2024-2025学年广东省大湾区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省大湾区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，已知向量a=(−3,2,2−m),b=(m,9,3)，若a⊥bA.−4 B.−2 C.2 D.42.过点P(−3,1)，倾斜角为60°的直线方程是A.3x+y+4=0B.x−3y+23.圆M：(x−1)2+y2=4与圆NA.相交 B.内切 C.外切 D.相离4.已知数列{an}的各项均不为0，a1=1，1A.120 B.121 C.1225.方程x22+k+y28−k=1表示焦点在A.k>−2 B.k<8 C.−2<k<8 D.−2<k<36.关于方程x2+xy+2y2A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于y=x对称 D.关于原点中心对称7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点.若A.x225+y215=1 B.8.古典吉他的示意图如图所示.A0，B分别是上弦枕、下弦枕，Ai(i=1,2,…,19)是第i品丝.记ai为Ai与Ai−1的距离，Li为Ai与A0的距离，且满足ai=xL−Li−1M，i=1，2，…，19，其中A.数列a1，a2，…，a19是等差数列，且公差为−XLM2

B.数列a1，a2，…，a19是等比数列，且公比为M−1M

C.数列L1，L2，…，L19二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.直线l过抛物线C：x2=4y的焦点F，且与C交于A(x1,yA.抛物线C的焦点坐标为(1,0) B.|AB|的最小值为4

C.对任意的直线l，x1⋅x2=1 D.10.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=3，底面ABCD为菱形，A.BD1=AD−AB+AA1

B.四边形B1BDD11.已知数列C1：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则f：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列Ck+1=f(Ck)，k=1，2，3，…且CA.Cn的项数为5⋅3n−1 B.S4=136

C.C5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.点M(x,y)为圆x2+y2−4x+3=013.已知双曲线x2a2−y2b14.正方形ABB1A1的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边AA1，A1B1的距离分别为3和1，点Q到边BB1，AB的距离也分别为3和1.现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C：x2+y2−2x−4y−1=0，直线l：(2m+1)x+(m+2)y−3m−6=0．(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短弦长．16.(本小题15分)

已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1+a2=3，S4=15．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ17.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥V−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，侧面VBC⊥底面ABCD且VB=VC=BC=AB=2CD=2，E为VA中点．

(1)求证：EB⊥AD；

(2)求二面角B−VD−A的正弦值；

(3)求点C到平面VAD的距离．18.(本小题17分)

在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量n=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若直线l以n为方向向量且经过点P0，则直线l的标准式方程可表示为x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)；若平面α以n为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，一般式方程可表示为ax+by+cz+d=0．

(1)证明：向量n=(a,b,c)是平面α：ax+by+cz+d=0的法向量；

(2)若平面α1：x+2y−1=0，平面β1：2y−z+1=0，直线l19.(本小题17分)

已知双曲线C：y2−x2=1，上顶点为D.直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点(B在第一象限)，与x轴交于点T.设直线DA，DB的倾斜角分别为α，β．

(1)若T(33,0)，

(i)若A(0,−1)，求β；

(ii)求证：α+β为定值；

(2)若β=π6，直线DB与参考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.D

6.D

7.A

8.B

9.BD

10.ABD

11.ABC

12.[−13.514.615.解：(1)直线l：(2m+1)x+(m+2)y−3m−6=0，

可化为(2x+y−3)m+(x+2y−6)=0，

联立2x+y−3=0,x+2y−6=0,解得x=0,y=3,故直线l恒过定点(0,3)．

(2)由x2+y2−2x−4y−1=0，配方得(x−1)2+(y−2)2=6，

所以圆心C(1,2)，半径为6，直线l恒过定点P(0,3)，

当直线l⊥CP时，直线l被圆截得的弦长最短．

因为直线CP的斜率为kPC=3−20−1=−1，

故直线l的斜率为16.解：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q，q>0，

∵a1+a2=3，S4=15，

∴a3+a4=a1q2+a2q2=q2(a1+a17.(1)证明：取BC中点O，连接VO，由VB=VC=BC=2，得VO⊥BC，

又平面VBC⊥平面ABCD，平面VBC∩平面ABCD=BC，VO⊂平面VBC，

则VO⊥平面ABCD，过O作Ox//AB，由∠ABC=90°，得AB⊥BC，Ox⊥BC，

而Ox，BC⊂平面ABCD，则VO⊥Ox，VO⊥BC，

以O为原点，直线Ox，OB，OV所在直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，如图：

由AB/​/CD，AB=2CD=2，

得A(2,1,0),B(0,1,0),C(0,−1,0),D(1,−1,0),V(0,0,3)，

VA中点E(1,12,32)，则BE=(1,−12,32),AD=(−1,−2,0)，

因此BE⋅AD=1×(−1)+(−12)×(−2)+32×0=0，即BE⊥AD，

所以EB⊥AD；

(2)解：由(1)知，DB=(−1,2,0),DV=(−1,1,3),DA=(1,2,0)，

设平面BVD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则由n⊥DB，n⊥DV，可得n⋅DB=−x+2y=0n⋅DV=−x+y+3z=0，

令z=1，得n=(23,18.解：(1)证明：取平面ax+by+cz+d=0内的任意两点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

则ax1+by1+cz1+d=0,ax2+by2+cz2+d=0,两式相减得，a(x2−x1)+b(y2−y1)+c(z2−z1)=0，

即n⋅AB=0，所以n⊥AB，从而n⊥α，

故n=(a,b,c)是平面α的法向量．

(2)记平面α1，β1的法向量为α1=(1,2,0)，β1=(0,2,−1)，

设直线l的方向向量l=(x,y,z)，

因为直线l为平面α1和平面β1的交线，所以α1⊥l,β1⊥l，β1⊥19.解：(1)(i)kTA=3，所以TA：y=3x−1，

TA与C联立可得x2−3x=0，解得x=0或x=3，所以B(3,2)．

所以kDB=33，所以β=π6；

(ii)证明：(1)直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为y=k(x−33)，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)

由y=k(x−33)y2−x