北京大学保送数学试卷

北京大学保送数学试卷一、选择题

1.北京大学数学系保送生的选拔考试中，下列哪个函数不属于初等函数？

A.$y=x^2$

B.$y=e^x$

C.$y=\lnx$

D.$y=\sinx$

2.设函数$f(x)=x^3-3x$，求函数$f(x)$的极值点。

A.$x=-1$

B.$x=0$

C.$x=1$

D.$x=3$

3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的通项公式为：

A.$S_n=2^{n+1}-n-2$

B.$S_n=2^{n+1}-2n$

C.$S_n=2^n-n-1$

D.$S_n=2^n-n$

4.若$a,b,c$是等差数列的连续三项，且$a+b+c=12$，则$ab+bc+ca$的值为：

A.36

B.48

C.60

D.72

5.设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩阵$A$的行列式。

A.5

B.7

C.9

D.11

6.若$a,b,c$是等比数列的连续三项，且$a+b+c=12$，则$ab+bc+ca$的值为：

A.36

B.48

C.60

D.72

7.已知函数$f(x)=x^3-3x$，求函数$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。

A.最大值为1，最小值为-1

B.最大值为3，最小值为-1

C.最大值为1，最小值为-3

D.最大值为3，最小值为-3

8.设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩阵$A$的逆矩阵。

A.$A^{-1}=\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$

B.$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\1&-4\end{bmatrix}$

C.$A^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$

D.$A^{-1}=\begin{bmatrix}-1&2\\2&-1\end{bmatrix}$

9.设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的通项公式为：

A.$S_n=2^{n+1}-n-2$

B.$S_n=2^{n+1}-2n$

C.$S_n=2^n-n-1$

D.$S_n=2^n-n$

10.若$a,b,c$是等差数列的连续三项，且$a+b+c=12$，则$ab+bc+ca$的值为：

A.36

B.48

C.60

D.72

二、判断题

1.在实数范围内，函数$f(x)=x^2$的图像是一个开口向下的抛物线。（）

2.若一个数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=a_n^2$，则该数列一定是递增数列。（）

3.两个等差数列的和仍然是等差数列。（）

4.在二维空间中，两个非零向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的点积$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$时，向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$一定是垂直的。（）

5.欧几里得空间中，任意两个不同的平面要么相交，要么平行。（）

三、填空题

1.设函数$f(x)=3x^2-4x+1$，则函数$f(x)$的顶点坐标为$\boxed{(\frac{2}{3},\frac{1}{3})}$。

2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_5=10$，则该数列的公差$d=\boxed{4}$。

3.矩阵$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$的行列式值为$\boxed{2}$。

4.如果一个数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=1$，$q=\frac{1}{2}$，则该数列的第10项$a_{10}=\boxed{\frac{1}{2^9}}$。

5.在直线$y=2x+1$上，若点$(x,y)$到原点$(0,0)$的距离最短，则该距离为$\boxed{\frac{1}{\sqrt{5}}}$。

四、简答题

1.简述函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$和$x<0$时的单调性，并说明原因。

2.设$\{a_n\}$是一个等差数列，已知$a_1=3$，$a_5=21$，求该数列的通项公式，并计算前10项的和。

3.给定矩阵$\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}$，求该矩阵的逆矩阵，并验证矩阵与其逆矩阵相乘的结果。

4.解释如何通过点积判断两个向量在三维空间中的位置关系，并给出一个具体的例子。

5.简述求解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$D=b^2-4ac$的意义，并说明它如何影响方程的解的情况。

9.若$\sin^2x+\cos^2x=1$，则$\tan^2x$的值为：

A.$\frac{1}{2}$

B.1

C.2

D.3

10.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，求第$n$项$a_n$的值。

六、案例分析题

1.案例分析题：

某公司为了提高销售额，决定推出一款新产品。已知该公司过去一年的销售额数据如下表所示：

|月份|销售额（万元）|

|------|--------------|

|1月|20|

|2月|25|

|3月|30|

|4月|35|

|5月|40|

请根据以上数据，分析并回答以下问题：

（1）判断该公司销售额是否呈等差数列，如果是，求出公差。

（2）预测该公司下一个月的销售额，并说明预测的依据。

2.案例分析题：

某班级有30名学生，为了提高数学成绩，班主任决定对学生进行分组辅导。根据学生的成绩，将学生分为三个小组，每组10人。以下是三个小组的平均成绩：

|小组|平均成绩（分）|

|------|--------------|

|1组|80|

|2组|85|

|3组|90|

请根据以上数据，分析并回答以下问题：

（1）判断三个小组的平均成绩是否呈等比数列，如果是，求出公比。

（2）如果该班主任希望所有学生的平均成绩至少达到85分，应该如何调整分组策略？请说明理由。

七、应用题

1.应用题：

某工厂生产一种产品，每生产一件产品需要10分钟，且每分钟可以生产5件产品。如果工厂每天工作8小时，问：

（1）一天内最多可以生产多少件产品？

（2）如果每天有4名工人同时工作，每天最多可以生产多少件产品？

2.应用题：

一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米和4米，求：

（1）长方体的体积是多少立方米？

（2）长方体的表面积是多少平方米？

3.应用题：

已知某数的平方是64，求这个数。

4.应用题：

一个学校有1000名学生，其中男生占60%，女生占40%。如果从学生中随机抽取10名学生进行问卷调查，问：

（1）抽取的10名学生中，男生和女生的人数大约各是多少？

（2）如果问卷调查显示抽取的10名学生中有6名男生，那么实际男生比例是否高于60%？请说明原因。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.B

3.A

4.C

5.B

6.B

7.B

8.B

9.B

10.A

二、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空题

1.$\frac{2}{3},\frac{1}{3}$

2.4

3.2

4.$\frac{1}{2^9}$

5.$\frac{1}{\sqrt{5}}$

四、简答题

1.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$时单调递减，在$x<0$时单调递增。这是因为当$x>0$时，随着$x$的增大，$\frac{1}{x}$的值会减小；而当$x<0$时，随着$x$的减小（绝对值增大），$\frac{1}{x}$的值也会减小。

2.通项公式为$a_n=3+4(n-1)=4n-1$。前10项的和为$S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+(10-1)d)=5(6+36)=180$。

3.逆矩阵为$A^{-1}=\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$。验证：$AA^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$。

4.如果两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的点积$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$，则这两个向量是垂直的。例如，$\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$和$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$的点积为$1\cdot0+0\cdot1=0$，所以这两个向量垂直。

5.判别式$D=b^2-4ac$用于判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的情况。如果$D>0$，方程有两个不相等的实数解；如果$D=0$，方程有一个重根；如果$D<0$，方程没有实数解。

五、计算题

1.（1）一天内最多可以生产$8\times60\times5=2400$件产品。

（2）如果每天有4名工人同时工作，每天最多可以生产$8\times60\times5\times4=9600$件产品。

2.（1）体积$V=长\times宽\times高=2\times3\times4=24$立方米。

（2）表面积$A=2(长\times宽+长\times高+宽\times高)=2(2\times3+2\times4+3\times4)=52$平方米。

3.这个数是$8$或$-8$，因为$8^2=(-8)^2=64$。

4.（1）男生人数约为$10\times60\%=6$人，女生人数约为$10\times40\%=4$人。

（2）是的，实际男生比例高于60%。因为如果实际男生比例低于60%，那么抽取的10名学生中男生人数应该少于6人，这与实际情况不符。

题型所考察学生的知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基础概念和公式的掌握程度，如函数的单调性、数列的通项公式、矩阵的行列式等。

-判断题：