福建省宁德市城澳中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析_第1页
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文档简介

福建省宁德市城澳中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8=(

)A.18

B.36

C.54

D.72参考答案:D2.已知不等式组的解集记为D,则对?(x,y)∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是()A.(2,1) B.(2,2) C.3 D.4参考答案:A【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).设z=2x﹣y,则y=2x﹣z,平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大.即,即C(2,1),故使得2x﹣y取最大值时的最优解是(2,1),故选:A.【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.3.一已知等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若a3+a4+a5=42,则S7=()A.98 B.49 C.14 D.147参考答案:A【考点】85:等差数列的前n项和.【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值,由等差数列的前n项和公式求出S7的值.【解答】解:等差数列{an}中,因为a3+a4+a5=42,所以3a4=42,解得a4=14,所以S7==7a4=7×14=98,故选A.4.设是虚数单位,集合,,则为( )A.

B.

C. D.参考答案:D略5..已知集合A={1,2,3,4},B={5,6},设映射f:A→B使集合B中的元素在A中都有原象,这样的映射个数共有(

)A.16 B.14 C.15 D.12参考答案:B6.曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为

)A.30°

B.45°

C.60°

D.120°参考答案:C7.如图,△ABC中,||=3,||=1,D是BC边中垂线上任意一点,则?(﹣)的值是(

) A.1 B. C.2 D.4参考答案:D考点:平面向量数量积的运算.专题:计算题.分析:由D是BC边中垂线上任意一点,不妨取BC的中点,则?(﹣)==,代入可求解答: 解:∵D是BC边中垂线上任意一点,不妨取BC的中点即可又∵||=3,||=1,∴?(﹣)===故选D点评:本题主要考查了向量的数量积的表示,注意解答本题的方法:一般问题特殊化的应用8.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是()

参考答案:A9.下列集合A到集合B的对应中,构成映射的是 参考答案:D略10.(5分)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是()A.11010B.01100C.10111D.00011参考答案:C【考点】:抽象函数及其应用.【专题】:压轴题.【分析】:首先理解⊕的运算规则,然后各选项依次分析即可.解:A选项原信息为101,则h0=a0⊕a1=1⊕0=1,h1=h0⊕a2=1⊕1=0,所以传输信息为11010,A选项正确;B选项原信息为110,则h0=a0⊕a1=1⊕1=0,h1=h0⊕a2=0⊕0=0,所以传输信息为01100,B选项正确;C选项原信息为011,则h0=a0⊕a1=0⊕1=1,h1=h0⊕a2=1⊕1=0,所以传输信息为10110,C选项错误;D选项原信息为001,则h0=a0⊕a1=0⊕0=0,h1=h0⊕a2=0⊕1=1,所以传输信息为00011,D选项正确;故选C.【点评】:本题考查对新规则的阅读理解能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(4分)(2015?上海模拟)设f(x)的反函数为f﹣1(x),若函数f(x)的图象过点(1,2),且f﹣1(2x+1)=1,则x=.参考答案:【考点】:反函数.【专题】:计算题.【分析】:由反函数的性质知,函数f(x)的图象过点(1,2),则其反函数的性质一定过点(2,1),由于f﹣1(2x+1)=1故可得2x+1=2,解即可解:由题意函数f(x)的图象过点(1,2),则其反函数的性质一定过点(2,1),又f﹣1(2x+1)=1,故2x+1=2,解得x=,故答案为:.【点评】:本题考查反函数,求解本题关键是理解反函数的性质,由此得出2x+1=2.12.=

.参考答案:略13.已知P是圆C:上的一个动点,A(,1),则的最小值为______.参考答案:2(-1)略14.已知函数的最大值为,最小值为,则函数的最大值是________________.参考答案:略15.函数在区间上为减函数,则的取值范围为

参考答案:16.数列的前n项和为,且数列的各项按如下规则排列:

则=

,若存在正整数k,使,则k=

。参考答案:,2017.若“”是“”的充分不必要条件,则的最大值为_________.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.命题P:实数满足,其中;命题Q:实数满足或,且是的必要条件,求的取值范围参考答案:命题P:实数满足,其中;命题Q:实数满足或,且是的必要条件,求的取值范围解:P:设A==---------3分

Q:B==---------7分

:,又是的必要条件--------------11分即的取值范围是-------------12分略19.已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=相切,点A为圆C1上一动点,AN⊥x轴于点N,且动点M满足,设动点M的轨迹为曲线C.(1)求动点M的轨迹曲线C的方程;(2)若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O,求线段PQ长度的取值范围.参考答案:【考点】KP:圆锥曲线的范围问题;J3:轨迹方程;KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)设动点M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x轴于点N.推出N(x0,0).通过直线与圆相切,求出圆的方程,然后转化求解曲线C的方程.(2)①假设直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,通过,以及弦长公式,利用基本不等式求出范围.②若直线l的斜率不存在,设OP所在直线方程为y=x,类似①求解即可.【解答】解:(I)设动点M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x轴于点N.∴N(x0,0).又圆与直线即相切,∴.∴圆.由题意,,得,∴.∴,即∴将代入x2+y2=9,得曲线C的方程为.(II)(1)假设直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0.由求根公式得.(*)∵以PQ为直径的圆过坐标原点O,∴.即.∴x1x2+y1y2=0.即∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.化简可得,.将(*)代入可得,即3m2﹣8k2﹣8=0.即,又.将代入,可得=.∴当且仅当,即时等号成立.又由,∴,∴.(2)若直线l的斜率不存在,因以PQ为直径的圆过坐标原点O,故可设OP所在直线方程为y=x,联立解得,同理求得,故.综上,得.20.已知函数,设是的导数,.(1)求的值;(2)证明:对于任意,等式都成立.参考答案:(1)0;(2)见解析【分析】(1)由于求两个函数的相除的导数比较麻烦,根据条件和结论先将原函数化为:,然后两边求导后,根据条件两边再求导得:,把代入式子求值;(2)由(1)得,和,利用相同的方法再对所得的式子两边再求导,并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳,再进行猜想得到等式,用数学归纳法进行证明等式成立,主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明,最后把代入所给的式子求解验证.【详解】(1)∵,∴,则两边求导,,∵为的导数,,∴,两边再同时求导得,,将代入上式得,;(2)证明:由(1)得,,恒成立两边再同时求导得,,再对上式两边同时求导得,同理可得,两边再同时求导得,,猜想得,对任意恒成立,下面用数学归纳法进行证明等式成立:当时,成立,则上式成立;假设时等式成立,即,∵又,∴那么(且)时.等式也成立,由①②得,对任意恒成立.令代入上式得,,所以,对于任意,等式都成立.【点睛】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式,以及数学归纳法证明命题、转化思想等,考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力,以及逻辑思维能力.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(x))处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.参考答案:(1)f′(x)=3x2-3a.因为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,解得a=4,b=24.(2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0).当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;此时函数f(x)没有极值点.当a>0时,由f′(x)=0得x=±.当x∈(-∞,-)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(-,)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.故x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点.22.已知函数f(x)=|x﹣1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f().参考答案:【考点】绝对值不等式的解法;不等式的证明.【分析】(Ⅰ)根据f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=,分类讨论求得不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集.(Ⅱ)要证的不等式即|ab﹣1|>|a﹣b|,根据|a|<1,|b|<1,可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2>0,从而得到所证不等式成立.【解答】解:(Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=,当x<﹣3时,由﹣2x﹣2≥8,解得x≤﹣

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