北京市海淀区2024-2025学年上学期高三期末练习数学含答案

2025年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A B.C. D.2.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.3.若复数满足，则（）A. B. C. D.4.抛物线的焦点为，点在上，则（）A. B. C. D.5.已知直线与圆交于两点，则（）A. B. C. D.6.已知等差数列的前项和为，，则（）A. B. C. D.7.已知椭圆的焦点在轴上，点，则（）A.在外 B.的长轴长为C.在内 D.的焦距为8.设函数，则“”是“没有极值点”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（）A.平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形B.存在点，使得直线与平面垂直C.平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等D.点到平面的距离不超过10.2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加.记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）.已知，，则最大时，的值为（）（参考数据：，）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.双曲线的渐近线方程为__________．12.已知向量，，则_________，的最小值为_________.13.已知为等腰三角形，且，则_________.14.已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.15.已知曲线.给出下列四个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；④曲线所围成区域的面积大于.其中，所有正确结论序号为_________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；（2）若在区间上的最大值为，求的值.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.（1）求证：是的中点；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.条件①：平面平面；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试.选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112（1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；（2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分；当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分.①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩9.7588757.565.755.75排名12244677原始成绩54.754.54.542543.753.5排名910111113141516对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分.现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.19.已知椭圆的左顶点为，离心率.（1）求的标准方程；（2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为.当与不重合时，求证：.20.已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若在区间上单调递减，求取值范围；（3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，）21.已知为各项均为整数的无穷递增数列，且.对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或.（1）若，，写出的所有可能值；（2）若.①当时，求的最大值；②当时，求的最小值.2025年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解即得.【详解】集合，而，所以.故选：B2.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理求出项即可得该项系数.【详解】二项式的展开式中，含的项为，所以的系数为.故选：A3.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数模及除法运算计算得解.【详解】依题意，.故选：A4.抛物线的焦点为，点在上，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用抛物线定义求得答案.【详解】抛物线的准线方程为，由点在上，得，所以.故选：C5.已知直线与圆交于两点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由勾股定理计算可得.【详解】圆的圆心为，半径，直线，即，所以圆心到直线的距离，所以.故选：B6.已知等差数列的前项和为，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及前项和公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.故选：B7.已知椭圆的焦点在轴上，点，则（）A.在外 B.的长轴长为C.在内 D.的焦距为【答案】A【解析】【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，则的长轴长为，焦距为，故B、D错误；因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误.故选：A8.设函数，则“”是“没有极值点”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解.详解】函数，求导得，当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点；若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得，所以“”是“没有极值点”的充分必要条件.故选：C9.如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（）A.平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形B.存在点，使得直线与平面垂直C.平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等D.点到平面的距离不超过【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABD；利用过正方体中心的截面分正方体所成两部分体积关系判断C.【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，对于A，，即，而直线，则，又，因此四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，当点与重合时，平面截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，A正确；对于B，，，即与不垂直，而平面，因此直线与平面不垂直，B错误；对于C，线段的中点为正方体的中心，平面过该正方体的中心，由对称性，平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确；对于D，当点时，，，则，即，，平面，于是平面，此时点到该正方体中心的距离即为点到平面的距离，是点到过的所有截面距离最大值，因此点到平面的距离不超过，D正确.故选：B10.2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加.记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）.已知，，则最大时，的值为（）（参考数据：，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列求出，及，再构造数列并判断单调性得解.【详解】依题意，，，则，令，则，，因此当时，；当时，，即最大，所以当最大时，.故选：B【点睛】思路点睛：求出的表达式，再构造数列作差判断单调性求出最大值点.