2025年外研版2024高三数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高三数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若函数f（x）=（k2+1）lnx-x2在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A.[-1，1]B.[-，]C.（-∞，-1]∪[1，+∞）D.（-∞，-]∪[，+∞）2、已知x；y的取值如表：

。x0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出x与y线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a=（）A.3.2B.3.0C.2.8D.2.63、若x＞1，则有（）A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-14、已知△ABC中，O为外心，H为垂心，，，则S△AOB：S△BOC：S△AOC=（）A.B.C.D.5、直线绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线与圆（x-2）2+y2=3的位置关系是（）A.相切B.相交但不过圆心C.相离D.相交且过圆心6、【题文】已知向量若则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7、记M

的最大值和最小值分别为Mmax

和Mmin.

若平面向量a鈫�b鈫�c鈫�

满足|a鈫�|=|b鈫�|=a鈫�?b鈫�=c鈫�?(a鈫�+2b鈫�鈭�2c鈫�)=2.

则(

)

A.|a鈫�鈭�c鈫�|max=3+72

B.|a鈫�+c鈫�|max=3鈭�72

C.|a鈫�鈭�c鈫�|min=隆脤3+72

D.|a鈫�+c鈫�|min=3鈭�72

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、已知函数f（x）=|x-k|+|x-2k|（k＞0），若当3≤x≤4时，f（x）能取到最小值，则实数k的取值范围是____．9、已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为____．10、在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1：ρ=4sinθ，直线C2：=-2，则直线C2截圆C1所得的弦长为____．11、下列抽样：①一个总体中共有100个个体，随机编号0，1，2，3，，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，，10．现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同；②厂里生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5分钟抽一件产品进行检验；③某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止；④影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座号为12的观众留下来座谈．上述抽样中是系统抽样的是____．（请把符合条件的序号填到横线上）12、设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围是________．13、若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足则称a、b、c是调和的；若满a+c=2b足，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”.若集合集合则（1）“好集”P中的元素最大值为；（2）“好集”P的个数为.14、如图，在△中，已知则．评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．19、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）20、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）评卷人得分四、证明题(共1题，共10分)21、证明：f（x）=x+在在区间（-∞，-1）上单调递增．评卷人得分五、解答题(共4题，共20分)22、已知曲线与在第一象限内的交点为P．

（1）求过点P且与曲线C1相切的直线方程l；

（2）求l与曲线C2所围图形的面积S．23、已知中心在原点的椭圆的一个焦点F1（0，-2），又过点（-1，0），且离心率e满足，e，成等比数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-平分？若存在，求出l的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由．24、【题文】已知C为正实数,数列由确定.

(Ⅰ)对于一切的证明：

(Ⅱ)若是满足的正实数,且

证明：25、椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与它的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y=0与以椭圆C的右顶点为圆心，以2b为半径的圆相交所得的弦长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设过椭圆C右焦点F2的直线l与椭圆交于点P、Q，若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．评卷人得分六、作图题(共4题，共32分)26、某飞机通过雷达发现在其下方500m空域，北偏东60°方位，距离3000m处有另一架飞机正在飞行．试用向量画出两架飞机的相对位置．27、（2014秋•烟台期中）已知函数C1：y=logax，C2=y=logbx，C3：y=logcx，C4：y=logdx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，其中a、b、c、d均为不等于1的整数，则a、b、c、d、1按从大到小的顺序为____（用“＜”号连接）28、利用平移变换和对称变换作出函数y=-sinx-2的简图．29、画图象并写出定义域；值域，单调性，奇偶性．

（1）y=x2+2；

（2）y=|x-3|；

（2）y=2|x+1|-1；

（4）y=log3|x+2|+2．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【分析】根据f（x）在（1，+∞）上是减函数便得到导数，从而得到k2+1≤2x2，而可求得2x2＞2，从而有k2+1≤2，解该不等式即可得出实数k的取值范围．【解析】【解答】解：f（x）在（1；+∞）上是减函数；

∴；

∴k2+1≤2x2；

∵x∈（1；+∞）；

∴2x2＞2；

∴k2+1≤2；

∴-1≤k≤1；

∴实数k的取值范围是[-1；1]．

故选A．2、D【分析】【分析】由线性回归直线方程中系数的求法，（，）点在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．【解析】【解答】解：∵（，）点在回归直线上；

计算得=（0+1+3+4）=2，=（2.2+4.3+4.8+6.7）=4.5；

∴回归方程过点（2；4.5）

代入得4.5=0.95×2+a

∴a=2.6；

故选：D．3、A【分析】【分析】若x＞1，则=+，利用基本不等式求得它的最小值为1，从而得出结论．【解析】【解答】解：若x＞1，则==+≥2=1，当且仅当=时；取等号．

