2025年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知幂函数f（x）过点则f（4）的值为（）

A.

B.1

C.2

D.8

2、下列图形中，表示的是（）3、已知a=cos1，b=cos2，c=sin2，则a、b、c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.a＞c＞bD.b＞a＞c4、已知tan（π﹣α）=﹣2，则=（）A.-3B.C.3D.-5、设an=sinSn=a1+a2++an，在S1，S2，S100中，正数的个数是（）A.25B.50C.75D.1006、数列1，3，6，10，x，21，中，x的值是（）A.12B.13C.15D.167、娄脕

是第四象限角，tan娄脕=鈭�512

则sin娄脕=(

)

A.15

B.鈭�15

C.513

D.鈭�513

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|=t（t＞0），连AC交BE于D点，则向量和的夹角的大小为____．

9、【题文】若点在圆的外部，则实数的范围为_______________．10、【题文】下列四个结论：

①偶函数的图象一定与直角坐标系的纵轴相交；

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；

③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是＝0（）；

④偶函数的图象关于y轴对称；

⑤偶函数f(x)在上单调递减，则f(x)在上单调递增．

其中正确的命题的序号是____．11、计算=______．12、已知幂函数y=f（x）的图象过（2，），则f（27）=______．13、某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取______名学生．14、某单位200

名职工的年龄分布情况如图；现要从中抽取40

名职工作样本；用系统抽样法，将全体职工随机按1隆芦200

编号，并按编号顺序平均分为40

组(1隆芦5

号，6隆芦10

号，196隆芦200

号).

若第5

组抽出的号码为22

则第8

组抽出的号码应是______.

若用分层抽样方法，则40

岁以下年龄段应抽取______人.

评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)15、已知函数且函数f（x）为奇函数．

（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（-∞；+∞）上为增函数．

16、已知(1)求的值。(2)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？17、证明函数f（x）=-2x2+1在（0；+∞）上是减函数．

18、【题文】(本题满分12分)已知函数

（1）判断函数的单调性，并用定义加以证明；（2）求函数的最大值和最小值19、【题文】如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．点且．

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若当为何值时，．20、(1)

已知向量a鈫�=(1,2)b鈫�=(鈭�3,2)c鈫�=(3,4).

若娄脣

为实数，(a鈫�+娄脣b鈫�)//c鈫�

求娄脣

的值．

(2)

已知非零向量e1鈫�

和e2鈫�

不共线，欲使向量ke1鈫�+e2鈫�

和e1鈫�+ke2鈫�

共线，试确定实数k

的值．评卷人得分四、综合题(共4题，共12分)21、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-3；0）；B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求系数a的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为D；求△BCD中CD边上的高h的最大值．

（4）设E，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．22、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

23、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．24、如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H；连接GH，BH．

（1）求证：△DFA∽△HBG；

（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3；CF：FB=1：2，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】

设幂函数f（x）=xa；x＞0；

∵幂函数f（x）过点

∴x＞0；

∴∴

∴f（4）==．

故选A．

【解析】【答案】设幂函数f（x）=xa，x＞0，由幂函数f（x）过点知x＞0，故由此能求出f（4）．

2、C【分析】【解析】试题分析：表示集合是集合的子集，所以应该选C.考点：本小题主要考查韦恩图的识别和集合关系的应用.【解析】【答案】C3、B【分析】【解答】由题意可得b=cos2＜0；a=cos1＞0，c=sin2＞0；

又a=cos1＜cos=c=sin2＞sin=

∴c＞a＞b

故选：B

【分析】易得b为最小值，再和特殊角比较可得a和c的大小，可得答案。4、D【分析】【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣2；∴tanα=2；

∴

故选：D．

【分析】由条件利用诱导公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．5、D【分析】【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50

由正弦函数性质可知，a1，a2，，a24＞0，a25=0，a26，a27，，a49＜0，a50=0

且sinsin但是f（n）=单调递减。

a26a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，，|a49|＜a24

∴S1，S2，，S25中都为正，而S26，S27，，S50都为正。

同理S1，S2，，s75都为正，S1，S2，，s75，，s100都为正；

故选D

【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，，a24＞0，a26，a27，，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，，|a49|＜a24，从而可判断6、C【分析】解：∵3-1=2；6-3=3，10-6=4；

