陕西西安市碑林区西北工业大学附属中学2020-2021学年八下期中试卷（解析版）

2020-2021学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题1.下列各式属于因式分解的是（）A.3abc3＝3c•abc2 B.6x2+9x+3＝3（2x2+3x）C.x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 D.4t2﹣9＝（2t+3）（2t﹣3）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．【详解】解：A．从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．等式的两边不相等，即从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从等式左边到右边变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从等式左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的定义，理解定义是解题的关键．2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可.【详解】A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；C不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；D不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；故选B．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握其定义即可快速判断出来.3.将﹣a2b﹣ab2提公因式﹣ab后，另一个因式是（）A.a+2b B.﹣a+2b C.﹣a﹣b D.a﹣2b【答案】A【解析】【分析】首先提取公因式﹣ab，可得﹣ab（a+2b），从而可得答案．【详解】解：﹣a2b﹣ab2＝﹣ab（a+2b），﹣a2b﹣ab2提公因式﹣ab后，另一个因式是a+2b，故选：A．【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数．4.如果（m+3）x＜2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（）A.m＞0 B.m＜﹣3C.m＞﹣3 D.m是任意实数【答案】C【解析】【分析】由原不等式变形为（m+3）x<2（m+3），解该不等式的下一步是两边都除以x的系数（m+3），题中给出的解集是x＜2，据此可以求得m的取值范围．【详解】解：由不等式（m+3）x＜2m+6，得（m+3）x＜2（m+3），∵（m+3）x＜2m+6的解集为x＜2，∴m+3＞0，解得，m＞﹣3；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（）A.5 B.7.5 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】如图：连接AO，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图：连接AO∵在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，∴三角形ABC的面积＝△ABO的面积+△ACO的面积＝＝＝＝15，解得：OE+OF＝5，故选A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握运用三角形面积的方法是解答本题的关键．6.如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（）A.﹣2＜x＜﹣1 B.﹣1＜x＜0 C.x＜﹣1 D.x＞﹣1【答案】A【解析】【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可．【详解】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；当x＜﹣1时，kx+b＜mx，所以不等式组0＜kx+b＜mx解集为﹣2＜x＜﹣1．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．7.关于的分式方程有增根，则的值是（）A.1 B.2 C.4 D.1或4【答案】C【解析】【分析】增根是指代入分式方程后分母的值为0的根，因此可将原方程去分母，然后将增根代入求a的值．【详解】解：去分母，得ax=4+x-1，∵方程有增根，所以x-1=0，∴x=1是方程的增根，将x=1代入上式，a=4+1-1，∴a=4，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，正确理解分式方程增根的含义是解题的关键．8.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A＝（）度．A.30 B.36 C.45 D.50【答案】C【解析】【分析】设∠ABD＝x，则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和来∠A，∠C，∠ABC．最后利用三角形的内角和求出2x，就可得到∠A．【详解】解：设∠ABD＝x，∵DE＝BE，∴∠EBD=∠EDB=x∴∠AED＝∠EBD+∠EDB=x+x=2x，又∵AD＝DE，∴∠A＝∠AED＝2x，∴∠BDC＝x+2x＝3x，而BC＝BD，则∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴2x+3x+3x＝180°，∴2x＝45°∴∠A＝2x＝45°．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；学会运用代数法解决几何计算问题，这是一种非常重要的方法，要熟练掌握．9.已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（）A.6 B.9 C.6或9 D.无法确定【答案】B【解析】【分析】根据配方法可求出a与b的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，解得a＝1，b＝4，∵3＜c＜5，∵△ABC是等腰三角形，∴c＝4．故△ABC的周长为：1+4+4＝9．故选：B．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是熟练运用配方法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．10.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，若C点恰好落在DE上，且CE＝，CD＝，则AB等于（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接BE，先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，再由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由此可得BE⊥CE，在Rt△BEC中，由勾股定理可得2AB2＝CD2+CE2，从而可求得AB的长．【详解】如图，连接BE，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE＝3，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，∴2AB2＝CD2+CE2＝（3）2+（）2＝20，∴AB＝．故选：D．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，关键是证得△ACD≌△ABE，得出BE⊥CE．二、填空题11.不等式4x﹣7＜5（x﹣1）的解集是_____．【答案】x＞-2【解析】【分析】根据不等式的基本性质:先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，进行求解即可.【详解】解:4x﹣7＜5（x﹣1），去括号得：4x-7＜5x-5，移项得:4x-5x＜-5+7，合并同类项得:-x＜2，系数化为1得:x＞-2，故答案为:x＞-2.【点睛】本题主要考查解不等式，解决本题的关键是要熟练掌握不等式的基本性质和解不等式的步骤.12.若分式的值为0，则x的值为____．【答案】﹣1【解析】【分析】根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可．【详解】根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1＝(x﹣1)2≠0，解得x＝﹣1，故答案：﹣1．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．13.如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至，则a＋b的值为__________．【答案】2【解析】【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解．【详解】，∴是点A向右平移2-（-1）＝3个单位得到；，∴点B＇是点B向下平移2-1＝1个单位得到；∴线段A＇B＇是线段AB先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，故a=0-1=-1，b=0+3=3，∴a+b=-1+3=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键．14.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．【答案】16【解析】【分析】设购买篮球x个，则购买足球个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．【详解】设购买篮球x个，则购买足球个，根据题意得：，解得：．为整数，最大值为16．故答案为16．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．15.若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_______．【答案】．【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组解集为，∵不等式组只有两个整数解，∴，解得：，故答案为．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中．16.如图，在长方形ABCD中，点E为边AD上的一点，连接BE，CE．点O为△BEC三边垂直平分线的交点，若AE＝4，DE＝2，∠BEC＝60°，则长方形ABCD的面积为_____．【答案】【解析】【分析】过O作OF⊥BC，交BC于F，并反向延长交AD于G，根据等腰三角形的性质求出∠BOC＝120°，再根据矩形性质求出BF＝3，OF＝，求出OB＝OF＝2，GE＝1，在Rt△OEG中，由勾股定理求出OG，从而求出GF，再根据矩形面积公式求出矩形面积．【详解】解：过O作OF⊥BC，交BC于F，并反向延长交AD于G，∵点O为△BEC三边垂直平分线的交点，∴OB＝OE＝OC，，，，，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BF＝CF＝BC＝AD＝（AE+ED）＝（4+2）＝3，设，则，，即，∴，即OF＝，则OB＝OE＝2，∵GE＝GD﹣ED＝3﹣2＝1，则OG＝＝＝，∴GF＝GO+OF＝，则长方形ABCD的面积为：6×（）＝6（）．故答案为：6（）．【点睛】本题考查了，勾股定理，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分52分）17.（1）因式分解：﹣x3+2x2y﹣xy2；（2）解方程：．【答案】（1）﹣x（x﹣y）2；（2）原方程无解【解析】【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）方程两边都乘以3（x﹣2）得出15x﹣12＝4x+10﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：（1）原式＝﹣x（x2﹣2xy+y2）＝﹣x（x﹣y）2；（2）原方程化为：＝﹣1，方程两边都乘以3（x﹣2）得：15x﹣12＝4x+10﹣3（x﹣2），解得：x＝2，检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝0，所以x＝2是增根，即原方程无解．【点睛】本题考查了综合提公因式法与公式法因式分解，解分式方程，熟练运用因式分解是解题的关键．18.如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）【答案】详见解析【解析】【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．【详解】解：如图，点P即为所求．作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．19.先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．【答案】，-1【解析】【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，求出x的值，最后求出答案即可．【详解】＝＝＝﹣，满足﹣＜x＜的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，∵x2﹣4≠0，x+1≠0，∴x不能为2，﹣2，﹣1，取x＝0，当x＝0时，原式＝﹣＝﹣1．【点睛】本题属于分式的化简求值问题，考查了分式的混合运算，无理数的估算，分式的混合运算要注意运算顺序；最后求值时，所选取的整数x的值要使原分式有意义．20.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【详解】试题分析：（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB；

