2025年岳麓版高三数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高三数学下册月考试卷522考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、如图，已知四棱锥S-ABCD的侧棱与底面边长都是2，且底面ABCD是正方形，则侧棱与底面所成的角（）A.75°B.60°C.45°D.30°2、有5名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客，那么互不相同的安排方法的种数为（）A.10B.20C.30D.403、tan675°的值为（）A.1B.-1C.D.-4、在平面直角坐标系xOy中，ax+by+c=0与ax2+by2=c所表示的曲线如图所示，则常数a、b、c之间的关系可能是（）A.c＜a＜0且b＞0B.c＜a＜0且b＜0C.a＞c＞0且b＜0D.A或C5、51-log57的值是（）A.-2B.C.-6D.76、=（）

A.1+i

B.-1+i

C.1-i

D.-1-i

7、【题文】下列四个命题中的真命题为（）A.B.C.D.8、【题文】已知函数且满足约束条件

则的最大值为A.B.C.D.9、如图，网格纸上小正方形的边长为1

粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面直角三角形的个数是(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、已知非零向量，满足||=+1，||=-1，其|-|=4，则|+|=____．11、dx=____．12、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC=____，△ABC的面积S=____．13、某校高三第一次模考中，对总分450分（含450分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若650～700分数段的人数为90，则500～550分数段的人数为_________人.14、若函数则．15、【题文】我们把形如的函数因其图像类似于汉字“囧”字；故生动地称为。

“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为16、某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为______．17、有100

件产品编号从00

到99

用系统抽样方法从中抽取5

件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5

组抽取的产品编号为94

则第2

组抽取的产品编号为______．评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)18、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．19、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）20、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）21、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．22、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）23、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．24、空集没有子集．____．25、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、作图题(共3题，共27分)26、画图验证：（1）+=+；（2）（+）+=+（+）．27、若一个n面体有m个面时直角三角形，则称这个n面体的直度为，则四面体A1-ABC的直度的最大值为____．28、证明：平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1，A1C，BD1，B1D相交于一点，且互相平分．评卷人得分五、其他(共3题，共30分)29、已知函数f（x）=，且满足f（）=．

（1）求常数c的值；

（2）解不等式f（x）＞．30、设函数f（x）=|x-a|+5x．

（1）当a=-1时；求不等式f（x）≤5x+3的解集；

（2）若x≥-1时有f（x）≥0，求a的取值范围．31、（2010秋•沙坪坝区校级月考）已知函数y=f（x）的图象如图，则满足的x的取值范围是____．评卷人得分六、综合题(共2题，共6分)32、在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，D是线段AB的垂直平分线上的一点，D到AB的距离为2，过C的曲线E上任一点P满足||+||为常数．

（1）建立适当的坐标系；并求出曲线E的方程．

（2）过点D的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N，且M点在D，N之间，若||=λ||，求λ的取值范围．33、设有抛物线C：y=-x2+x-4；通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．

（1）求m的值；以及P的坐标；

（2）过点P作切线的垂线；求它与抛物线的另一个交点Q；

（3）设C上有一点R，其横坐标为t，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求t的取值范围．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【分析】由条件利用正四棱锥的性质，利用直线和平面所成的角的定义找出侧棱与底面所成的角，再利用直角三角形中的边角关系，求得侧棱与底面所成的角．【解析】【解答】解：由于四棱锥S-ABCD的侧棱与底面边长都是2；故四棱锥S-ABCD为正四棱锥，设O为底面正方形的中心；

则∠SBO为侧棱与底面所成的角．

直角三角形SBO中，cos∠SBO==；∴∠SBO=45°；

故选：C．2、B【分析】【分析】根据题意，将5个人分到2个游艇，可先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，再将2组对应2个游艇，由排列、组合公式，可得每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解析】【解答】解：根据题意；将5名游客分别坐甲；乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客；

先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有C52=10种情况；

再将2组对应2个游艇，有A22=2种情况；

则互不相同的安排方法的种数为10×2=20；

故选：B．3、B【分析】【分析】先利用诱导公式（一），可转化为tan675°=tan（720°-45°）=tan（-45°），再利用负角公式即可求得【解析】【解答】解：由题意；tan675°=tan（720°-45°）=tan（-45°）=-tan45°=-1