∴根据归纳法可知；x-10=5，21-x=6；

解得x=15；满足条件；

故选：C．

根据数列项之间的关系；即可得到结论．

本题主要考查数列项的计算，根据项之间的关系，得到数列的规律是解决本题的关键，比较基础．【解析】【答案】C7、D【分析】解：隆脽娄脕

是第四象限角，tan娄脕=鈭�512=sin娄脕cos伪sin2娄脕+cos2娄脕=1

隆脿sin娄脕=鈭�513

．

故选D．

根据tan娄脕=sin娄脕cos伪sin2娄脕+cos2娄脕=1

即可得答案．

三角函数的基本关系是三角函数的基本，是高考必考内容．【解析】D

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

以OE为x轴；以AB为y轴建立直角坐标系，则有。

A（0，），B（0，），O（），E（）

==

=

所以

又因为

所以

所以夹角为60°；

故答案为60°

【解析】【答案】先建立坐标系，利用向量的运算法则求出向量和的坐标，求向量和的夹角的大小；只需求其数量积，坐标运算和公式形式运算，可以求出夹角．

9、略

【分析】【解析】∵圆（x-a）2+（y+a）2=5，圆心坐标为（a，-a），半径等于若P点在圆（x-a）2+（y+a）2=5的外部，则有：（2a-a）2+（a+a）2＞5解得a2＞1；故实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）；

故答案为或【解析】【答案】或10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】_④⑤11、略

【分析】解：原式=-1+=4-1+=．

故答案为：．

利用指数幂与对数的运算性质即可得出．

本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】12、略

【分析】解：由题意令y=f（x）=xa；

由于图象过点（2，）；

得=2a，a=

∴y=f（x）=

∴f（27）==3．

故答案为：3．

先由幂函数的定义设f（x）=xa；代入点的坐标，求出a得出幂函数的解析式，再求f（27）的值．

本题考查幂函数的单调性、幂函数的概念、解析式、定义域、值域等基本知识，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式．【解析】313、略

【分析】解：∵C专业的学生有1200-380-420=400；

由分层抽样原理，应抽取名．

故答案为：40

根据全校的人数和A；B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．

本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．【解析】4014、略

【分析】解：隆脽

将全体职工随机按1隆芦200

编号；并按编号顺序平均分为40

组；

由分组可知；抽号的间隔为5

隆脽

第5

组抽出的号码为22

隆脿

第6

组抽出的号码为27

第7

组抽出的号码为32

第8

组抽出的号码为37

．

40

岁以下的年龄段的职工数为200隆脕0.5=100

则应抽取的人数为40200隆脕100=20(

人)

．

故答案为：3720

由分组可知；抽号的间隔为5

第5

组抽出的号码为22

第6

组抽出的号码为27

第7

组抽出的号码为32

第8

组抽出的号码为37.

可以一次加上5

得到下一组的编号，根据图中40

岁以下的所占的比例，得到结果．

本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来.

本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目．【解析】3720

三、解答题(共6题，共12分)15、略

【分析】

（1）∵f（-x）=-f（x），即=-+=0⇒（a+1）（2x+1）=0⇒a=-1．

（2）任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2；

f（x1）-f（x2）=-=

∵x1＜x2，∴2X1＜

又∵2X1+1＞0，+1＞0；

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（-∞；+∞）上为增函数．

【解析】【答案】（1）由函数f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x）；建立关于x的恒等式，利用系数为0即可得a的范围．

（2）先设自变量值，任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，然后通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小；即得函数的单调性．

16、略

【分析】【解析】试题分析：(1)=(2)由与平行，则有：得：从而有与是反向的考点：向量共线【解析】【答案】（1）-14（2）反向的17、略

【分析】

设x2＞x1＞0，∵函数f（x）=-2x2+1；

∴f（x2）-f（x1）=-2（-）=2（-）=2（x1+x2）（x1-x2）．

由题设可得x1+x2＞0，x1-x2＜0，∴f（x2）-f（x1）＜0；

∴f（x2）＜f（x1）；

故函数f（x）=-2x2+1在（0；+∞）上是减函数．

【解析】【答案】设x2＞x1＞0，计算f（x2）-f（x1）=2（x1+x2）（x1-x2）＜0，故有f（x2）＜f（x1）；由函数的单调性的定义得出结论．

18、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

19、略

【分析】【解析】(Ⅰ)证明：因为

所以为等腰直角三角形，所以．

因为是一个长方体，所以而所以所以．

因为垂直于平面内的两条相交直线和

由线面垂直的判定定理，可得

(Ⅱ)解：当时，．

当时，四边形是一个正方形，所以而

所以所以．

而与在同一个平面内，所以．

而所以所以．【解析】【答案】（1）由线面垂直的判定定理，可得

（2）当时，．20、略

【分析】

(1)(2)