故有最小值为1；

故选A．4、B【分析】【分析】过点O作垂线OD交BC与点D，并延长使得OE=2OD，根据可得则四边形OAHE为平行四边形，从而可求出OB的长和S△BOC，然后根据，两边平方可求出∠AOC，从而可求出S△AOC，根据∠AOB=360°-∠BOC-∠AOC，可求出S△AOB，即可求出所求．【解析】【解答】解：过点O作垂线OD交BC与点D；并延长使得OE=2OD

∵；

∴则四边形OAHE为平行四边形

则AH=OE=1即OD=OE=

∵BC=

∴S△BOC=××=

∵OD=，BD=

∴OA=OB=OC=1

∵；

∴

则即2=1+1+2cos∠AOC

∴∠AOC=90°

而S△BOC==sin∠BOC

则∠BOC=120°；∠AOB=360°-90°-120°=150°

∴S△AOB=sin∠AOB=×=

S△AOC=sin∠AOC=×1=

∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=：：=1：：2

故选B．5、A【分析】【分析】先求出所得直线方程，再计算圆心到所得直线的距离，将此距离与圆的半径比较．【解析】【解答】解：直线斜率为-，倾斜角1500；绕原点按顺时针方向旋转30°后；

得到的直线倾斜角1200，斜率为-，∴所得直线方程为：y=-x，即x+y=0；

圆心到所得直线的距离为：==半径；

所得直线与圆（x-2）2+y2=3的位置关系是相切．

故选A．6、D【分析】【解析】对于则实数的取值范围是【解析】【答案】D7、A【分析】解：平面向量a鈫�b鈫�c鈫�

满足|a鈫�|=|b鈫�|=a鈫�?b鈫�=c鈫�?(a鈫�+2b鈫�鈭�2c鈫�)=2

由a鈫�?b鈫�=2隆脕2cos<a鈫�b鈫�>=2

可得cos<a鈫�b鈫�>=12sincos<a鈫�b鈫�>=32

设OA鈫�=a鈫�=(2,0)b鈫�=(1,3)OC鈫�=c鈫�=(x,y)

可得(x,y)?(4鈭�2x,23鈭�2y)=2

即为x(4鈭�2x)+y(23鈭�2y)=2

化为x2+y2鈭�2x鈭�3y+1=0

则C

在以圆心P(1,32)

半径r=32

的圆上运动；

且|a鈫�鈭�c鈫�|

表示点A

与点C

的距离；

显然最大值为|AC|+r=1+34+32=3+72

最小值为|AC|鈭�r=1+34鈭�32=7鈭�32

且|a鈫�+c鈫�|

表示点D(鈭�2,0)

与点C

的距离；

显然最大值为|DC|+r=9+34+32=39+32

最小值为|DC|鈭�r=39鈭�32

．

故选：A

．

由条件可设设OA鈫�=a鈫�=(2,0)b鈫�=(1,3)OC鈫�=c鈫�=(x,y)

由向量的坐标表示可得C

在以圆心P(1,32)

半径r=32

的圆上运动，且|a鈫�鈭�c鈫�|

表示点A

与点C

的距离，且|a鈫�+c鈫�|

表示点D(鈭�2,0)

与点C

的距离，运用最大值为d+r

最小值为d鈭�r

计算可得所求．

本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，以及点和圆的位置关系，考查向量的几何意义，以及运算能力，属于中档题．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】【分析】由绝对值的意义可得当k≤x≤2k时，函数取得最小值为k．而已知当3≤x≤4时，f（x）能取到最小值，故有k≤3＜4≤2k，由此求得k的范围．【解析】【解答】解：根据绝对值的意义；函数f（x）=|x-k|+|x-2k|（k＞0）表示数轴上的x对应点到k；2k对应点的距离之和；

故当k≤x≤2k时；函数取得最小值为k．

而已知当3≤x≤4时；f（x）能取到最小值，故有[3，4]⊆[k，2k]；

∴k≤3；且4≤2k，求得2≤k≤3；

故答案为：[2，3]．9、略

【分析】【分析】延长F2S交F1P的延长线于Q，可证得PQ=PF2，且S是PF2的中点，由此可求得OS的长度是定值，即可求点S的轨迹的几何特征．【解析】【解答】解：由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线；垂足为S；

延长F2S交F1P的延长线于Q，得PQ=PF2；

由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a；

连接OS，知OS是三角形F1F2Q的中位线；

∴OS=a；即点S到原点的距离是定值a，由此知点S的轨迹是。

以原点为圆心；半径等于a的圆．

同理可得；点R的轨迹是以原点为圆心；半径等于a的圆．

故点R，S所形成的图形的面积为πa2．10、略

【分析】【分析】首先把圆和直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步求出圆心到直线的距离，进一步利用勾股定理求出弦长公式．【解析】【解答】解：圆C1的极坐标方程ρ=4sinθ，转化为ρ2=4ρsinθ；