故选B．4、A【分析】【分析】根据题意，可以整理方程ax2+by2=C和ax+by+c=0变形为标准形式和斜截式，然后根据直线推出-＞0，-＞0，有双曲线图象和定义推出＞0，＜0，从而确定a、c同号，与b异号，排除B；由双曲线和直线与x轴各自的交点推出-＞-；

排除C，得出答案．【解析】【解答】解：根据双曲线图可知双曲线在x轴上，将方程ax2+by2=C化成：x2+y2=1，可知＞0，＜0

ax+by+c=0化成：y=-x-，右图可知-＞0，-＞0

所以a、c同号，与b异号；排除B

直线与x轴交点为（0，-）

双曲线与x轴左侧交点为（0，-）

由-＞-

＞1

排除C

故选A．5、B【分析】【分析】利用对数恒等式：进行计算即可．先将原指数式的指数化成以5为底的对数的形式，再结合对数恒等式计算即得．【解析】【解答】解：51-log57

=

==．

故选B．6、A【分析】

=

=

故选A．

【解析】【答案】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简，同时（1+i）2展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．

7、B【分析】【解析】A：sinA=sinB,则或

B：成立；C：D：1<4x<3则不存在整数x。所以选B。【解析】【答案】B8、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C9、C【分析】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P鈭�ABCD

侧面PAD隆脥

底面ABCDPA隆脥AD

底面ABCD

是正方形．

则此图中含有4

个直角三角形(

除了底面正方形)

．

故选：C

．

由三视图可知：该几何体为四棱锥P鈭�ABCD

侧面PAD隆脥

底面ABCDPA隆脥AD

底面ABCD

是正方形.

即可得出．

本题考查了四棱锥的三视图、线面面面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】C

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】【分析】设，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，，．利用OC2+BA2=2（OA2+OB2），即可得出．【解析】【解答】解：设，；以OA，OB为邻边作平行四边形OACB；

则，．

∵OC2+BA2=2（OA2+OB2）；

∴=2；

∴+；

∴=4．

故答案为：4．11、略

【分析】【分析】利用定积分的几何意义求值．【解析】【解答】解：由定积分的几何意义；所求为以原点为圆心，2为半径的30°的扇形面积与一个直角三角形的面积和，如图。

所以原式==；

故答案为：．12、【分析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinA，利用正弦定理求得a的值，再由余弦定理求出c，再由正弦定理求得sinC的值．从而求得△ABC的面积S=的值．【解析】【解答】解：△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得；

即，解得a=．

再由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc•cosA，即=25+c2-10c•，解得c=．

再由正弦定理可得，即，解得sinC=．

故△ABC的面积S===；

故答案为，．13、略

【分析】试题分析：由频率分布直方图可知，500～550分数段和650～700分数段的频率分别为0.45和0.05，又由于130～140分数段的人数为90，则总人数为人，所以90～100分数段的人数为人．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【解析】【答案】14、略

【分析】试题分析：由得考点：考查导数的运算【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】16、略

【分析】解：∵某校有三个兴趣小组；甲；乙两名学生每人选择其中一个参加；

且每人参加每个兴趣小组的可能性相同；

∴基本事件总数n=3×3=9；

甲；乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6；

∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率p=．

故答案为：．

先求出基本事件总数n=3×3=9；再求出甲；乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．【解析】17、略

【分析】解：根据系统抽样原理，抽样间隔为l=1005=20

设第一组抽取数据为a0

则第5

组抽取的产品编号为4隆脕20+a0=94

解得a0=14

所以第2

组抽取的产品编号为1隆脕20+a0=34

．

故答案为：34

．

根据系统抽样原理的抽样间隔相等；求出第1

组抽取的数据，再求第2

组抽取的产品编号．

本题考查了系统抽样原理应用问题，是基础题．【解析】34

三、判断题(共8题，共16分)18、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．19、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×20、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√21、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．22、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√23、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×24、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．25、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、作图题(共3题，共27分)26、略

