2024学年天津市南开区高二数学（上）期末考试卷附答案解析

学年天津市南开区高二数学（上）期末考试卷2025.01一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）已知数列{an}的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…（）A．an＝（﹣1）n﹣1（3n﹣2） B．an＝（﹣1）n﹣1（3n+1） C．an＝（﹣1）n（3n﹣2） D．an＝（﹣1）n（3n+1）2．（3分）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（）A．2 B．4 C． D．63．（3分）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（0，4） B．（﹣∞，0） C．（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，4）4．（3分）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a2+a5+a8＝3，则S9＝（）A．3 B．6 C．9 D．275．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CD和A1B1的中点，则异面直线AF与D1E所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．6．（3分）数列{an}满足a1＝2，，其前n项积为Tn，则T10等于（）A． B． C．6 D．﹣67．（3分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S2n＝6，则S4n＝（）A．8 B．12 C．14 D．208．（3分）与圆x2+（y﹣1）2＝1相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条9．（3分）已知数列{an}满足a1＝10，，则的最小值为（）A．2﹣1 B． C． D．10．（3分）已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，△PF1F2的内切圆与PF1切于点M，过点Q（1，1）的直线l与C交于A，则下列结论中①|PF1|+|PQ|的最大值为5；②△PF1F2的内切圆面积最大值为π；③|PM|为定值1；④若Q为AB中点，则l的方程为3x+4y﹣7＝0，正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上。11．（3分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是．12．（3分）已知等比数列{an}的公比，则等于．13．（3分）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是．14．（3分）已知M为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，P（3，1），则|MP|+|MF|的最小值为．15．（3分）已知F是双曲线的右焦点，直线，B两点，O为坐标原点，P，BF的中点，且，则双曲线E的离心率为．三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．17．（10分）曲线C上的每一点到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x＝﹣1的距离相等．（1）求曲线C的方程；（2）过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|＝818．（10分）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an﹣1，n∈N*．数列{bn}是等差数列，且b1＝﹣a1，b2+b4＝﹣10．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，O为棱AD的中点，PO⊥平面ABCD（1）求证：AC⊥PB；（2）求C到平面POB的距离；（3）求平面PAB与平面POB夹角的余弦值．20．（13分）已知A（，）为椭圆C：＝1（a＞b＞0），F1、F2为椭圆C的左、右焦点，点F（，0），直线AF将△AF1F2的面积分为3：1两部分．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx+m（m＞0）与椭圆C相交于P，Q两点，O为坐标原点，且|OM|＝1

2024-2025学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CDBCBDDACC一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）已知数列{an}的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…（）A．an＝（﹣1）n﹣1（3n﹣2） B．an＝（﹣1）n﹣1（3n+1） C．an＝（﹣1）n（3n﹣2） D．an＝（﹣1）n（3n+1）【分析】根据题意，分析数列前4项的规律，用n表示即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{an}的前几项为：﹣1，4，﹣7，…，即（﹣1）1（6×1﹣2），（﹣6）2（3×7﹣2），（﹣1）5（3×3﹣6），（﹣1）4（5×4﹣2），故数列的一个通项公式可以为（﹣2）n（3×n﹣2）．故选：C．【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．2．（3分）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（）A．2 B．4 C． D．6【分析】利用双曲线方程求出a，b，然后求出c即可得到结果．【解答】解：双曲线的方程为：，可得a＝，b＝2＝3，所以双曲线的焦距长为：2c＝8．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属基础题．3．（3分）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（0，4） B．（﹣∞，0） C．（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，4）【分析】变形为，利用椭圆性质即可求解．【解答】解：变形为，要表示椭圆需要满足，解得m∈（﹣∞．