（2）设CF=x，则AE=12-x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论．试题解析：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，

∴DE=DC．

在△CDF与△EDB中，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），

∴CF=EB．

（2）解：设CF=x，则AE=12-x，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴CD=DE．

在△ACD与△AED中，∴△ACD≌△AED（HL），

∴AC=AE，即8+x=12-x，

解得x=2，即CF=2．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．21.某商场在五四青年节来临之际用2400元购进A，B两种运动衫共22件．已知购买A种运动衫与购买B种运动衫的费用相同，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．（1）求A，B两种运动衫的单价各是多少元？（2）若计划用不超过5600元的资金再次购进A，B两种运动衫共50件，已知A，B两种运动衫的进价不变．求A种运动衫最多能购进多少件？【答案】（1）A种运动衫单价为120元/件，B种运动衫单价为100元/件；（2）30件【解析】【分析】（1）设B种运动衫单价为x元/件，则A种运动衫单价为1.2x元/件，根据数量＝总价÷单价结合用2400元购进A、B两种运动衫共22件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结果；（2）设购进A种运动衫m件，则购进B种运动衫（50﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不超过5600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结果．【详解】解：（1）设B种运动衫单价为x元/件，则A种运动衫单价为1.2x元/件，由题意得：，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝120，∴A种运动衫单价为120元/件，B种运动衫单价为100元/件；答：A种运动衫单价为120元/件，B种运动衫单价为100元/件．（2）设购进A种运动衫m件，则购进B种运动衫（50﹣m）件，由题意得：120m+100（50﹣m）≤5600，解得：m≤30．答：A种运动衫最多能购进30件．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用等知识；解题的关键是（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）求△AOB的面积．（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得直线AB的解析式，进而即可求得A、B的坐标，根据三角形面积公式求得即可；（2）过点C作CD⊥y轴于D，通过证得△AOB≌△BDC，即可求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式．【详解】（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，∴y＝2x+1，令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝1，∴A，B（0，1），∴OA＝，OB＝1∴△AOB的面积＝＝；（2）过点C作CD⊥y轴于D，如图，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C，设直线l的解析式为y＝mx+n，把A，C代入得，解得，∴直线l的解析式为．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，图形的面积等知识，本题的关键是过点C作y轴的垂线，得到两个全等的三角形．23.（1）如图①，点P为直线l上一个动点，点A，B是直线l外同侧两个定点，连接PA，PB，AB．若AB＝2，则PA﹣PB的最大值为．（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，对角线AC⊥BD，垂足为点O，OA＝2OC，点E为OC中点，点F在AB上，且BF＝3AF，点P为BD上一动点，连接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值．（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，点P为平面内一动点，连接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值．【答案