天津市河东区2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 含解析

河东区2024~2025学年度第一学期期末质量检测高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的通项公式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意逐一检验选项即可.【详解】对于选项A：令，可得，不合题意；对于选项B：代入检验均可，符合题意；对于选项C：令，可得，不合题意；对于选项D：令，可得，不合题意；故选：B.2.已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】由已知判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得.【详解】，且，数列是以为首项，以为公差的等差数列，通项公式为，，故选：B.3.已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】因为等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为公比为9，首项为6，那么利用前n项和公式可知为，选D4.已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程．【详解】因为双曲线的焦距为，所以，则，解得，，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.5.抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可.【详解】因为抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，所以是抛物线的准线，故，解得，故A正确.故选：A6.已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（）A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD.若m＝0，n＞0，则C是两条直线【答案】B【解析】【分析】就不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，当m＞n＞0时，有，方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，由m＝n＞0，方程变形为，该方程表示半径为圆，故B错误；对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．故选：B.7.已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（）A.1 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令，得，故直线恒过，设，该点在圆内，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，，此时.故选：C.8.若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积．【详解】由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得：，解得：，则，故A项正确.故选：A.9.已知数列满足：，则下列命题正确的是（）A.若数列为常数列，则 B.存在，使数列为递减数列C.任意，都有为递减数列 D.任意，都有【答案】D【解析】【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.【详解】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误；对B:易得，若为递减数列，则，解得或且，故不存在使得递减数列，故B错误；对C,令，则，故不是递减数列，故C错误；对D,用数学归纳法证明当显然成立，假设当，则时，，故当时成立,由选项B知，对任意则数列为递减数列，故故D正确故选：D【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上.2．本卷共11小题，共105分.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】先求出双曲线的右顶点坐标进而得抛物线的焦点坐标，即可得抛物线方程.【详解】双曲线，所以右顶点（4,0），抛物线的焦点也为（4,0），所以，，抛物线的标准方程为：故答案为：.11.已知数列为等比数列，若，则数列的前6项和为______.【答案】【解析】【分析】求解的通项公式，进而可得的通项公式再求和即可.【详解】由题意，公比为，则，故.故数列的前6项和为.故答案为：12.在等差数列中，已知公差，且，则__________.【答案】145【解析】【分析】根据题意得到，再由等差数列性质得到，代入数据计算即可得到答案.【详解】等差数列中，已知公差，.故答案为：145.13.记抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，，直线与拋物线另一交点为B，则________．【答案】【解析】【分析】求出抛物线方程及直线方程并联立，求出点的横坐标，再根据抛物线定义求解即可.【详解】因为，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得，即抛物线方程为，不妨取，又，则直线斜率,所以，联立，消去整理得，解得，，即点的横坐标为，则.故答案为：.14.设F为双曲线C：（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据几何知识得出，根据勾股定理求出与c之间的关系，进而得出C的离心率.【详解】由题意，作出图像如下图所示：设双曲线C：(，)的右焦点的坐标为F(c,0).由圆的对称性及条件可知，PQ是以为直径的圆的直径，且，设垂足为M，连接，则，，由，得，故，即.故答案为：.15.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.【答案】①.5②.【解析】分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.直线与双曲线相交于A，B两点．（1）求的长；（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？【答案】（1）(且)；（2）.【解析】分析】（1）联立方程组利用韦达定理及弦长公式即求；（2）由题可得，进而可得，即求.【小问1详解】设，由，可得，由题可得，，解得且，∴，∴的长为(且).【小问2详解】∵以AB为直径的圆经过坐标原点，∴，∴，∴，即，∴，解得,经检验，时以AB为直径的圆经过坐标原点.17.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得，解得，或，当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；当时，an（2n+79），bn＝9•；（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，∴Tn＝2（2n﹣1）•3，∴Tn＝6．【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18.设数列的前n项和，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由可得，再通过化简结合等比数列的定义即可证明；（2）先结合（1）求出，再根据时，求出，最后验证即可.【小问1详解】，，即，即，即，即，又，数列是以首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）知：，即，当时，，，又也适合上式，故.19.已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）[方法一]：椭圆的第二定义由椭圆第二定义知，则有，所以，即．又由，得．从而，解得．所以．故椭圆与抛物线的标准方程分别是．[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．故的标准方程为，的标准方程为．[方法三]：参数方程由（1）知，椭圆的方程为，所以的参数方程为（为参数），将它代入抛物线的方程并化简得，解得或（舍去），所以，即点M的坐标为．又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．故的标准方程为，的标准方程为．[方法四]【最优解】：利用韦达定理由（1）知，，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为.【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.20.已知等比数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1