高考数学一轮复习讲+练+测：21函数的概念及其表示方法（讲）

专题2.1函数的概念及其表示方法

【考纲解读】

要求

备注

内容

ABC

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域

函数概念与基本初和值域.

J

等函数I函数的概念2.了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要

选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

【直击考点】

题组一常识题

1.［教材改编］以下属于函数的有.(填序号)

®y=②/=>—1；③

④y=V—2(*£N).

【答案】④

【解析】①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值，不满足函数的定义.③定义域是空

集，而函数的定义域是非空的数集.只有④表示函数.

Inx—2,才>0,

2.［教材改编］已知函数F(0=,…若/<［f(e)］=2a,则实数a=_______.

x+a,xWO,

【答案】-1

【解析】因为F(e)=lne—2=-1,所以/tr(e)］=F(—1)=-1+。=2榛解得a=-1.

3.［教材改编］函数教*)=亚_；的定义域是_______.

X\u

【答案】(一8,-3)U(-3,8］

【解析】要使函数有意义，则需8—彳20且x+3W0,即A<8且xW—3,所以其定义域是(一

8,-3)U(-3,8］.

题组二常错题

4.已知集合片{x|0W启4},0={y|OWj<2},下列从尸到0的各对应关系F不是函数的

是—

①£X一尸权；②户1

x・

2

③£x-y=§x;®ftx-'y=y[x.

【答案】③

9Q

【解析】③中当x=4时，尸鼻X4=^Q

oJ

(叶1)2,KI,

5.设函数/("nl----则使得“工)》1的自变量X的取值范围为

【答案】后-2或OWxWlO，

【解析】..Kx)是分段函数，..小班1应分段求解.①当r<l时，由贝班1,得(x+lpU,解得它一2或

忘0,.・忘-2或0口<1.

②当定1时，由式工m1,得4一81之1,即依二1与，解得立10,登10.

综上所述，达-2或0^010.

6.已知F(5)=x-1,则/'(X)=.

【答案】/•(4)=)-1(x20)

【解析】令t=W，则£20,x=「,所以F(£)=——1*20),即=/—1(x20).

7.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，

那么函数解析式为尸总值域为{1,4}的“同族函数”共有_______.个.

【答案】9

【解析】设函数尸丁的定义域为〃其值域为{1,4},易知〃的所有情形的个数，即是同

族函数的个数.〃的所有情形为{-I,2},{-1,-2},{1,2},{1,一2},{-1,1,2},

{-1,1,-2},{-1,2,一2},{1,2,一2},{-1,1,2,一2},共9个，故答案为9.

题组三常考题

8.函数f(x)=lg(V+x—6)的定.义域是______.

【答案】51点一3或x>2)

【解析】要使函数有意义，则需/+彳一6〉0,解得点-3或x>2.

1+logs(3—x),水1,

9.函数函才)=,则/(-6)+f(2)=

x+2,

【答案】9

2

【解析】A-6)=l+log3(3+6)=l+log39=1+2=3,Z(2)=2+2=6,

所以/•(-6)+F(2)=3+6=9.

【知识清单】

1.函数映射的概念

函数映射

两集合

设48是两个非空数集设4q是两个非空集合

力，B

如果按照某个对应关系f,对于集

对应如果按某一个确定的对应关系f,使对

合力中的任何一个数X,在集合3

关系于集合A中的任意一个元素X、在集合B

中都存在唯一确定的数f(x)与之对

fxAT中都有唯一确定的元素y与之对应

应

称/•:4-4为从集合A到集合8的称对应正上且为从集合力到集合4的

名称

一个函数一个映射

记法尸F(x),x^A对应工力一8是一个映射

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数尸F(x),力中，刀叫做自变量，x的取值范围力叫做函数的定义域;与x的值相

对应的y值叫做函数值，函数值的集合傲(才)以£⑷叫做函数的值域.显然,值域是集合6

的子集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

.(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两人函数相等，这是判断

两函数相等的依据.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这

种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的雌，其值域等于各段函数的值域的芷集，

分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

【考点深度剖析】

本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、

【答案】(1)(1,+8)(2){>[0W>W2016,且丘1}

0

【解析】。潼使函数加清意义，应满足K'解得a,故的教人乃=1n七+/的定义域为(1,+

降0,

8).