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．4．（3分）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a2+a5+a8＝3，则S9＝（）A．3 B．6 C．9 D．27【分析】利用等差数列通项公式求出a5＝1，再由S9＝＝9a5，能求出结果．【解答】解：等差数列{an}，其前n项和为Sn，a2+a5+a4＝3，∴a2+a6+a8＝3a7＝3，解得a5＝4，则S9＝＝3a5＝9．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CD和A1B1的中点，则异面直线AF与D1E所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．【分析】根据题意，以向量为基底，表示出向量与，从而利用向量的数量积与夹角公式算出答案．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C8D1的棱长为1，根据题意，可得，，且．所以＝，因为，同理，所以＝，可得异面直线AF与D1E所成角的余弦值等于||＝．故选：B．【点评】本题主要考查正方体的结构特征、异面直线所成角的求法及其应用等知识，属于基础题．6．（3分）数列{an}满足a1＝2，，其前n项积为Tn，则T10等于（）A． B． C．6 D．﹣6【分析】通过计算数列的前几项，发现周期性，进而求T10．【解答】解：由题意，得，a1＝2，a7＝﹣3，a3＝﹣，a4＝，a5＝4，由此可见数列{an}具有周期性，且周期为4，所以T10＝a1•a8•a3•a4•a2•a6•a7•a7•a9•a10＝（a1•a4•a3•a4）•（a8•a2•a3•a8）•a1•a2＝﹣8．故选：D．【点评】本题主要考查数列的周期性，通过列举数列的前几项找出周期性是解决本题的关键，属中档题．7．（3分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S2n＝6，则S4n＝（）A．8 B．12 C．14 D．20【分析】依据等差数列的性质，能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2，S2n＝8，∴S2n﹣Sn＝6﹣2＝4，∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，S4n﹣S5n构成首项为2，公差为2的等差数列，∴S3n＝Sn+（S2n﹣Sn）+（S3n﹣S8n）+（S4n﹣S3n）＝5+4+6+8＝20．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前4n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（3分）与圆x2+（y﹣1）2＝1相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条【分析】由已知对直线的截距是否为0进行分类讨论，然后结合直线与圆相切的性质即可求解．【解答】解：直线的方程的截距为0时，直线过原点；当截距不为0时，设所求直线的方程为x+y＝a（a≠3），1），则圆心到直线的距离，即（a﹣1）8＝2，解得：，满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条，综上，满足题意的直线有4条．故选：A．【点评】本试题主要考查了直线与圆相切的情况，以及截距相等的分类讨论思想的运用，属于基础题．9．（3分）已知数列{an}满足a1＝10，，则的最小值为（）A．2﹣1 B． C． D．【分析】先由题设⇒an+1﹣an＝2n，然后利用叠加法求得an，进而求得，再利用单调性求得其最小值．【解答】解：∵a1＝10，，∴an+1﹣an＝2n，∴a6﹣a1＝2，a4﹣a2＝4，a2﹣a3＝6，…an﹣an﹣3＝2n﹣2，n≥2，将以上式子相加，可得：an﹣a1＝2+3+6+…+2n﹣3＝，n≥8n＝n（n﹣1）+10，n≥2，又当n＝8时，有a1＝10也适合上式，∴an＝n（n﹣1）+10，∴＝n+，易知：当n≤7时，单调递减，单调递增，又＝，＝，∴的最小值为．故选：C．【点评】本题主要考查叠加法在求数列通项公式中的应用及单调性在求数列的最小项中的应用，属于中档题．10．（3分）已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，△PF1F2的内切圆与PF1切于点M，过点Q（1，1）的直线l与C交于A，则下列结论中①|PF1|+|PQ|的最大值为5；②△PF1F2的内切圆面积最大值为π；③|PM|为定值1；④若Q为AB中点，则l的方程为3x+4y﹣7＝0，正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据椭圆的定义及两点之间线段最短结论判断命题①，结合椭圆的定义及内切圆的性质判断命题②③，利用点差法求直线l的方程判断命题④，由此可得结论．【解答】解：设椭圆C的长半轴为a，短半轴长为b，易知a＝2，，c＝3，此时F1（﹣1，2），F2（1，2），1），因为|PF1|+|PQ|＝8a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+|QF6|＝4+1＝7，当且仅当P，F2，Q三点共线时，等号成立，所以|PF1|+|PQ|的最大值为8，故①正确；设△PF1F2的内切圆的半径为r，易知，解得，当且仅当P为短轴顶点时，等号成立，所以△PF4F2的内切圆面积最大值为，故②错误；根据△PF3F2的内切圆的性质易得|PF1|+|PF3|﹣|F1F2|＝3|PM|，所以2a﹣2c＝4|PM|，解得|PM|＝a﹣c＝1，故③正确；若Q（1，5）为AB中点1，y1），B（x2，y2），因为A，B两点均在椭圆上，所以，两式相减得，所以，可得，解得，所以直线l的方程为，即3x+2y﹣7＝0，因为，所以点Q在椭圆C内，所以直线3x+4y﹣3＝0与椭圆相交，则直线3x+2y﹣7＝0满足条件，故④正确，综上所述，命题正确的有①③④．故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质的应用及三角形内切圆的性质的应用，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上。11．（3分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是．【分析】利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．【解答】解：因为直线的斜率为：﹣，所以tanα＝﹣，所以直线的倾斜角为：．