专题07 平面向量与复数-2025年春季高考数学冲刺总复习（江苏专用）

PAGE1专题07平面向量与复数目录TOC\o"1-2"\h\u考情解读 1知识梳理 1考点精讲 5考点一：平面向量的线性运算 5考点二：平面向量的数量积运算 8考点三：平面向量的坐标运算 12考点四：复数的概念与几何意义 14考点五：复数的运算 16实战训练 19明晰学考要求平面向量问题主要包括三个方面：线性运算、数量积运算、坐标运算，主要考查数学运算素养；对于复数问题，主要考查基本概念和复数代数形式的四则运算.基础知识梳理1、平面向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量不能比较大小.（2）向量可以用有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))来表示.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).（3）常用概念辨析向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b相反向量与向量a长度相等，方向相反的向量，记作－a.①单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.③零向量的相反向量仍是零向量.2、平面向量的线性运算（1）加法的三角形法则：如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).（2）加法的平行四边形法则：如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq\o(OC,\s\up6(→))(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.（3）向量的减法：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.（4）向量的数乘：①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|.若，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.当时，.②数乘运算的运算律设λ，μ为实数，则有：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb，λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.③若λa＝0，则λ＝0或a＝0；当a≠0时，向量eq\f(a,|a|)是与向量a同向的单位向量.3、向量的数量积（1）平面向量的夹角①定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.②特例：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.（2）平面向量数量积①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.②向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos__θ.a⊥b⇔a·b＝0.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立).cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).（3）投影的概念设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则a在b上的投影向量eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cos__θ__e.（4）向量数量积的运算律a·b＝b·a(交换律)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)，(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).①a·b＝b·c推不出a＝c；②(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量.4、共线向量定理与共面向量基本定理（1）向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.（2）平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底5、向量的坐标表示（1）向量的坐标：在平面直角坐标系中，以原点O为起点作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标.（2）加减运算的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2).（3）数乘运算的坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy).（4）数量积的坐标表示：两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.（5）向量共线、垂直的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是的充要条件是x1y2－x2y1＝0.设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.（6）夹角、模的坐标表示：若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，|a|＝eq\r(x2＋y2)；两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)；两向量夹角的余弦公式：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).6、复数的概念（1）复数的代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.①i2＝－1，②a，b∈R.（2）复数的分类：设复数z＝a＋bi(a，b∈R).①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.（3）复平面中的x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.（5）复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).（6）共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.7、复数的运算（1）加减运算①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)±(c＋di)＝(a＋c)±(b＋d)i；②运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).（2）乘除运算：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.考点精讲讲练考点一：平面向量的线性运算【典型例题】例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，，D正确，得到答案.【详解】对选项A：，错误；对选项B：，错误；对选项C：，错误；对选项D：，正确.故选：D例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在中，已知为的中点，为的中点，则为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：B例题3．在中，为的中点，为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法、减法和数乘运算表示所求向量即可.【详解】因为为中点，为中点，所以.故选：B.用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.【即时演练】1．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量线性运算化简求解即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B2.如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可.【详解】因为四边形是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，，，故C对D错；因为向量方向不同，所以，，故AB错误.故选：C3.如图，在矩形中，（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得.【详解】在矩形中，.故选：B.考点二：平面向量的数量积运算【典型例题】例题1．（2024江苏省扬州市学业水平考试模拟）已知，且，则等于（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】根据向量垂直得出其数量积为0，即可根据向量的模长求法得出答案.【详解】，，，故选：A.例题2.（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在平行四边形中，是线段的中点，则（

