2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.2第1课时指数函数的图象和性质一学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-4.2.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质(一)必备学问·探新知基础学问学问点指数函数的图象和性质0＜a＜1a＞1图象定义域__R__值域__(0，＋∞)__性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1在R上是__减函数__在R上是__增函数__思索：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝(eq\f(1,2))x，y＝(eq\f(1,3))x，…，为什么肯定过点(0,1)?(2)视察指数函数的图象，思索：在下表中，？号处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a>1x>0？x<0？0<a<1x>0？x<0？提示：(1)当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象肯定过点(0,1)．(2)底数x的范围y的范围a>1x>0y>1x<00<y<10<a<1x>00<y<1x<0y>1基础自测1．下列说法正确的个数是(C)(1)指数函数的图象都在x轴的上方．(2)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.(3)对于随意的x∈R，肯定有3x>2x.A．0 B．1C．2 D．3[解析]对于(1)，由指数函数的性质可知正确．对于(2)，由指数函数的单调性可知正确．对于(3)，由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x<0时，3x<2x，故(3)不正确．2．函数y＝(eq\r(3)－1)x在R上是(D)A．增函数 B．奇函数C．偶函数 D．减函数[解析]∵0<eq\r(3)－1<1，∴函数y＝(eq\r(3)－1)x在R上是减函数．3．函数y＝2－x的图象是(B)[解析]函数y＝2－x＝(eq\f(1,2))x过点(0,1)，且在R上是减函数，故选B．4．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是(B)A．[0,1] B．[－1,0]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析]∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，∴－1≤1－2x≤0，选B．关键实力·攻重难题型探究题型一指数函数的图象例1如图所示是下列指数函数的图象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是(B)A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[分析]依据指数函数的底数与图象间的关系来进行推断．[解析]可先分为两类，(3)(4)的底数肯定大于1，(1)(2)的底数肯定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B．[归纳提升]指数函数图象的改变规律指数函数的图象随底数改变的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．【对点练习】❶(1)如图所示是指数函数的图象，已知a的值取eq\r(2)，eq\f(4,3)，eq\f(3,10)，eq\f(1,5)，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a依次为(D)A．eq\f(4,3)，eq\r(2)，eq\f(1,5)，eq\f(3,10) B．eq\r(2)，eq\f(4,3)，eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)，eq\r(2)，eq\f(4,3) D．eq\f(1,5)，eq\f(3,10)，eq\f(4,3)，eq\r(2)[解析]按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D．(2)若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过其次象限，则有(D)A．a＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b≤0[解析]由函数图象不过其次象限知a>1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D．题型二与指数函数有关的定义域、值域问题例2求下列函数的定义域和值域：(1)y＝2eq\s\up4(\f(1,x－4))；(2)y＝(eq\f(2,3))－|x|；(3)y＝eq\r(1－\f(1,2)x).[分析]定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解．[解析](1)由题意知x－4≠0，所以x≠4，所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠4}．因为eq\f(1,x－4)≠0，所以2eq\s\up4(\f(1,x－4))≠1，所以函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．(2)由题意知函数的定义域为R.因为|x|≥0，所以y＝(eq\f(2,3))－|x|＝(eq\f(3,2))|x|≥(eq\f(3,2))0＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}．(3)由题意知1－(eq\f(1,2))x≥0，所以(eq\f(1,2))x≤1＝(eq\f(1,2))0，所以x≥0，所以函数的定义域为{x|x≥0，x∈R}．因为y关于x单调递增，所以函数的值域为{y|y≥0}．[归纳提升]1.函数单调性在求函数值域中的应用(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)值域．①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．【对点练习】❷求y＝(eq\f(1,3))eq\r(x－2)的定义域和值域．[解析]由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，eq\r(x－2)≥0，又因为0＜eq\f(1,3)＜1，所以y＝(eq\f(1,3))eq\r(x－2)的值域为{y|0＜y≤1}．题型三幂式大小的比较例3比较下列各题中两个值的大小．(1)1.82.2,1.83；(2)0.7－0.3,0.7－0.4；(3)1.90.4,0.92.4；(4)(eq\f(4,5))eq\s\up4(\f(1,2))，(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,3)).[分析](1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,2))进行比较．[解析](1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，又2.2<3，∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.(4)∵eq\f(\f(4,5)eq\s\up4(\f(1,2)),\f(9,10)eq\s\up4(\f(1,2)))＝(eq\f(8,9))eq\s\up4(\f(1,2))<(eq\f(8,9))0＝1，∴(eq\f(4,5))eq\s\up4(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,2))，∵y＝(eq\f(9,10))x在R上为减函数，又eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，∴(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,3))，∴(eq\f(4,5))eq\s\up4(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,3)).[归纳提升]比较指数式的大小应依据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．【对点练习】❸比较下列每组中两个数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)(eq\f(2,3))－0.5，(eq\f(3,4))－0.5；(4)1.70.3,0.93.1.[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)考查函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.(3)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝(eq\f(2,3))x与y＝(eq\f(3,4))x的图象，如图所示，当x＝－0.5时，视察图象可得(eq\f(2,3))－0.5＞(eq\f(3,4))－0.5.(4)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.课堂检测·固双基1．函数f(x)＝πx与g(x)＝(\S]1,π\s)x的图象关于(C)A．原点对称 B．x轴对称C．y轴对称 D．直线y＝－x对称[解析]设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上随意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝(eq\f(1,π))x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝(eq\f(1,π))x的图象关于y轴对称，选C．2．若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是(C)A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(\S]1,2\s,1) D．(－∞，1)[解析]由已知，得0<2a－1<1，则eq\f(1,2)<a<1，所以实数a的取值范围是(eq\f(1,2)，1)．3．(2024·安徽合肥众兴中学高一期末测试)函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(D)A．(0,1) B．(1,1)C．(2,0) D．(2,2)[解析]令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故选D．4．已知函数f(x)为指数函数，且f(－eq\f(3,2))＝eq\f(\r(3),9)，则f(－2)＝__eq\f(1