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】【分析】先把双曲线化简成标准方程，直接得出渐近线方程.【详解】由得所以渐近线方程为故答案为.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.12.已知向量，，则_________，的最小值为_________.【答案】①.0,1②.【解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出，从而求出，再根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因，,所以，则，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：；13.已知为等腰三角形，且，则_________.【答案】##0.75【解析】【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出.【详解】在中，令内角所对边分别为，由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形，由余弦定理得.故答案为：14.已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】当时，在上单调递增，且当时，显然不存在最小值，故舍去；当时，，则当时，所以的最小值为，符合题意；当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，，当时，则在上单调递减，要使函数存在最小值，则，解得，此时；综上可得的取值范围是.故答案为：15.已知曲线.给出下列四个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；④曲线所围成区域的面积大于.其中，所有正确结论的序号为_________.【答案】②④【解析】【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线为封闭曲线，过点，关于轴对称，画出曲线大致图形，结合圆、四边形在曲线内部判断各项的正误.【详解】由，则且，易知曲线为封闭曲线，所以，易得，故，时；时；时，故曲线过点，显然不关于直线对称，①错；对于曲线上任意点，其关于轴对称点为，则，故曲线关于轴对称，综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线上恰好有个整点，②对；由圆过点，故圆上点均在曲线上或内，所以曲线上不存在点，使得到点的距离小于，③错；如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，④对.故答案为：②④【点睛】关键点点睛：根据曲线方程分析出曲线的相关性质，并画出大致图形为关键.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；（2）若在区间上的最大值为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再求出函数图象的对称轴方程即可.（2）分析函数在的性质，确定最大值点，再结合函数值求出.【小问1详解】函数由，解得所以曲线的两条对称轴之间的距离最小值为．【小问2详解】当时，，由在区间上的最大值为，得，而正弦函数在上单调递减，则在上单调递减，因此，，解得，所以的值是.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.（1）求证：是的中点；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角余弦值.条件①：平面平面；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析；（2）所选条件见解析，.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，线面平行的性质有，结合得到为平行四边形，即可证结论；（2）根据所选条件，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】取的中点，连接，又是的中点，则且，由在棱上，底面为矩形，则，故，由平面，且面面，则，所以为平行四边形，故，所以是的中点，得证；【小问2详解】选①：面面，面面，，面，所以面，又底面为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，所以，设面的一个法向量为，则，令，则，显然面的一个法向量为，故，所以平面与平面夹角的余弦值；选②：连接，底面为矩形，则，而，，所以，即，又，都在面内，所以面，又底面为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，所以，设面的一个法向量为，则，令，则，显然面的一个法向量为，故，所以平面与平面夹角的余弦值；18.某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试.选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112（1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；（2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分；当时，赋分成绩70分；当时，赋分成绩为60分.①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩9.75887.57.565.755.75排名12244677原始成绩54.754.54.54.2543.753.5排名910111113141516对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分.现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.【答案】（1）；（2）①分布列见解析，数学期望为185；②.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算.（2）①根据表格中数据，原始成绩不低于的学生赋分成绩，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望北比较大小.【小问1详解】设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件，依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，由古典概型，得.【小问2详解】①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于的学生共有6人，赋分依次为100，100，100，85，85，85，则的所有可能值为170，185，200，，所以的分布列如下：170185200.②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60，对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60，因此，；，，所以.19.已知椭圆的左顶点为，离心率.（1）求的标准方程；（2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为.当与不重合时，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率及左顶点，求出、，即可得解；（2）设，，则，从而得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求出，即可得到，得到，即可得证.【小问1详解】依题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，，则，，得直线的斜率.由得直线的斜率.由经过点得直线的方程.由，得，由韦达定理得.所以.因为，，由于不重合，所以，所以所以.因为两条直线不重合，所以.20.已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若在区间上单调递减，求的取值范围；（3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，）【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域；（2）对函数求导，根据题设有在上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参数范围.（3）应用导数分别求在、上的最值，进而得到、，即可证结论.【小问1详解】由题设，则，故定义域为.【小问2详解】由，则必有，且，由在区间上单调递减，则在上恒成立，令且，则，在上，则单调递增，故，所以.【小问3详解】当，则，且，设，则，当，则，当，则，所以在上单调递增，在上