2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-第五章5.45.4.3A组·素养自测一、选择题1．函数y＝tan(x＋eq\f(π,4))的定义域是(A)A．{x∈R|x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}B．{x∈R|x≠kπ－eq\f(π,4)，k∈Z}C．{x∈R|x≠2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}D．{x∈R|x≠2kπ－eq\f(π,6)，k∈Z}[解析]由正切函数的定义域可得，x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴x≠eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x∈R|x≠eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}．2．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(eq\f(π,12)，0)，则φ可以是(A)A．－eq\f(π,6) B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,12) D．eq\f(π,12)[解析]∵函数的图象过点(eq\f(π,12)，0)，∴tan(eq\f(π,6)＋φ)＝0，∴eq\f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，令k＝0，则φ＝－eq\f(π,6)，故选A．3．函数f(x)＝tan(ωx－eq\f(π,4))与函数g(x)＝sin(eq\f(π,4)－2x)的最小正周期相同，则ω＝(A)A．±1 B．1C．±2 D．2[解析]eq\f(π,|ω|)＝eq\f(2π,|－2|)，ω＝±1.4．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的图象是(A)[解析]由f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，知f(x＋2π)＝tan[eq\f(1,2)(x＋2π)－eq\f(π,3)]＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))＝f(x)．∴f(x)的周期为2π，解除B，D．令taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))＝0，得eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)．∴x＝2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，若k＝0，则x＝eq\f(2π,3)，即图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，故选A．5．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(3π,2)))，则函数的值域为(C)A．(eq\r(3)，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，＋∞))C．(－eq\r(3)，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))[解析]由eq\f(2π,3)<x<eq\f(3π,2)，即－eq\f(3π,2)<－x<－eq\f(2π,3)，得eq\f(π,6)－eq\f(3π,2)<eq\f(π,6)－x<eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)，即－eq\f(4π,3)<eq\f(π,6)－x<－eq\f(π,2)，从而taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝－eq\r(3).故函数的值域为(－eq\r(3)，＋∞)．6．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为(B)A．3 B．5C．7 D．9[解析]在同始终角坐标系中画出函数y＝tanx与函数y＝sinx在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B．二、填空题7．函数y＝3tan(2x＋eq\f(π,3))的对称中心的坐标为__(eq\f(kπ,4)－eq\f(π,6)，0)(k∈Z)__.[解析]令2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,4)－eq\f(π,6)(k∈Z)，∴对称中心的坐标为(eq\f(kπ,4)－eq\f(π,6)，0)(k∈Z)．8．求函数y＝tan(－eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4))的单调区间是__(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3,2)π)(k∈Z)__.[解析]y＝tan(－eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4))＝－tan(eq\f(1,2)x－eq\f(π,4))，由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，∴函数y＝tan(－eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4))的单调递减区间是(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3,2)π)，k∈Z.9．函数f(x)＝tanax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq\f(π,3)所得线段长为2，则a的值为__eq\f(π,2)__.[解析]由题意可得T＝2，所以eq\f(π,a)＝2，a＝eq\f(π,2).三、解答题10．求下列函数的周期及单调区间．(1)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))；(2)y＝|tanx|.[解析](1)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，∴T＝eq\f(π,|ω|)＝4π，∴y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的周期为4π.由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(x,4)－eq\f(π,6)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得4kπ－eq\f(4π,3)<x<4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)，∴y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)内单调递增，无单调递增区间．∴y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)内单调递减．(2)由于y＝|tanx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))k∈Z，,－tanx，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))k∈Z.))∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，单调减区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．11．已知－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．[解析]∵－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)，∴－eq\r(3)≤tanx≤1，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，当tanx＝－1，即x＝－eq\f(π,4)时，ymin＝1；当tanx＝1，即x＝eq\f(π,4)时，ymax＝5.B组·素养提升一、选择题1．若a＝logeq\f(1,2)tan70°，b＝logeq\f(1,2)sin25°，c＝logeq\f(1,2)cos25°，则(D)A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a<c<b[解析]∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°，∴logeq\f(1,2)sin25°>logeq\f(1,2)cos25°>logeq\f(1,2)tan70°.即a<c<b.2．(2024·河北新高考高一模拟选科)已知函数f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，若f(eq\f(π,3))＝1，则f(－eq\f(π,3))＝(C)A．1 B．－1C．3 D．－3[解析]∵f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，f(eq\f(π,3))＝1，∴f(eq\f(π,3))＝mtaneq\f(π,3)－ksineq\f(π,3)＋2＝eq\r(3)m－eq\f(\r(3),2)k＋2＝1，∴eq\r(3)m－eq\f(\r(3),2)k＝－1，∴f(－eq\f(π,3))＝mtan(－eq\f(π,3))－ksin(－eq\f(π,3))＋2＝－eq\r(3)m＋eq\f(\r(3),2)k＋2＝3.3．(多选题)下列说法正确的是(BD)A．taneq\f(8π,7)>taneq\f(2π,7)B．sin145°<tan47°C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,ω)D．函数y＝2tanx(eq\f(π,4)≤x<eq\f(π,2))的值域是[2，＋∞)[解析]A错误，taneq\f(8π,7)＝tan(π＋eq\f(π,7))＝taneq\f(π,7)，因为0<eq\f(π,7)<eq\f(2π,7)<eq\f(π,2)，函数y＝tanx在(0，eq\f(π,2))上单调递增，所以taneq\f(π,7)<taneq\f(2π,7)，即taneq\f(8π,7)<taneq\f(2π,7)；B正确，sin145°＝sin35°<1，tan47°>1，故sin145°<tan47°；C错误，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)；D正确，∵eq\f(π,4)≤x<eq\f(π,2)，∴由函数的单调性可知y＝2tanx≥2，故选BD．4．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对随意x1，x2∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是(AD)A．f(x1＋π)＝f(x1) B．f(－x1)＝f(x1)C．f(0)＝1 D．eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0[解析]由于f(x)＝tanx的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tanx为奇函数，故B不正确；f(0)＝tan0＝0，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)＝tanx为区间(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上的增函数，故D正确．二、填空题5．若函数y＝tanωx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.[解析]若ω使函数在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0.6．给出下列命题：(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；(2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；(3)函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan2x＋\f(π,3)))的周期是eq\f(π,2)；(4)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))是偶函数．其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.[解析]y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tanx在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan2x＋\f(π,3)))的周期是eq\f(π,2).∴(3)对；y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π＋x))＝cosx是偶函数，∴(4)对．因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．7．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1，则x的取值范围是__eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋\f(kπ,2)，\f(5π,24)＋\f(kπ,2)))(k∈Z)__.[解析]令z＝2x－eq\f(π,6)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满意tanz≤1的z的值是－eq\f(π,2)<z≤eq\f(π,4)，在整个定义域上有－eq\f(π,2)＋kπ<z≤eq\f(π,4)＋kπ，解不等式－eq\f(π,2)＋kπ<2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,4)＋kπ，得－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)<x≤eq\f(5π,24)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.三、解答题8．当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))时，若使a－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的值总大于零，求a的取值范围．[解析]∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，∴0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,3).又y＝tanx在e