故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．12．（3分）已知等比数列{an}的公比，则等于﹣3．【分析】根据等比数列的通项公式计算化简即可求解．【解答】解：等比数列{an}的公比q＝﹣，则＝＝﹣3．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题．13．（3分）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是．【分析】根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；将点代入方程，可得λ＝﹣1；即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠8）；又因为双曲线经过点，代入方程可得，λ＝﹣4；故这条双曲线的方程是；故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程，要求学生掌握由渐近线方程引入λ，进而设双曲线方程的方法，注意标明λ≠0．14．（3分）已知M为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，P（3，1），则|MP|+|MF|的最小值为4．【分析】设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|＝|MD|，进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得．【解答】解：设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|MF|＝|MD|，则问题可转化为求|MP|+|MD|的最小值，所以当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键，属于中档题．15．（3分）已知F是双曲线的右焦点，直线，B两点，O为坐标原点，P，BF的中点，且，则双曲线E的离心率为．．【分析】根据中位线的性质，利用直线垂直的条件，求出A的坐标，然后利用双曲线的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：根据对称性设A在第一象限，设A（m，，∵点P，Q，O分别为三角形ABF的三边的中点，∴OP∥BF，OQ∥AF，∵，∴OP⊥OQ，∴AF⊥BF，∵OF＝c，则OA＝OB＝c，则＝c，即，即m＝c，则A（c，，则左焦点（﹣c，3），0），则2a＝﹣＝c﹣c，则a＝c，即＝．即双曲线的离心率e＝．故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线离心率的的计算，利用中位线的性质和双曲线的定义建立方程关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）根据{an}为等差数列，前n项和为Sn，S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．利用公式即可求解公差和首项，可得数列{an}的通项公式；（2）将an的代入求解bn的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）根据{an}为等差数列，d≠0．前n项和为Sn，且S10＝110，即110＝10a1+45d，…①∵a7，a2，a4成等比数列．可得：a22＝a1•a2．∴（a1+d）2＝a4•（a1+3d）…②由①②解得：，∴数列{an}的通项公式为an＝4n（2）由bn＝，即bn＝＝．那么：数列{bn}的前n项和Tn＝b1+b2+…+bn＝（6﹣+）＝（4﹣【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（10分）曲线C上的每一点到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x＝﹣1的距离相等．（1）求曲线C的方程；（2）过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|＝8【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程；（2）直线方程联立抛物线方程消元，然后利用韦达定理，结合弦长求出直线方程．【解答】解：（1）∵曲线C上的点到F（1，0）的距离与到l：x＝﹣4的距离相等，∴轨迹为焦点在x轴上，以F（1，∴C的方程为y2＝5x．（2）设A（x1，y1），B（x7，y2），直线l的方程为x＝ty+1，联立消去x整理得y4﹣4ty﹣4＝5，∴y1+y2＝8t，y1y2＝﹣7．∴|AB|＝|y3﹣y2|＝•＝，解得t＝±1，∴直线l的方程为x±y﹣6＝0．【点评】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．18．（10分）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an﹣1，n∈N*．数列{bn}是等差数列，且b1＝﹣a1，b2+b4＝﹣10．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．【分析】（Ⅰ）先由数列{an}的前n项和Sn和通项an的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{an}的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；（Ⅱ）利用等比数列和等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，S1＝7a1﹣1＝a7得a1＝1，当n⩾3，n∈N*时，Sn﹣1＝2an﹣8﹣1①，由已知Sn＝2an﹣2②，②﹣①得an＝2an﹣2an﹣2，所以an＝2an﹣1，所以数列{an}为等比数列，且公比为q＝4，因为a1＝1，所以，设数列{bn}公差为d，b1＝﹣1，b7+b4＝（b1+d）+（b7+3d）＝2b6+4d＝﹣10，由得d＝﹣2，所以；（Ⅱ）设，前n项和＝＝2n﹣n5﹣1．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，O为棱AD的中点，PO⊥平面ABCD（1）求证：AC⊥PB；（2）求C到平面POB的距离；（3）求平面PAB与平面POB夹角的余弦值．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线线垂直；（2）用空间向量的方法求点到面的距离；（3）用空间向量的方法求面面角的余弦值．【解答】（1）证明：由题可知OP，AD，所以以O