2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.3.1诱导公式二三四课时作业含解析新人教A版必修4

课时作业6诱导公式二、三、四——基础巩固类——一、选择题1．已知角θ的终边与单位圆相交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，则cos(π－θ)等于(C)A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)解析：cosθ＝－eq\f(\r(5),5)，cos(π－θ)＝－cosθ＝eq\f(\r(5),5).故选C.2．已知sin(π－α)＝eq\f(1,3)，则sin(α－2017π)的值为(D)A.eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：sin(α－2017π)＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－eq\f(1,3).3．已知sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(3),2)，则sin(eq\f(5π,4)－α)的值为(C)A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：sin(eq\f(5π,4)－α)＝sin[π－(α－eq\f(π,4))]＝sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(3),2).4．化简：eq\r(1＋2sinπ－2·cosπ－2)得(C)A．sin2＋cos2 B．cos2－sin2C．sin2－cos2 D．±(cos2－sin2)解析：eq\r(1＋2sinπ－2·cosπ－2)＝eq\r(1－2sin2cos2)＝eq\r(sin2－cos22)＝|sin2－cos2|，因2弧度在其次象限，故sin2>0>cos2，所以原式＝sin2－cos2.5．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(C)A．sinα＝sinβB．sin(α－2π)＝sinβC．cosα＝cosβD．cos(2π－α)＝－cosβ解析：由α和β的终边关于x轴对称，故β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cosα＝cosβ.6．a＝sineq\f(2π,5)，b＝coseq\f(5π,6)，c＝taneq\f(7π,5)，则a，b，c的大小关系是(B)A．a>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．a>c>b解析：a＝sineq\f(2π,5)>0，b＝coseq\f(5π,6)<0，c＝taneq\f(7π,5)＝taneq\f(2π,5)>sineq\f(2π,5)，所以a，b，c的大小关系是c>a>b.故选B.二、填空题7．已知sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，且sinαcosα<0，则eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝－eq\f(7,3).解析：因为sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(4,5)，且sinαcosα<0，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3)，所以eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝eq\f(－2sinα－3tanα,－4cosα)＝eq\f(\f(8,5)＋4,－4×\f(3,5))＝－eq\f(7,3).8．设tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)＝eq\f(m＋1,m－1).解析：∵tan(5π＋α)＝tanα＝m，∴原式＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(－tanα－1,－tanα＋1)＝eq\f(－m－1,－m＋1)＝eq\f(m＋1,m－1).9．已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，则sin(105°＋α)＝eq\f(2\r(2),3).解析：因为α是第四象限角且cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)<0，所以α－75°是第三象限角，所以sin(α－75°)＝－eq\f(2\r(2),3)，所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).三、解答题10．计算下列各式的值：(1)sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°；(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos30°sin210°＋tan(180°－45°)＝sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin(180°＋45°)·cos(180°＋30°)＋cos30°·sin(180°＋30°)－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°sin30°－tan45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)－1＝eq\f(\r(6)－\r(3)－4,4).(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.11．已知tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，求下列各式的值．(1)eq\f(2cosπ－α－3sinπ＋α,4cosα－2π＋sin4π－α.)(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．解：tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则tanα＝－eq\f(1,2)，(1)原式＝eq\f(－2cosα－3－sinα,4cosα＋sin－α)＝eq\f(－2cosα＋3sinα,4cosα－sinα)＝eq\f(－2＋3tanα,4－tanα)＝eq\f(－2＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝－eq\f(7,9).(2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋α＋π)＝sin(α－π)·cos(α＋π)＝－sinα(－cosα)＝sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(2,5).——实力提升类——12．若cos(－100°)＝a，则tan80°等于(A)A．－eq\f(\r(1－a2),a) B.eq\f(\r(1－a2),a)C．－eq\f(\r(1＋a2),a) D.eq\f(\r(1＋a2),a)解析：cos(－100°)＝cos100°＝cos(180°－80°)＝－cos80°＝a，∴cos80°＝－a.又sin280°＋cos280°＝1，sin80°>0，∴sin80°＝eq\r(1－cos280°)＝eq\r(1－－a2)＝eq\r(1－a2)，故tan80°＝eq\f(sin80°,cos80°)＝－eq\f(\r(1－a2),a).13．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝(A)A.eq\f(m2－1,2) B.eq\f(m2＋1,2)C.eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)解析：∵sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα，∴sinα＋cosα＝m，又∵sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝－sinα·(－cosα)＝sinα·cosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)，∴sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝eq\f(m2－1,2)，选A.14．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满意f(2010)＝2，则f(2013)＝－2.解析：∵f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝2，∴f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＝－asinα＋(－bcosβ)＝－2.15．已知f(x)＝eq\f(cos2nπ＋x·sin2nπ－x,cos2[2n＋1π－x])(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式．(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2013)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2014π,2013)))的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝eq\f(cos22kπ＋x·sin22kπ－x,cos2[2×2k＋1π－x])＝eq\f(cos2x·sin2－x,cos2π－x)＝eq\f(cos2x·－sinx2,－cosx2)＝sin2x，当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时f(x)＝eq\f(cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x],cos2{[2×2k＋1＋1]π－x})＝eq\f(cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x],cos2[2×2k＋1π＋π－x])＝eq\f(cos2π＋x·sin2π－x,cos2π－x)＝eq\f(－cosx2·sin2x,－cosx2)＝sin2x，综上，所以f(x)＝sin2x.(2)由(1)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2013)))－feq\b\lc\