2024-2025学年高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式课时作业含解析北师大版必修3

PAGEPAGE6课时作业18古典概型的特征和概率计算公式时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．下列不是古典概型的是(C)A．从6名同学中，选出4人参与数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：A、B、D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不适合等可能性，故不为古典概型．2．下列对古典概型的说法中正确的是(B)①试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；②每个事务出现的可能性相等；③每个基本领件出现的可能性相等；④基本领件总数为n，随机事务A若包含k个基本领件，则P(A)＝eq\f(k,n).A．②④ B．①③④C．①④ D．③④解析：②中所说的事务不肯定是基本领件，所以②不正确；依据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．3．一个家庭有两个小孩，则全部的基本领件是(C)A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)解析：用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，其次个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个基本领件(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．4．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)解析：构成的两位数为12,13,21,23,31,32，共6个，这6个基本领件是等可能的，因此是古典概型．其中大于23的为31,32，共2个，所以所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).5．从1,2,3,4,5,6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是(D)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：基本领件共有15个，它们是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中两数都是偶数的有(2,4)，(2,6)，(4,6)共3个，故P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).6．欲寄出两封信，现有两个邮箱供选择，则两封信都投到一个邮箱的概率是(A)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,8)解析：可记两封信为1,2，两个邮箱为甲、乙，则寄出两封信，有两个邮箱供选择，有以下几种结果：1放在甲中，而2放在乙中；2放在甲中，而1放在乙中；1,2均放于甲中；1,2均放于乙中．由上可知，两封信都投到一个邮箱的结果数为2.所以，两封信都投到一个邮箱的概率为eq\f(1,2).7．一个袋中装有大小相同的3个红球，1个白球，从中随机一次取出2个球，则取出的2个球不同色的概率是(C)A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：设3个红球分别为a1，a2，a3,1个白球为b.从中任取2个球，有以下结果：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)，共6种，其中取出的两个球不同色的有：(a1，b)，(a2，b)，(a3，b)，共3种，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).8．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各随意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(C)A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：本题主要考查了古典概型，从集合A、B中任取一个数的全部状况有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种，和为4的有(2,2)，(3,1)共2种，则所求概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).二、填空题(每小题5分，共15分)9．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为eq\f(1,3).解析：三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，共3种．且等可能出现，则恰好排成英文单词BEE的概率为eq\f(1,3).10．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有两面涂有颜色的概率是eq\f(3,8).解析：恰有两面涂色的有24块，故所求概率为eq\f(24,64)＝eq\f(3,8).11．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是eq\f(1,3).解析：从1,2,3,4这四个数中随机取两数的全部状况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中满意一个数是另一个数的两倍的组合为(1,2)，(2,4)，故P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)某旅游公司为甲、乙两个旅游团供应四条不同的旅游线路，每个旅游团均可任选其中一条旅游线路．(1)甲、乙两个旅游团所选旅游线路共有多少种不同的状况？请列出全部的状况；(2)求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率．解：设四条旅游线路分别为a，b，c，d.若甲旅游团选a旅游线路，乙旅游团选b旅游线路，则表示为(a，b)，其他同此．(1)甲、乙两个旅游团所选旅游线路共有16种不同的状况．列举如下：(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)．(2)甲、乙两个旅游团所选的旅游线路不同的状况有12种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)．故甲、乙两个旅游团所选的旅游线路不同的概率为P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).13．(13分)甲、乙两人玩一种嬉戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．(1)若以A表示事务“和为6”，求P(A)；(2)若以B表示事务“和大于4而小于9”，求P(B)；(3)这种嬉戏公允吗？试说明理由．解：将全部可能状况列表如下：甲乙123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)由上表可知，该试验共包括25个等可能发生的基本领件，属于古典概型．(1)“和为6”的结果有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种结果，故所求的概率为eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)“和大于4而小于9”包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个基本领件，所以P(B)＝eq\f(16,25).(3)这种嬉戏不公允．因为“和为偶数”包括13个基本领件，即甲赢的概率为eq\f(13,25)，乙赢的概率为eq\f(25－13,25)＝eq\f(12,25)，所以它不公允．——实力提升类——14．(5分)设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是eq\f(5,9).解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．当直线与圆有公共点时，可得eq\f(3,\r(a2＋b2))≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为eq\f(5,9).15．(15分)在参与市里主办的科技学问竞赛的学生中随机选取了40名学生的成果作为样本，这40名学生的成果全部在40分至100分之间，现将成果按如下方式分成6组：第一组，成果大于等于40分且小于50分；其次组，成果大于等于50分且小于60分；…；第六组，成果大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中，(1)求成果在区间[80,90)内的学生人数；(2)从成果大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成果在区间[90,100]内的概率．解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成果在区间[80,90)的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1.所以，40名学生中成果在区间[80,90)的学生人数为40×0.1＝4(人)．(2)设A表示事务“在成果大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成果在区间[90,100]内”，由已知和(1)的结果可知成果在区间[80,90)内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d，成果在区间[90,100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f，则选取学生的全部可能结果为：(a，b)，