2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.1.3排列的综合应用练习新人教A版选修2-3

PAGE2-1-3排列的综合应用[综合训练·实力提升]一、选择题（每小题5分，共30分）1．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中参与某项志愿者活动，要求每人参与一天且每天至多支配一人，并要求甲支配在另外两位前面，不同的支配方法共有A．20种B．30种C．40种D．60种解析分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有Aeq\o\al(2,4)种支配方法；甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排，有Aeq\o\al(2,3)种支配方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有Aeq\o\al(2,2)种支配方法．由分类加法计数原理可知，共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝20种不同的支配方法．答案A2．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个B．120个C．96个D．72个解析分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0，2；其次类是万位数字为5，个位数字分别为0，2，4.当万位数字为4时，个位数字从0，2中任选一个，共有2Aeq\o\al(3,4)个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0，2，4中任选一个，共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)个偶数，故符合条件的偶数共有2Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝120(个)．答案B3．高三(1)班须要支配毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出依次，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A．1800B．3600C．4320D．5040解析利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列，有Aeq\o\al(5,5)种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入，有Aeq\o\al(2,6)种排法，所以共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,6)＝3600种排法．答案B4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为A．324B．328C．360D．648解析若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有Aeq\o\al(2,9)种排法；若个位数不是0，先从2，4，6，8中取一个放在个位，在其余的8个数(不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余的8个数(包括0)中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256种排法，所以满足条件的三位偶数的个数共有Aeq\o\al(2,9)＋4×8×8＝328.答案B5．(2024·全国卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种解析只能是一个人完成2项工作，有6种支配方案，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得6·Aeq\o\al(3,3)＝36.故选D.答案D6．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有A．288个B．240个C．144个D．126个解析第1类，个位数字是2，首位可排3，4，5之一，有Aeq\o\al(1,3)种排法，排其余数字有Aeq\o\al(3,4)种排法，所以有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)个数；第2类，个位数字是4，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)个数；第3类，个位数字是0，首位可排2，3，4，5之一，有Aeq\o\al(1,4)种排法，排其余数字有Aeq\o\al(3,4)种排法，所以有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)个数．由分类加法计数原理，可得共有2Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)＝240个数．答案B二、填空题（每小题5分，共15分）7．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析依据排列数公式求解．Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560.答案15608．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________(用数字作答)．解析先在前3节课中选一节支配数学，有Aeq\o\al(1,3)种支配方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节支配英语课，有Aeq\o\al(1,4)种支配方法；其余4节课无约束条件，有Aeq\o\al(4,4)种支配方法．依据分步乘法计数原理，不同的排法种数为Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝288.答案2889．用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有________个(用数字作答)．解析把相邻的两个数捆绑(看成一个整体)，三捆组内部都有Aeq\o\al(2,2)种排列方法，它们与另外2个数之间又有Aeq\o\al(5,5)种排列方法，依据分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝8×120＝960个八位数．答案960三、解答题（本大题共3小题，共35分）10．明年高考后我们都要填报高考志愿表了，下面是高考第一批录用志愿表的一部分，假如你已经选中了较为满足的8个学校和5个专业，若表格填满且学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话那么你将有多少种不同的填表方法呢？学校专业一二123456解析尽管其次志愿的六个学校是平行志愿，但是录用还是从前到后，因此仍旧存在依次，再加上第一志愿的一个学校，于是问题转化为从8个学校中，选取7个不同的学校的排列问题，每个学校对应3个专业，由分步乘法计数原理可知，共有Aeq\o\al(7,8)(Aeq\o\al(3,5))7种不同的填报志愿方法．答案Aeq\o\al(7,8)(Aeq\o\al(3,5))711．某单位支配7位员工在10月1日至7日值班，每天支配1个，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的支配方案共有多少种？解析依题意，满足甲、乙两人值班支配在相邻两天的方法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440(种)，其中满足甲、乙两人值班支配在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240(种)；满足甲、乙两人值班支配在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240(种)；满足甲、乙两人值班支配在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(种)．因此满足题意的方法共有1440－2×240＋48＝1008(种)．答案100812．用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数肯定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的依次排列．解析(1)用插空法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440(个)．(2)先把偶数排在奇数位上有Aeq\o\al(3,4)种排法，再排奇数有Aeq\o\al(4,4)种排法，所以共有Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＝576(个)．(3)在1和2之间放一个奇数有Aeq\o\al(1,3)种方法，把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有Aeq\o\al(5,5)种排法，所以共有Aeq