成都4中高二数学试卷

成都4中高二数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，对称轴为$x=\frac{-b}{2a}$，则下列说法正确的是（）

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$

B.$a>0$，$b>0$，$c<0$

C.$a>0$，$b<0$，$c>0$

D.$a>0$，$b<0$，$c<0$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，若$a_1=3$，$a_5=11$，则公差$d$等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在$\triangleABC$中，若$\angleA=\frac{\pi}{3}$，$\angleB=\frac{\pi}{4}$，则$\angleC$的大小为（）

A.$\frac{\pi}{4}$

B.$\frac{\pi}{6}$

C.$\frac{\pi}{3}$

D.$\frac{\pi}{2}$

4.已知等比数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，若$a_1=2$，$a_4=32$，则公比$q$等于（）

A.2

B.4

C.8

D.16

5.若函数$f(x)=\ln(x-1)+\sqrt{x+2}$的定义域为$[2,+\infty)$，则函数的值域为（）

A.$[1,+\infty)$

B.$[2,+\infty)$

C.$[3,+\infty)$

D.$[4,+\infty)$

6.在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点为（）

A.$(2,1)$

B.$(1,2)$

C.$(-2,-1)$

D.$(-1,-2)$

7.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f'(x)$等于（）

A.$3x^2-6x+4$

B.$3x^2-6x-4$

C.$3x^2+6x+4$

D.$3x^2+6x-4$

8.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$的图像与直线$y=x$相交于点$(a,b)$，则$a+b$等于（）

A.2

B.0

C.-2

D.-1

9.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）

A.$a_n=2^n-1$

B.$a_n=2^n+1$

C.$a_n=2^{n-1}-1$

D.$a_n=2^{n-1}+1$

10.在平面直角坐标系中，直线$y=2x+1$与圆$x^2+y^2=5$相交于两点$A$、$B$，则$\triangleOAB$的面积为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、判断题

1.平面向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角，当$\theta=0$时，$\vec{a}\cdot\vec{b}$取得最大值。

2.在直角坐标系中，若点$A(x_1,y_1)$到点$B(x_2,y_2)$的距离公式为$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，则点$A$在直线$x+y=1$上。

3.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，则函数的最小值为$f_{\text{min}}=c$。

4.在平面直角坐标系中，若点$P(x,y)$在直线$y=kx+b$上，则点$P$到原点$O$的距离为$d=\sqrt{x^2+y^2}$。

5.等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，则数列的前$n$项和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。

三、填空题

1.若等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=5$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}=$______。

2.函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的图像与$x$轴的交点坐标为______。

3.在$\triangleABC$中，若$\angleA=\frac{\pi}{3}$，$\angleB=\frac{\pi}{4}$，则$\sinC=$______。

4.若等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=8$，公比$q=\frac{1}{2}$，则第5项$a_5=$______。

5.直线$y=3x-2$与圆$x^2+y^2=25$相交于两点$A$、$B$，则弦长$AB=$______。

四、简答题

1.简述函数$f(x)=\frac{1}{x}$的单调性，并说明其图像在哪些象限。

2.给定等差数列$\{a_n\}$，已知$a_1=3$，$a_5=19$，求该数列的通项公式和前10项和。

3.在直角坐标系中，已知点$A(2,3)$和点$B(-1,5)$，求直线$AB$的斜率、截距以及方程。

4.设函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求函数的导数$f'(x)$，并分析函数的单调性和极值点。

5.已知等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=4$，公比$q=3$，求该数列的前$n$项和$S_n$的表达式，并说明当$n$趋于无穷大时，$S_n$的极限值。

五、计算题

1.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4)dx$。

2.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的定积分$\int_1^3f(x)dx$。

3.在直角坐标系中，若圆的方程为$x^2+y^2=16$，求圆心到直线$2x+3y-6=0$的距离。

4.计算复数$(1+i)^5$的值。

5.已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_1=2$，$a_4=10$，求第10项$a_{10}$和前10项和$S_{10}$。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司计划生产一批产品，已知每件产品的生产成本为100元，销售价格为150元。根据市场调研，每增加1元的销售价格，需求量减少10件。假设生产量为$x$件，求公司利润$y$与生产量$x$的关系式，并求出使得利润最大的生产量$x$。

