2025年人教B版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教B版高一数学上册月考试卷941考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、图是用于求S=1+2+3++100的程序框图；判断框内应填入（）

A.i＞100

B.i＜100

C.i≥100

D.i≤100

2、设且则（）A.B.C.D.3、【题文】一条直线与一个平面所成的角等于另一直线与这个平面所成的角是则这。

两条直线的位置关系（）A.必定相交B.平行C.必定异面D.不可能平行4、下列函数中，在区间上为减函数的是（）A.B.C.D.5、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.y=|x|，y=B.y=×y=C.y=1，y=D.y=|x|，y=（）2评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、已知x-=1，则=____．7、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如4=22-02，12=42-22，20=62-42．因此4、12、20都是“神秘数”．那么两个连续奇数的平方差（取正数）____（填“是”或“不是”）“神秘数”．8、log89÷log23=____．9、（山东．理．文）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是____．10、化简的结果是____．11、函数y=10x+1的反函数是____．12、【题文】函数的定义域为____________________.13、如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P-ABCD外接球的体积为______．14、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，，960，分组后在第1组中采用简单随机抽样的方法抽到的编号为9，则从编号为[401，430]的30人中应抽的编号是______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)15、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．16、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．17、作出函数y=的图象．18、画出计算1++++的程序框图．19、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．20、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、解答题(共1题，共3分)21、求过两直线x-2y+3=0和x+y-3=0的交点；且满足下列条件的直线l的方程．

（Ⅰ）和直线x+3y-1=0垂直；

（Ⅱ）在x轴；y轴上的截距相等．

评卷人得分五、证明题(共2题，共4分)22、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．23、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．评卷人得分六、综合题(共3题，共15分)24、如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=；OP=2．

（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时；求点N移动的距离；

（2）求证：△OPN∽△PMN；

（3）写出y与x之间的关系式；

（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．25、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．26、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】

由题意；程序框图利用了直到型循环结构，由于最后一项为加上100；

所以判断框内应填入的条件是i＞100．

故选A．

【解析】【答案】由已知中；程序的功能我们可以利用循环结构来解答本题，因为这是一个累加问题，故循环前累加器S=0，由于已知中的式子，可得循环变量i初值为1，步长为1，终值为100，累加量为S，由此即可写出判断框内应填入的条件．

2、C【分析】试题分析：A：由及不等式的性质可知仅当时，成立，∴A错误；B：而的符号未定，因此无法判断两者大小关系，∴B错误；C：根据可知在上递增，因此由可得∴C正确；D：而的符号未定，因此无法判定两者大小关系，∴D错误.考点：1.作差法比较代数式的大小；2.函数结合不等式.【解析】【答案】C.3、D【分析】【解析】平行直线与同一平面所成的角是相等的。由已知条件两条直线与一平面成角不同，可能相交，也可能异面，但一定不平行。【解析】【答案】D4、D【分析】【解答】可应用“排除法”，因为在是减函数，所以应是增函数；底数大于1；均应为增函数；故选D.

【分析】简单题，对于常见函数—-一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数等，要将它们的性质熟记于心.5、A【分析】解：由于函数y=|x|和y=具有相同的定义域和对应关系；故是同一个函数，故A满足条件．

由于函数y=×的定义域为{x|x＞2}，而y=的定义域为{x|x＞2；或x＜-2}；

故这两个函数的定义域不同；故不是同一个函数，故B不满足条件．

由于函数y=1的定义域为R，而函数y=的定义域为{x|x≠0}；故这两个函数的定义域不同；

故不是同一个函数；故C不满足条件．

由于函数y=|x|的定义域为R，而函数y=（）2的定义域为{x|x≥0}；故这两个函数的定义域不同；

故不是同一个函数；故D不满足条件；

故选：A．

A中的两个函数具有相同的定义域和对应关系；故是同一个函数．而B；C、D中的两个函数的定义域不同，故不是同一个函数．

本题主要考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，属于基础题．【解析】【答案】A二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】【分析】把x-=1两边平方求出x2+的值，再把所求算式整理成的形式，然后代入数据计算即可．【解析】【解答】解：∵x-=1；

∴x2+-2=1；

∴x2+=1+2=3；

===．

故应填：．7、略

【分析】【分析】设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）2-（2k-1）2=8k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【解析】【解答】解：设两个连续奇数为2k+1和2k-1；

则（2k+1）2-（2k-1）2=8k；

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

故答案为：不是．8、略

【分析】

原式==．

故答案为．

【解析】【答案】利用对数的换底公式和运算性质即可算出．

9、略

【分析】

集合M中必含有a1，a2，不含a3；

则M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}．

故答案为：2．

【解析】【答案】先根据M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，可知集合M中必含有a1，a2，而不含a3；进一步分析可得答案．