⑵的定义域为［12017］,

-、，--flS五+1S2017,

，其0有意义，应满足1_］£0

.•.0&W2016,且子1.

因此期的定义域为｛X|0WXW2016,且计I).

规律方法

【思想方法】

一、①判断一个对应是否为映射“关键看是否满足“集合力中元素的任意性，集合8中元

素的唯一性”.

②判断一个对应F：力-4是否为函数，一看是否为映射；二看46是否为非空数集.若是

函数，则力是定义域，而值域是分的子集.

③函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同.因此判断两个函数是否相

同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同.

二、求函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.

C2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)若已知f(x)的定义域为［a,b］,则f(g(x))的定义域可由aWg(x)Wb求出；若已知f(g(x))

的定义域为［a,b］,则f(x)的定义域为g(x)在x£［a,b］时的值域.

【温馨提醒】不要混淆“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，

从4到8的一个映射，力、8若不是数集，则这个映射便不是函数.

考点2求函数的解析式

［2-1］已知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x+l)=f(x)+x+l,求f(x).

［答案】f(x)=^xR).

［解析】设f(x)=ax+bx+c(a#0),

由/'(0)=0,知c=0,f(x)=ax-\-bx,

又由f(x+1)=f(x)+x+1,

得a(x+l)2+b(x+l)=ax4-bx-¥x+1,

即ax+(2a+抗X+a+b=ax+(方+1)*+1,

2a+b=b+L

所以

a+Z?=L

解得a=Z?=1.

所以f(x)=1?+1A-(XGR).

乙乙

[2-2]已知f(y[x+1)=x+求F(x)的解析式.

【答案】f(x)=f-1(x21).

【解析】法一：设『或+1,

则X=(L

代入原式有大。=《一iy+2(/-l)=/2-2^+l+2/-2=/2-l.

故大力=/_igi).

法二：・.3+2衽=(物+24+1-1=(代+1)2-1,

・,.人3+D=(出+以一1(4+i>i),

即加=xfgi).

[2-3]定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-F(-x)=lg(x+l),求函数外力的解析

式.

21

【答案】Ax)=-lg(x+l)+-lg(l—x),x£(—1,1).

Jo

【解析】当xW(—l,l)时，有

2f(Y)—f(—x)=1g(x+1).①

以一x代也得

2f(一十)-f(x)=lg(-%+l).②

由①@消去/'(一才)，得

21

f(x)=-lg(A-+l)+-lg(l—Ar),xR(—1,1).

*5J

【思想方法】

1.求函数解析式的四种常用方法

(1).配凑法：由已知条件F(g(x))=尸(力，可将尸(十)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替

代以力，便得A")的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数”g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围;

(4)解方程组法；己知关于与0或人一/)的表达式，可根据已知条件再构造出另外

一个等式组成方程组，通过解方程求出人力.

2.分段函数“两种”题型的求解策略

(D根据分段函数解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自

变量的取值范围.

【温馨提醒】解决函数的一些问题时，要注意“定义域优先”的原则.当分段函数的自变量

范围不确定时，应分类讨论.

考点三分段函数

1+log22—x,K1,

[3-1]设函数F(x)=Li、则F(—2)+F(lcg212)=________.

【答案】9

【解析】根据分段函数的意义,『(-2)=l+log2(2+2)=l+2=3.又log212>l

/.f(log212)=20Vn=210?=6,

因此A-2)+Alog212)=3+6=3.

[3-2].⑴设函数**)[；：：：}若(/g))=4,则6=.

ei,K1,

(2)设函数人力={1则使得f(x)02成立的x的取值范围是________.

「炉，自，

【答案】(1)：(2)(—8,8]

【解析】b,

若上一从1,即尾fl寸,

则碉卜/1-。=3e-。-b=4f

解之得不合题意舍去.

若搭一/1,即嫁,则2，T=4,解得。

Q)当x<l时，产1。>解得烂1+ln2,

所以x<L

।

当定1时,审受,解得过8,所以1g&

综上可知X的取值范围是(-8,8].

【思想方法】

(D根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次