）A．1 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.【详解】.故选：A例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）如图，在边长为3的正中，D，E分别在AC，AB上，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合平面向量的线性运算得到，进而根据平面向量的数量积的定义即可求出结果.【详解】因为，所以又因为正边长为3，所以，，故故选：C.任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cosθe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).【即时演练】1.如图，是边长为2的等边三角形，则（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可.【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以，所以.故选：C2.已知向量满足，，则（）A． B．6 C． D．5【答案】C【分析】利用平面向量数量积的运算律计算即得.【详解】向量满足，，所以.故选：C3．在边长为3的菱形ABCD中，，，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量数量积的运算性质、定义，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】因为，，菱形ABDC边长为3，，所以，故选：C.考点三：平面向量的坐标运算【典型例题】例题1．（2024高二·江苏·学业考试）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的基本定理可得出结论.【详解】由，得，对于A：，故A项正确；对于B：设，即，无解，故B项错误；对于C：设，即，无解，故C项错误；对于D：设，即，无解，故D项错误；故选：A.例题2.（2024江苏省扬州市学业水平考试模拟）已知，，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可得解.【详解】因为，，，所以，解得.故选：C.例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知向量，则实数（

）A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案.【详解】由已知向量，可得，由可得，即，解得，故选：D例题4．（江苏省徐州市2024届高三上学期合格考试学情调研）已知向量．若，则实数（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求出，再利用平行关系即可求出.【详解】由题，因为，所以.故选：A．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.【即时演练】1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知，若，则实数x=（

）A．8 B．-2 C．2 D．-8【答案】D【分析】根据平面向量垂直的充要条件即可求解.【详解】因为，且，所以，解得：，故选：.2.若向量，则的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量线性运算得坐标公式计算即可.【详解】因为，所以.故选：D.3．已知，若，则的值为（

）A．−2 B． C． D．【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案.【详解】由题意知，，故，所以，故选：D考点四：复数的概念与几何意义【典型例题】例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据题意，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（

）A．3 B．4 C． D．10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为，所以.故选：C.例题3．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知复数（是虚数单位），则为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据复数模长公式求出答案.【详解】.故选：A例题4．（江苏省南京市金陵中学2022届高三学业水平选择性模拟考前最后一卷）已知复数满足，复数（为虚数单位），则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值.【详解】由已知，由复数模的三角不等式可得.故选：D.求解复数问题，需把复数化成a＋bi(a，b∈R)的形式.【即时演练】1．复数（为虚数单位）的模为（

）A．3 B．5 C．4 D．7【答案】B【分析】根据复数的模的计算公式计算即可.【详解】.故选：B.2.已知复数，则的虚部为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为复数，所以的虚部为.故选：D.3．在复平面内，对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.【详解】，对应的点，位于第二象限.故选：B考点五：复数的运算【典型例题】例题1．（2023江苏省徐州市高三上学期学业合格模拟考试）复数（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的四则运算，即可化简，求得答案.【详解】由复数四则运算规律知，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】设出复数的代数形式，利用复数的除法运算求出即可判断得解.【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设，则，显然，所以点在第一象限，A正确.故选：A.例题3．已知复数（为虚数单位），则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用求出模长.【详解】.故选：A.注意常用的一些计算结论：eq\f(1,i)＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，eq\f(a＋bi,b－ai)＝i等.【即时演练】1．已知复数，则的虚部是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】利用复数的除法求出复数，可得复数的虚部.【详解】复数，则的虚部是2.故选：C.2.i为虚数单位，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据复数的除法运算及复数的模求解.【详解】因为，所以，即，所以，故选：A3．复数满足，则（

）A． B． C． D．i【答案】D【分析】根据复数除法运算求得正确答案.【详解】由于，所以.故选：D实战能考点精讲讲练力训练1.如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行向量的定义判断即可.【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.由图可知，与方向相反，因此是平行向量.故选：C.2.已知为虚数单位，设复数，则（

）A．1 B．4 C． D．【答案】B【分析】应用复数的加法计算即可.【详解】因为，所以.故选：B.3.已知向量，则（

）A．2 B． C．10 D．【答案】A【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】由题意知，.故选：A.4.若，，（

）A．10 B． C． D．【答案】B【分析】先求得，进而可得模长.【详解】因为，，则，所以.故选：B.5.已知