10、略

【分析】

故答案为：．

【解析】【答案】利用分数指数幂与根式的关系化简；求解。

11、略

【分析】

∵函数y=10x+1的值域为（1；+∞）

又∵y=10x+1时。

10x=y-1

即x=lg（y-1）；y∈（1，+∞）

故函数y=10x+1的反函数是y=lg（x-1）；x∈（1，+∞）

故答案为y=lg（x-1）；x∈（1，+∞）

【解析】【答案】由已知中函数的解析式可以求出函数的值域，即反函数的定义域，然后利用指数式与对数式的互化原则，用y表示x后，可得函数y=10x+1的反函数．

12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】{x︱x≥-4且x≠-2}13、略

【分析】解：连结BD交CE于O，则

连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，则

∵F是DD1的中点，DD1=4；∴DP=3；

又四棱锥P-ABCD外接球就是三棱锥P-ABC的外接球；

∴四棱锥P-ABCD外接球的半径为：R==

∴四棱锥P-ABCD外接球的体积为：

V==．

故答案为：．

连结BD交CE于O；连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，推导出DP=3，四棱锥P-ABCD外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，从而求出四棱锥P-ABCD外接球的半径，由此能求出四棱锥P-ABCD外接球的体积．

本题考查四棱锥外接球的体积的求法，考查正方体、四棱锥、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．【解析】14、略

【分析】解：∵从960人中抽取32人；

∴抽取的间距为960÷32=30；

∴号码过程公差d=30的等差数列；

∵在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9；

∴抽取号码为9+30（n-1）=30n-21；

由401≤30n-21≤430；

即14≤n≤15

∴当n=15时；30×15-21=429；

故答案为：429．

根据系统抽样的定义确定抽样的间距即可求出结论．

本题主要考查系统抽样的定义，利用条件确定系统抽样的组距是解决本题的关键．【解析】429三、作图题(共6题，共12分)15、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．16、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．17、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可18、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．19、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。20、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、解答题(共1题，共3分)21、略

【分析】

由可得两直线的交点为（1；2）

（Ⅰ）∵直线l与直线x+3y-1=0垂直。

∴直线l的斜率为3

则直线l的方程为3x-y-1=0

（Ⅱ）当直线l过原点时；直线l的方程为2x-y=0

当直线l不过原点时，令直线l的方程为

∵直线l过（1；2）；

∴a=3

则直线l的方程为x+y-3=0

【解析】【答案】（I）先求出两直线的交点坐标；根据垂直求出直线斜率，再由点斜式写出直线方程；

（II）分类思想：当直线过原点时，可设直线的方程为y=kx；直线不过原点时，可设方程为分别代入点可得答案．

五、证明题(共2题，共4分)22、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．23、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．六、综合题(共3题，共15分)24、略

【分析】【分析】（1）当PM旋转到PM′时；点N移动到点N′，点N移动的距离NN′=ON′-ON；

（2）已知两三角形两角对应相等；可利用AAA证相似。

（3）可由（2）问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式．

（4）根据图形得出S的关系式，然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围．【解析】【解答】（1）解：∵sinα=且α为锐角；

∴α=60°；即∠BOA=∠MPN=60°．（1分）

∴初始状态时；△PON为等边三角形；

∴ON=OP=2；当PM旋转到PM'时，点N移动到N'；

∵∠OPM'=30°；∠BOA=∠M'PN'=60°；

∴∠M'N'P=30°．（2分）

在Rt△OPM'中；ON'=2PO=2×2=4；

∴NN'=ON'-ON=4-2=2；

∴点N移动的距离为2；（3分）

（2）证明：在△OPN和△PMN中；

∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，

∴△OPN∽△PMN；（4分）

（3）解：∵MN=ON-OM=y-x；

∴PN2=ON•MN=y（y-x）=y2-xy．

过P点作PD⊥OB；垂足为D．

在Rt△OPD中；

OD=OP•cos60°=2×=1，PD=POsin60°=；

∴DN=ON-OD=y-1．

在Rt△PND中；

PN2=PD2+DN2=（）2+（y-1）2=y2-2y+4．（5分）

∴y2-xy=y2-2y+4；

即y=；（6分）

（4）解：在△OPM中，OM边上的高PD为；

∴S=•OM•PD=•x•x．（8分）

∵y＞0；

∴2-x＞0；即x＜2．

又∵x＞0；

∴x的取值范围是0＜x＜2．

∵S是x的正比例函数，且比例系数；

∴0＜S＜×2，即0＜S＜．（9分）25、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

设直线EF与CD交于点G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四边形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．26、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，