2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一数学下学期期中试题含解析

PAGE浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直线的斜率，可直接求出其倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以.故选C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，熟记概念即可，属于基础题型.2.若，则下列不等式不能成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.详解】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；选项C：由于，所以，所以，所以成立；选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故选：B.【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.3.一元二次不等式的解集是，则的值是（）A.10 B.-10 C.14 D.-14【答案】D【解析】【分析】根据题意，由不等式的解集分析可得方程的两根为和，由根与系数的关系分析可得，解可得、的值，将其值相加即可得答案．【详解】解：根据题意，一元二次不等式的解集是，则方程的两根为和，则有，解可得，，则，故选：．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，注意一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，属于基础题．4.若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用绝对值的性质，进行分类讨论求解即可.【详解】当时，不等式恒成立，此时有；当时，；当时，，综上所述：实数a的取值范围是，即.故选：B【点睛】本题考查了已知不等式在实数集上恒成立求参数取值范围问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.5.已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是（）A.(－1，0) B.[－1，0] C. D.(－1，0]【答案】D【解析】【分析】若则成立；若，根据二次函数的图象与性质列出不等式组求解即可.【详解】①若，则成立；②若，则.综上所述，.故选：D【点睛】本题考查不等式恒成立问题、二次函数的图象与性质，属于基础题.6.已知正实数，，且满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式，有，即，即得解【详解】由题意，正实数，，根据均值不等式，，当且仅当时等号成立故的最大值为故选：C【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题7.已知的三个内角、、．若，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由可得角，所以，从而可求出其最大值.【详解】解：因为，所以，整理得，因为，所以，所以，因为，所以的最大值为，故选：C【点睛】此题考查了同角三角函数的关系，正弦的二倍角公式，属于基础题.8.已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1)成等差数列，也可能成等比数列；(2)成等差数列，但不可能成等比数列；(3)可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是()A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(2)(4)【答案】D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．9.已知圆:，圆:．若圆存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于、两点，且满足，则半径的取值范围是（）A.[5，55] B.[5，50] C.[10，50] D.[10，55]【答案】A【解析】【分析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径的取值范围即可.【详解】解：圆：的圆心为，半径为.圆:的圆心为，半径为.两个圆的圆心距为.如图：因为，可得的最大值为直径，此时，.当半径扩大到55时，此时圆上只有一点到的距离为25，而且是最小值，半径再扩大，就不会满足.故选：A.【点睛】本题主要考查两个圆的位置关系，直线与圆的综合应用，属于中档题.10.在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（）A.8 B.6 C. D.4【答案】D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，①而条件中的“高”容易联想到面积，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题．11.经过作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为________；________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据直线的斜率公式，求出直线AP,BP的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.【详解】由斜率公式可得，,,故直线的斜率的取值范围为，由斜率与倾斜角的公式可得，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故直线的倾斜角的取值范围为.故答案为：；【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.12.已知直线:，:，当时，的值为____；当时，的值为________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由于可得且，从而可求出的值；由可得，从而可求出的值.【详解】解：因为:，:，且，所以且，解得；当时，，解得故答案为：；【点睛】此题考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题.13.数列中，前项和为．若，，（，），则________；________．【答案】(1).(2).29【解析】【分析】根据，，（，），往后列举，可得到数列周期，由，，，即得解【详解】由题意，，，（，），故数列为周期的周期数列由于故故答案为：，29【点睛】本题考查了数列周期性的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题14.在数列中，，，则该数列通项公式________；数列中最小的项的值为________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】对裂项，利用累加法即可求出数列的通项公式，根据数列与函数的关系即可判断数列的单调性，进一步可求解最小的项的值.【详解】由题意知，.当时，当时，也满足该式，故该数列的通项公式；由，结合反比例函数的单调性可知当时，数列为单调递增数列，故数列中最小的项的值为.故答案为：；【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式及数列的单调性的判断，考查裂项的技巧，属于基础题.15.过直线和的交点，且过点的直线的方程为________．【答案】【解析】【分析】求出直线和的交点为，由直线过和，求出其斜率，进而求得直线的方程即可.详解】解：由得，所以直线和交点为.因为直线过和，所以直线的斜率.所以直线的点斜式方程为，化为一般式为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.16.已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为.【答案】5【解析】试题分析：，所以，所以，所能取得的最大整数为5.考点：数列.17.在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值是________.【答案】18【解析】试题分析：动点到两直线和的距离之和为即，设，则，，若，当时，取得最大值为18，若，当时，取得最大值为10，综上可知，当点在时，取得最大值为18.考点：点到直线的距离和二次函数的应用.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.在中，角的对边分别为，且成等差数列（1）若，求的面积（2）若成等比数列，试判断的形状【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】试题解析：（1）由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．（2）得B=b2=a2+c2-2accosB所以解得或（舍去）所以（2）由a，b，c成等比数列，有b2=ac（4）由余弦定理及（3），可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac再由（4），得a2+c2-ac=ac，即（a-c）2=0因此a=c从而A=C（5）由（2）（3）（5），得A=B=C=所以△ABC为等边三角形．19.已知数列的首项，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由已知满足整理得,利用等差数列的通项公式即可得出结果.(2)由(1)知:再利用错位相减法与等比数列的前项和公式即可得出.【详解】解：（1）因为,整理得，所以数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知，，，①，②①－②有，解得：.【点睛】本题考查等差数列的证明,考查错位相减法在数列求和中的应用,难度较易.20.已知直线:，点．（1）求点关于直线的对称点的坐标；（2）直线关于点对称的直线的方程；（3）以为圆心，3为半径长作圆，直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）设点，由关于直线对称，列出方程，解得，得到点的坐标；（2）设是直线上任意一点，则点关于点的对称点在直线，用代入法可求得直线的方程；（3）用垂径定理将弦长为，转化为圆心到直线的距离为，设出直线的方程，用点到直线的距离公式求解，注意考虑直线斜率不存在时是否符合题意.【详解】解：（1）设点，则，解得：即点关于直线的对称点的坐标为.（2）设是直线上任意一点，则点关于点的对称点在直线上，所以，即．（3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，因此，当直线斜率不存在时，不满足条件；当直线斜率存在时，设其方程为，则，解得，综上，直线的方程为或．【点睛】本题考查了点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的问题，还考查了直线与圆相交的弦长问题，属于中档题.21.如图，在等腰直角中，，，点在线段上.(Ⅰ)若，求的长；（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值.【答案】(Ⅰ)或（Ⅱ）当时，的面积的最小值为【解析】【详解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=.故S△OMN=OM·ON·sin∠MON=×======.因为0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值.即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.22.已知中，，，为边上的一点，．从向作垂线，垂足是；从向作垂线，垂足是；从向作垂线，垂足是，再由开始重复上