2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2课时分层作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE课时分层作业(十四)空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算(建议用时：60分钟)一、选择题1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0B．1C．2D．3B[因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；依据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B．]2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋λeq\o(CB,\s\up7(→))，则λ等于()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)A[∵eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(2,3)．]3．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k等于()A．0 B．1C．－1 D．±1D[若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))∴k＝±1．]4．在下列条件中，使M与A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))C[∵eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＝－eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，∴M与A，B，C必共面．]5．已知在长方形ABCD­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝eq\f(1,2)EF，则eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))D[如图所示，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))，eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))，eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))，故选D．]二、填空题6．在四面体O­ABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c．]7．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外随意一点，若由eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋λeq\o(OC,\s\up7(→))确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．eq\f(2,15)[依据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))成立，其中x＋y＋z＝1，于是eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，所以λ＝eq\f(2,15)．]8．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(BC,\s\up7(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up7(→))，则x＋y＋z＝________．eq\f(7,6)[如图所示，eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋(－1)eq\o(C1C,\s\up7(→))．又∵eq\o(AC1,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(BC,\s\up7(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up7(→))，∴xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(BC,\s\up7(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋(－1)eq\o(C1C,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2y＝1，,3z＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(1,3)，))∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6)．]三、解答题9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋xeq\o(PC,\s\up7(→))＋yeq\o(PA,\s\up7(→))；(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o(PO,\s\up7(→))＋yeq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))．[解]如图所示，(1)∵eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2)．(2)∵eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→))．又∵eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))＝2eq\o(PQ,\s\up7(→))，∴eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PD,\s\up7(→))．从而有eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－(2eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PD,\s\up7(→)))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－2eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))．∴x＝2，y＝－2．10．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：eq\o(A1N,\s\up7(→))与eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．[证明]∵eq\o(A1B,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))＝eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1M,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up7(→))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))与eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．1．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间随意四点，则有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共线，则AB∥CD；④对空间随意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4C[明显①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C．]2．如图是一平行六面体ABCD­A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(CE,\s\up7(→))，则eq\o(D1E,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))B[取BC的中点F，连接A1F，则A1D1綊FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1F綊D1E，所以eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\o(D1E,\s\up7(→))．又eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(D1E,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))，故选B．]3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up7(→))＋meq\o(OB,\s\up7(→))＋neq\o(OC,\s\up7(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．0[由λeq\o(OA,\s\up7(→))＋meq\o(OB,\s\up7(→))＋neq\o(OC,\s\up7(→))＝0得eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\f(m,λ)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\f(n,λ)eq\o(OC,\s\up7(→))由A，B，C三点共线知－eq\f(m,λ)－eq\f(n,λ)＝1，则λ＋m＋n＝0．]4．如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若eq\o(AG,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))与eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up7(→))同时成立，则实数λ的值为_________________________．eq\f(1,2)[eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以1－λ＝eq\f(1,2)，eq\f(λ,2)＝eq\f(1,4)，解得λ＝eq\f(1,2)．]5．如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1．(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))＋zeq\o(AA1,\s\up7(→))，求x＋y＋z的值．[解](