进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=4y；

转化为标准形式：x2+（y-2）2=4；

所以：该圆是以（0；2）为圆心，2为半径的圆．

直线C2：=-2；

转化为：x-y+4=0．

设圆心到直线的距离为d；

则：d=；

则直线C2截圆C1所得的弦长为l=2=2．

故答案为：211、略

【分析】【分析】根据系统抽样的定义进行判断即可．【解析】【解答】解：系统抽样要求样本没有明显差异；样本间隔相同；

则①②④是系统抽样；

③为简单随机抽样；

故答案为：①②④12、略

【分析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力．以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则＝(1,1，－1)，得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于·<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得<λ<1，因此λ的取值范围是(1)．【解析】【答案】(1)13、略

【分析】试题分析：因为若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则且a+c=2b，则故满足条件的“好集”为形如的形式，则解得且符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好集”P的个数为1006个，且P中元素的最大值为2012．考点：推理.【解析】【答案】（1）2012；（2）100614、略

【分析】试题分析：因为所以因此考点：向量表示【解析】【答案】三、判断题(共6题，共12分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．19、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×20、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√四、证明题(共1题，共10分)21、略

【分析】【分析】求导数，证明f′（x）＞0，即可证明结论．【解析】【解答】证明：∵f（x）=x+；

∴f′（x）=1-=；

∵x＜-1；

∴＞0；

∴f′（x）＞0；

∴f（x）=x+在在区间（-∞，-1）上单调递增．五、解答题(共4题，共20分)22、略

【分析】【分析】（1）求出P点坐标；设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标和切线效率，代入点斜式方程；

（2）求出l与C2的交点坐标，使用定积分求出封闭图形的面积．【解析】【解答】解：（1）解方程组得x=y=1；∴P（1，1）．

设f（x）=x2；则f′（x）=2x；

设l与C1的切点为（x0，x02），则切线斜率为k=f′（x0）=2x0；

∴l的方程为，把P（1，1）代入l方程得，x0=1；

∴切线l方程为2x-y-1=0．

（2）解方程组得或．

∴S==（+-）=．23、略

【分析】【分析】（1）利用离心率e满足：，e，成等比数列，可求离心率，结合焦点F1（0，-2）；求出几何量，即可求椭圆方程；

（2）假设存在直线l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论．【解析】【解答】解：（1）依题意，∵，e，成等比数列，∴e=．

又F1（0，-2），c=2；∴a=3；

∴b==1；

∴所求方程为x2+y2=1；（-1，0）满足椭圆方程；

∴所求方程为x2+y2=1．

（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-平分；

∴直线l的斜率存在．

设直线l：y=kx+m；则。

由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2-9=0

∵l与椭圆交于不同的两点M；N；

∴△=4k2m2-4（k2+9）（m2-9）＞0，即m2-k2-9＜0①

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-

∴==-，∴m=②

把②代入①式中得-（k2+9）＜0

∴k＞或k＜-

∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．24、略

【分析】【解析】(I)用数学归纳法证明：第一步：先验证：当n=1时；不等式成立；

第二步：先假设n=k时；结论成立，再证明当n=k+1时，不等式也成立.在证明时，一定要用上n=k时的归纳假设.

(II)解决本小题的关键是根据

从而可得

(Ⅰ)用数学归纳法证明：当时,成立.

假设时结论成立,即则即

∴∴时结论也成立,综上,对一切的成立.(Ⅱ)

∴当时,与矛盾,故∴

==1-

<1【解析】【答案】(Ⅰ)用数学归纳法证明：见解析；.(Ⅱ)见解析。25、略

【分析】

（I）求出圆的方程，利用垂径定理和a，b，c的关系列出方程组解出a，b；

（II）讨论直线l的斜率，根据根与系数的关系和=0解出直线l的斜率k．

本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，根与系数的关系应用，属于中档题．【解析】解：（Ⅰ）以椭圆C的右顶点（a，0）为圆心，以2b为半径的圆的方程为（x-a）2+y2=4b2；

∴圆心（a，0）到直线x+y=0的距离d=

∴+（）2=4b2．

∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与它的一个顶点的连线构成等腰直角三角形；

∴b=c．

又a2=b2+c2；

∴a=b=c=1；

∴椭椭圆C的标准方程为=1．

（Ⅱ）椭圆右焦点F2（1；0）；

（1）若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x=1，∴P（1，），Q（1，-）；

此时∠POQ＜90°；以OP，OQ为