【分析】【分析】（1）根据向量加法的三角形法则，分别画出+和+可验证：+=+；

（2）根据向量加法的三角形法则，分别画出（+）+和+（+）可验证：（+）+=+（+）．【解析】【解答】解：（1）由下图：

可得：+=+；

（2）由下图：

可得：（+）+=+（+）．27、略

【分析】【分析】由题画出图形，得到四面体中直角三角形最多有4个，则答案可求．【解析】【解答】解：如图；

四面体A1-ABC有4个面，当A1A⊥底面ABC；且∠ABC为直角时；

其中的直角三角形最多有4个，则四面体A1-ABC的直度的最大值为=1．

故答案为：1．28、略

【分析】【分析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，证明A1D1CB，ADC1B1，ACC1A1是平行四边形即可．【解析】【解答】证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中；

∵A1D1∥AD；AD∥BC；

∴A1D1∥BC；

又∵A1D1=AD；AD=BC；

∴A1D1=BC；

∴A1D1CB是平行四边形；

故设对角线AC1与BD1相交于点E；

且E是AC1与BD1的中点；

同理可证；

E是A1C，B1D的中点；

故对角线AC1，A1C，BD1，B1D相交于一点，且互相平分．五、其他(共3题，共30分)29、略

【分析】【分析】（1）先判断与c的大小；代值计算即可；

（2）根据x的范围，分段求出，得到不等式的解集．【解析】【解答】解：（1）∵0＜c＜1；

∴＞c，又f（）=；

∴2-8c==2-2；

解得c=；

（2）由（1）知，f（x）=；

∵f（x）＞；

当0＜x＜，x+＞，解得0＜x＜；

当≤x＜1时，f（x）＞恒成立；

综上所述：不等式的解集为（0，1）．30、略

【分析】【分析】（1）当a=-1时；|x+1|+5x≤5x+3，从而解得；

（2）当x≥0时，f（x）=|x-a|+5x≥0恒成立，从而转化为故只需使当-1≤x＜0时，f（x）=|x-a|+5x≥0，从而化简可得（4x+a）（6x-a）≤0，从而分类讨论解得．【解析】【解答】解：（1）当a=-1时；|x+1|+5x≤5x+3；

故|x+1|≤3；

故-4≤x≤2；

故不等式f（x）≤5x+3的解集为[-4；2]；

（2）当x≥0时；f（x）=|x-a|+5x≥0恒成立；

故只需使当-1≤x＜0时；f（x）=|x-a|+5x≥0；

即|x-a|≥-5x；

即（x-a）2≥25x2；

即（x-a-5x）（x-a+5x）≥0；

即（4x+a）（6x-a）≤0；

当a=0时；解4x×6x≤0得x=0，不成立；

当a＞0时；解（4x+a）（6x-a）≤0得；

-≤x≤；

故只需使-≤-1；

解得；a≥4；

当a＜0时；解（4x+a）（6x-a）≤0得；

≤x≤-；

故只需使≤-1；

解得；a≤-6；

综上所述，a的取值范围为a≥4或a≤-6．31、[-1，1]【分析】【分析】观察图象可知，f（x）≤0⇔x≥1；f（x）≥0⇔x≤1，由此可判断不等式确定的x的取值范围．【解析】【解答】解：观察图象可知；f（x）≤0⇔x≥1；f（x）≥0⇔x≤1，．

因为，可知1+x2≥1，于是，f（1+x2）≤0

∴

；

解得-1≤x≤1．故x的取值范围为x∈[-1；1]

故答案为：[-1，1]．六、综合题(共2题，共6分)32、略

【分析】【分析】（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，根据=|CA|+|CB|==，判断出曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则首先可知a，根据|AB|=4求得c，则b可求得；进而求得椭圆的方程．

（2）设直线l的方程代入椭圆方程，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理求得x1+x2和x1+x2的表达式，将x1=λx2代入两式相除，根据k的范围求得λ的范围，进而根据M在D、N中间，判断出λ＜1，综合可得答案．【解析】【解答】解：（1）设AB的中点为O．以AB；OD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系；

则由已知得：=|CA|+|CB|==；

∴动点的轨迹方程为以A，B为焦点的椭圆，并且；

∴．（4分）

（2）当直线l与y轴重合时，（5分）

当直线l与y轴不重合时；∵D（0，2），∴可令直线MN的方程为y=kx+2