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：(1)隆脽a鈫�+娄脣b鈫�=(1鈭�3娄脣,2+2娄脣)隆脽(a鈫�+娄脣b鈫�)//c鈫�隆脿4(1鈭�3娄脣)鈭�3(2+2娄脣)=0

解得娄脣=鈭�19

．

(2)隆脽ke1鈫�+e2鈫�

和e1鈫�+ke2鈫�

共线，隆脿

存在实数m

使得ke1鈫�+e2鈫�=m(e1鈫�+ke2鈫�)

非零向量e1鈫�

和e2鈫�

不共线；

隆脿k=m1=mk

解得k=1

或k=鈭�1

．四、综合题(共4题，共12分)21、略

【分析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB；进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x=-1，进而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，根据h=HBsin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤；即可求出答案；

（4）连接CE，过点N作NP∥CD交y轴于P，连接EF，根据三角形的面积公式求出S△CAEF=S四边形EFCB，根据NP∥CE，求出，设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，代入N、P的左边得到方程组，求出直线NP的解析式，同理求出A、C两点的直线的解析式，组成方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0）；

∴消去b；得c=-3a．

∴点C的坐标为（0；-3a）；

答：点C的坐标为（0；-3a）．

（2）当∠ACB=90°时；

∠AOC=∠BOC=90°；∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°；

∴∠ACO=∠OBC；

∴△AOC∽△COB，；

即OC2=AO•OB；

∵AO=3；OB=1；

∴OC=；

∵∠ACB不小于90°；

∴OC≤，即-c≤；

由（1）得3a≤；

∴a≤；

又∵a＞0；

∴a的取值范围为0＜a≤；

答：系数a的取值范围是0＜a≤．

（3）作DG⊥y轴于点G；延长DC交x轴于点H，如图．

∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-3；0），B（1，0）．

∴抛物线的对称轴为x=-1．

即-=-1，所以b=2a．

又由（1）有c=-3a．

∴抛物线方程为y=ax2+2ax-3a，D点坐标为（-1，-4a）．

于是CO=3a；GC=a，DG=1．

∵DG∥OH；

∴△DCG∽△HCO；

∴，即；得OH=3，表明直线DC过定点H（3，0）．

过B作BM⊥DH；垂足为M，即BM=h；

∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC．

∵0＜CO≤；

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1；即h的最大值为1；

答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB=90°时，，；

设AB的中点为N，连接CN，则N（-1，0），CN将△ABC的面积平分，

连接CE；过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF；

因为NP∥CE，所以S△CEF=S△CEN；

由已知可得NO=1，；而NP∥CE；

∴，得；

设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，则；

解得：；

即；①

同理可得过A、C两点的一次函数为；②

解由①②组成的方程组得，；

故在线段AC上存在点满足要求．

答：当∠ACB=90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（-，-）．22、略

【分析】【分析】（1）由∠B=∠B；∠C=∠BMP=90°证明；

（2）勾股定理求出AB的长；相似三角形求出y与x的函数关系式，求出取值范围；

（3）根据内切圆的特点，求出x，y的值．【解析】【解答】（1）证明：∵AB切⊙P于点M；

∴∠PMB=∠C=90°．

又∵∠B=∠B；

∴△BPM∽△BAC．

（2）解：∵AC=3；BC=4，∠C=90°；

∴AB=5．

∵；

∴；

∴（0≤x＜4）．

当x＞y时；⊙P与AC所在的直线相离．

即x＞；

得x＞；

∴当＜x＜4时；⊙P与AC所在的直线相离．

（3）解：设存在符合条件的⊙P．

得OP=2.5-y，而BM=；

∴OM=；

有；

得

∴y1=0（不合题意舍去），y2=．

∴时，x=．23、略

【分析】【分析】（1）根据根与系数的关系；列出方程组解答；

（2）根据（1）中k的值解方程，求出AD和BC的长，然后根据相似三角形的性质解答．【解析】【解答】解：（1）根据题意列方程组得：解得；

即3k2-37k+12=0，解得k=12或k=．

（2）把k=12或k=分别代入方程x2-（k-2）x+2k=0中；

当k=12