条件的4位数；②，当首位为2时，若百位为1或3时，将剩下的两个数字全排列，支配在后面的两个数位，有种状况，即有4个符合条件的4位数；若首位为2，百位为0时，只有2031一个符合条件的4位数；综上共有个符合条件的4位数；故选．8．（2024•大同模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的诞生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的祥瑞物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜爱牛和马，乙同学喜爱牛、狗和羊，丙同学哪个祥瑞物都喜爱，假如让三位同学选取礼物都满足，则选法有A．30种 B．50种 C．60种 D．90种【答案】B【解析】①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有种，所以总共有种．故选．9．（2024•武侯区校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个．A．324 B．216 C．180 D．384【答案】A【解析】由题意知本题须要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，依据分类计数原理得到共有个．故选．10．（2024•和平区校级二模）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有A．512 B．192 C．240 D．108【答案】D【解析】能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类第一类，末位为0时，其它三位从剩下的数中随意排3个即可，有个，其次类，米位为5时，首位不能排0，则首位只能从1，3，4，5选1个，其次位和第三位从剩下的任选2个即可，有个，依据分类计数原理得可以组成个不同的能被5整除的四位数．故选．11．（2024•阿拉善盟一模）将4名实习老师安排到高一年级三个班实习，每班至少支配一名老师，则不同的安排方案有种．A．12 B．36 C．72 D．108【答案】B【解析】第一步从4名实习老师中选出2名组成一个复合元素，共有种，其次步把3个元素（包含一个复合元素）支配到三个班实习有种，依据分步计数原理不同的安排方案有种．故选．12．（2024•河南模拟）某省示范中学将6名老师安排至3所农村学校支教，每所学校至少安排一名老师，其中甲必去校，乙、丙两名老师不能安排在同一所学校的不同安排方法数为A．36 B．96 C．114 D．130【答案】D【解析】甲去校，再安排其他5个人，①假如都不去校，则安排方法有种；②假如5人分成1，1，3三组，则安排方法有种；③假如5人分成1，2，2三组，则安排方法有种；由加法原理可得不同安排方法有种．故选．13．（2024•西湖区校级模拟）已知某超市为顾客供应四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能状况有种A．19 B．26 C．7 D．12【答案】B【解析】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有，故有种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有，故有种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人运用现金，则种，若没有人运用现金，则有种，故有种，依据分步计数原理可得共有种，故选．14．（2024•诸暨市模拟）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖元的货款（不找零），则有__________种不同的支付方式．【答案】6【解析】9元的支付有两种状况，或者，①当9元采纳方式支付时，200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；②当9元采纳方式支付时：200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；所以总的支付方式共有种．故答案为：6．15．（2024•泰安二模）北京大兴国际机场为级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2024年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有__________种不同的支配方法．（用数字作答）．【答案】10【解析】①西一跑道、西二跑道均被选取，有种起飞方式；②西一跑道、西二跑道只有一道被选取，有种起飞方式；由分类计数原理可知，满足条件的支配方法有种．故答案为：10．16．（2024•杜集区