案例分析：

（1）根据题意，销售价格为$150-10(x-1)$元，因此总销售收入为$R(x)=(150-10(x-1))x$。

（2）总成本为生产成本乘以生产量，即$C(x)=100x$。

（3）利润$y$为销售收入减去成本，即$y=R(x)-C(x)$。

（4）将$R(x)$和$C(x)$代入$y$的表达式中，得到$y$关于$x$的函数。

（5）求$y$关于$x$的导数$y'$，并找出$y'$的零点，以确定利润的最大值。

（6）分析$y'$的符号变化，确定利润最大时的生产量$x$。

2.案例背景：某班级有50名学生，其中男生和女生的比例分别为$3:2$。为了提高学生的英语水平，学校决定为英语成绩低于60分的学生提供辅导。已知辅导班每名学生的费用为50元，学校希望至少有20名学生参加辅导，以弥补辅导班的成本。假设辅导班共有$x$名学生参加，求学校需要收取的辅导费用总额$y$与参加辅导的学生数$x$的关系式，并求出使得学校利润最大的辅导费用总额$y$。

案例分析：

（1）根据题意，班级中男生人数为$\frac{3}{5}\times50=30$，女生人数为$\frac{2}{5}\times50=20$。

（2）英语成绩低于60分的学生人数为男生和女生中成绩低于60分的人数之和。

（3）设辅导班共有$x$名学生参加，则学校需要收取的辅导费用总额为$y=50x$。

（4）为了弥补辅导班的成本，学校希望至少有20名学生参加，即$x\geq20$。

（5）求$y$关于$x$的导数$y'$，并找出$y'$的零点，以确定利润最大时的辅导费用总额$y$。

（6）分析$y'$的符号变化，确定学校利润最大时的辅导费用总额$y$。

七、应用题

1.应用题：某商品的原价为$200$元，商家为了促销，决定采取先打$8$折，然后在此基础上再打$5$折的优惠方式。求顾客最终购买该商品的实际支付价格。

2.应用题：一个等差数列的前$3$项分别为$2$，$5$，$8$，求该数列的第$10$项和前$10$项的和。

3.应用题：在直角坐标系中，点$A(3,4)$和点$B(-2,1)$，求直线$AB$的方程，并计算点$C(0,-1)$到直线$AB$的距离。

4.应用题：一个等比数列的第一项$a_1=3$，公比$q=2$，求该数列的前$5$项和，并计算从第$4$项开始，每项与前一项的比值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.C

2.B

3.B

4.B

5.C

6.A

7.A

8.B

9.A

10.C

二、判断题

1.正确

2.错误

3.错误

4.正确

5.正确

三、填空题

1.27

2.$(2,0)$，$(0,1)$

3.$\frac{\sqrt{7}}{2}$

4.1

5.$8\sqrt{2}$

四、简答题

1.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减，在$(-\infty,0)$上单调递增。图像位于第一、二、三、四象限。

2.通项公式：$a_n=2n+1$，前10项和$S_{10}=110$。

3.斜率$k=-\frac{3}{2}$，截距$b=2$，方程$2x+3y-6=0$。点$C$到直线$AB$的距离为$\frac{|6-3-2|}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$。

4.导数$f'(x)=3x^2-6x+2$。函数在$x=1$处取得极小值，在$x=\frac{2}{3}$处取得极大值。

5.前$n$项和$S_n=\frac{4(1-3^n)}{1-3}=\frac{4(3^n-1)}{2}$，当$n$趋于无穷大时，$S_n$的极限值为$2$。

五、计算题

1.$\int_0^1(2x^3-3x^2+4)dx=\left[\frac{1}{2}x^4-x^3+4x\right]_0^1=\frac{1}{2}-1+4=\frac{7}{2}$

2.$\int_1^3(x^2-4x+3)dx=\left[\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x\right]_1^3=\frac{27}{3}-18+9-\frac{1}{3}+2-3=\frac{10}{3}$

3.圆心到直线的距离$d=\frac{|2\cdot0+3\cdot0-6|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{6}{\sqrt{13}}$

4.$(1+i)^5=(1+i)(1+i)^4=(1+i)(1+4i-6-4i^2)=(1+i)(7+4i)=7+4i+7i-4=3+11i$

5.第10项$a_{10}=2+9d=2+9(10-2)=80$，前10项和$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=10(2+80)=420$

七、应用题

1.实际支付价格$=200\times0.8\times0.5=80$元。

2.第10项$a_{10}=2+9(5-2)=2+9=11$，前10项和$S_{10}=\frac{10(2+11)}