福建省宁德市城澳中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

福建省宁德市城澳中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18－a5，则S8=（

）A．18

B．36

C．54

D．72参考答案：D2.已知不等式组的解集记为D，则对?（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1） B．（2，2） C．3 D．4参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．即，即C（2，1），故使得2x﹣y取最大值时的最优解是（2，1），故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3.一已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n项和公式求出S7的值．【解答】解：等差数列{an}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．4.设是虚数单位，集合，，则为（ ）A.

B.

C. D.参考答案：D略5.．已知集合A={1,2,3,4}，B={5,6}，设映射f：A→B使集合B中的元素在A中都有原象，这样的映射个数共有（

）A．16 B．14 C．15 D．12参考答案：B6.曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为

（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．120°参考答案：C7.如图，△ABC中，||=3，||=1，D是BC边中垂线上任意一点，则?（﹣）的值是(

) A．1 B． C．2 D．4参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由D是BC边中垂线上任意一点，不妨取BC的中点，则?（﹣）==，代入可求解答： 解：∵D是BC边中垂线上任意一点，不妨取BC的中点即可又∵||=3，||=1，∴?（﹣）===故选D点评：本题主要考查了向量的数量积的表示，注意解答本题的方法：一般问题特殊化的应用8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）

参考答案：A9.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是 参考答案：D略10.（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011参考答案：C【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：压轴题．【分析】：首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选C．【点评】：本题考查对新规则的阅读理解能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）（2015?上海模拟）设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．参考答案：【考点】：反函数．【专题】：计算题．【分析】：由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】：本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．12.=

．参考答案：略13.已知P是圆C：上的一个动点，A(,1)，则的最小值为______.参考答案：2(-1)略14.已知函数的最大值为，最小值为，则函数的最大值是________________.参考答案：略15.函数在区间上为减函数，则的取值范围为

参考答案：16.数列的前n项和为，且数列的各项按如下规则排列：

则=

，若存在正整数k，使，则k=

。参考答案：,2017.若“”是“”的充分不必要条件，则的最大值为_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.命题P:实数满足，其中；命题Q：实数满足或，且是的必要条件，求的取值范围参考答案：命题P:实数满足，其中；命题Q：实数满足或，且是的必要条件，求的取值范围解：P:设A==---------3分

Q:B==---------7分

：

：，又是的必要条件--------------11分即的取值范围是-------------12分略19.已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．参考答案：【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．20.已知函数，设是的导数，.(1)求的值；(2)证明：对于任意，等式都成立.参考答案：（1）0；（2）见解析【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：，然后两边求导后，根据条件两边再求导得：，把代入式子求值；（2）由（1）得，和，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后把代入所给的式子求解验证．【详解】（1）∵，∴，则两边求导，，∵为的导数，，∴，两边再同时求导得，，将代入上式得，；（2）证明：由（1）得，，恒成立两边再同时求导得，，再对上式两边同时求导得，同理可得，两边再同时求导得，，猜想得，对任意恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：当时，成立，则上式成立；假设时等式成立，即，∵又，∴那么（且）时．等式也成立，由①②得，对任意恒成立．令代入上式得，，所以，对于任意，等式都成立．【点睛】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．21.（本小题满分12分）设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．参考答案：(1)f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，解得a＝4，b＝24.(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．故x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．22.已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