常州市高三二模数学试卷

常州市高三二模数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列选项中，正确的是（）

A.$a>0,b>0,c>0$B.$a>0,b>0,c<0$

C.$a>0,b<0,c>0$D.$a<0,b<0,c<0$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，则第$10$项$a_{10}$等于（）

A.28B.30C.32D.34

3.在三角形$ABC$中，已知$a=5$，$b=7$，$c=8$，则$\cosA$的值等于（）

A.$\frac{7}{24}$B.$\frac{8}{24}$C.$\frac{9}{24}$D.$\frac{10}{24}$

4.若复数$z=a+bi$满足$|z|=1$，且$\text{arg}(z)=\frac{\pi}{3}$，则$z$的实部$a$等于（）

A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$1$D.$\sqrt{3}$

5.已知函数$f(x)=\lnx$，则$f'(1)$的值等于（）

A.$0$B.$1$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{x}$

6.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项分别为$1$，$2$，$4$，则第$10$项$a_{10}$等于（）

A.$2^9$B.$2^8$C.$2^7$D.$2^6$

7.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$d=2$，则$a_7$等于（）

A.11B.13C.15D.17

8.若函数$f(x)=x^3-3x$的图像在区间$[0,2]$上单调递增，则$f'(x)$在区间$[0,2]$上的符号为（）

A.$f'(x)>0$B.$f'(x)<0$C.$f'(x)=0$D.无法确定

9.在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$q=\frac{1}{2}$，则$a_5$等于（）

A.$2^{-4}$B.$2^{-3}$C.$2^{-2}$D.$2^{-1}$

10.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)$的值等于（）

A.$-\frac{1}{x^2}$B.$\frac{1}{x^2}$C.$0$D.无法确定

二、判断题

1.在直角坐标系中，点$(1,1)$关于直线$y=x$的对称点坐标为$(1,-1)$。（）

2.若一个等差数列的前三项分别为$2$，$5$，$8$，则该数列的公差为$3$。（）

3.在任意三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。（）

4.函数$f(x)=e^x$在其定义域内是单调递减的。（）

5.若等比数列$\{a_n\}$的前三项分别为$1$，$-2$，$4$，则该数列的公比为$-2$。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$的一个零点为$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.设$a,b,c$是等差数列$\{a_n\}$的前$n$项，且$a=2$，$b=5$，$c=8$，求该数列的公差$d$和首项$a_1$。

3.在直角坐标系中，已知点$A(2,3)$和$B(-4,-1)$，求线段$AB$的中点坐标。

4.设函数$f(x)=x^2-4x+3$，求函数的对称轴和顶点坐标。

5.若函数$f(x)=\lnx$的图像在区间$[1,e]$上单调递增，证明：对于任意的$x_1,x_2\in[1,e]$，且$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$。

五、计算题

1.计算下列极限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-\sin2x}{x}

\]

2.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=3$，$a_5=21$，求该数列的前$10$项和$S_{10}$。

3.解下列方程：

\[

\frac{x-1}{x+2}=\frac{2}{x-3}

\]

4.已知函数$f(x)=\frac{2x+3}{x^2-4}$，求$f'(x)$并求出函数的极值点。

5.在直角坐标系中，已知直线$y=2x+1$与圆$x^2+y^2=25$相交于点$A$和$B$，求线段$AB$的长度。

六、案例分析题

1.案例背景：某学校为了提高学生的数学成绩，决定对数学教学进行改革。改革前，学校采用了传统的教学方法，即教师讲解，学生听课。改革后，学校引入了翻转课堂的教学模式，即学生在课前通过观看教学视频自主学习，课堂上教师进行辅导和答疑。

问题：

（1）分析翻转课堂模式与传统教学模式在教学方法上的主要区别。

（2）结合案例，讨论翻转课堂模式对学生数学学习可能产生的影响。

（3）提出一些建议，以帮助学校更好地实施翻转课堂模式。

2.案例背景：某班级在进行期中考试后，数学成绩出现了较大波动，部分学生的成绩明显下降。经调查，发现这些学生普遍存在以下问题：学习方法不当、缺乏学习动力、时间管理能力差等。

问题：

（1）分析导致学生数学成绩下降的主要原因。

（2）针对上述问题，提出相应的教学策略，以提高学生的数学学习效果。

（3）讨论教师在帮助学生提高数学成绩过程中应扮演的角色。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，若每天生产$x$件，则生产成本为$y=20x+1000$元。已知工厂的固定成本为$1000$元，每件产品的变动成本为$20$元。求：

（1）每天生产$x$件产品时的平均成本。

（2）为了使平均成本最低，每天应生产多少件产品？

2.应用题：一家公司计划投资$1000$万元，用于购买设备或租赁设备。购买设备的费用为$500$万元，租赁设备的费用为$200$万元，此外每年还需要支付$30$万元的维护费用。公司预计设备的使用寿命为$5$年，预计每年可以带来$150$万元的收益。

（1）若公司选择购买设备，计算每年的净收益。

（2）若公司选择租赁设备，计算每年的净收益。

（3）比较两种方案，说明公司应该选择哪种方案。

3.应用题：某城市计划建设一条新的公交线路，该线路的起点为市中心，终点为郊区的某个居民区。已知市中心到郊区的距离为$10$公里，市中心的人流量为$200$人/小时，郊区的人流量为$100$人/小时。公交车每公里的运营成本为$2$元，每公里的票价为$1$元。

（1）计算该公交线路的运营成本。

（2）计算该公交线路的预期收入。

（3）若要保证该公交线路的盈利，每小时的最低人流量应为多少人？

4.应用题：某班级计划组织一次户外拓展活动，活动包括攀岩、拓展训练和野餐。已知攀岩的费用为每人$50$元，拓展训练的费用为每人$30$元，野餐的费用为每人$20$元。班级共有$30$名学生参加，活动预算为$1800$元。

（1）计算每个学生分摊的费用。

（2）若要使每个学生分摊的费用尽可能接近，攀岩、拓展训练和野餐的预算分配应如何调整？

（3）讨论在活动预算有限的情况下，如何平衡不同活动的预算分配。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.B

3.A

4.B

5.B

6.A

7.A

8.A

9.B

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案：

1.2

2.$d=3,a_1=2$

3.$(-1,5)$

4.对称轴：$x=2$，顶点坐标：$(2,-1)$

5.$x_1<x_2\Rightarrowf(x_1)<f(x_2)$

四、简答题答案：

1.一元二次方程的解法包括公式法和配方法。公式法适用于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），解为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。配方法是将一元二次方程通过配方转化为$(x+p)^2=q$的形式，然后求解。

举例：解方程$x^2-6x+9=0$，通过配方得$(x-3)^2=0$，解得$x=3$。

2.公差$d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=\frac{21-2}{4}=5$，首项$a_1=a_5-4d=21-4\times5=1$。

3.线段$AB$的中点坐标为$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$，代入$A(2,3)$和$B(-4,-1)$得中点坐标为$(-1,1)$。

4.函数$f(x)=x^2-4x+3$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=2$，顶点坐标为$(2,f(2))=(2,-1)$。

5.由于$f(x)=\lnx$在区间$[1,e]$上单调递增，且$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$。

五、计算题答案：

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-\sin2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3\cos3x-2\cos2x}{1}=1$

2.$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\times10=\frac{3+21}{2}\t