2023年高考数列大题练习【含答案】

新高考数列大题优质练习

一.解答题（共50小题）

1.（2022秋•新泰市校级期中）已知数列｛如｝是等差数列，其前〃项和为S”,且满足山+。5

=10,54=16；数列｛加｝满足：加+3历+32加+…+3〃，〃=二•，（〃WN*）.

3

（I）求数列｛“〃｝,｛加｝的通项公式；

（II）设。=劭加+—i—，求数列｛Cn｝的前〃项和Tn.

2.（2022秋•邹城市期中）已知数列｛a〃｝,ai=2,且满足“WN",有〃〃・a”+i=227rH.

（1）求数列他〃｝的通项公式〃”；

（2）若加="〃（所-1）,设数列怜〃｝的前〃项和为S”，试求和：二二+…g.

51S2s3Sn

3.（2022秋•浙江月考）在下而三个条件中任选一个，补充在工面的问题中并作答.

s

①〃a〃+i=(«+1)a〃+i；②a+1=2-^S-；③~g+L=(n.L)2,

已知S〃为数列｛。〃｝的前“项和，满足ai=l,a〃>0,.

（I）求｛〃”｝的通项公式;

（2）若bn=Ug（fln+1）］,其中［x］表示不超过x的最大整数，求数列｛儿｝的前100项和

7100.

4.(2022秋•丽水月考)在数列｛〃〃｝中，«i=Xa”-”“+1=23+14〃(HGN*).

3

（1）求数列伍”｝的通项公式：

（2）求满足不等式。1。2+«2。3+…+以必+1</"（k£N*）成立的人的最大值.

5.（2022秋•宁波月考〉已知数列（〃〃｝的前〃项和S〃满足S”=%“-2（w€N*）.

（I）求数列｛如｝的通项公式:

bn

（2）令bn=an-4/J,求数列｛」■｝的前〃项和Tn.

an

6.（2022秋•温州月考）已知数列伍〃）是等差数列，ai=l,且卬，④，«5-1成等比数列.给

定AWN”,记集合（加Wa〃W2人，〃WN*）的元素个数为限

（1）求加,bi的值;

（2）求最小自然数〃的值，使得从+历+…+氏>2022.

7.（2022秋•南山区校级期中）设等差数列｛〃“｝的前”项和为S〃，已知53=35,且g是m

与“13的等比中项，数列｛&〃｝的前.〃项和及=402+5广

（1）求数列｛“”｝、｛加｝的通项公式:

(2)若川＜4,对任意〃€N*总行————4------i——+..H---------——入恒成立，求

4S「b]4s2424Sn-bn

实数人的最小值.

8.（2022秋•浙江月考）已知数列｛加｝的前〃项和为知,切=3,S〃=2+a”+i.（亦N*）.

（1）证明：数列｛%-2｝为等比数列；

（2）设儿=-；--------与------u，记数列仍〃｝的前〃项和为77“证明：TnVl.

（an+1+l）（2Sn-3）

9.（2022秋•上城区校级月考•）已知各项均为正数的无穷数列｛船｝的前〃项和为S〃，F1满足

nS=n（I+1）

“尸匕n+l（n+l）Sr/l（ngN*）-

（1）证明数列｛〃〃｝是等差数列，并求出｛外｝的通项公式；

（2）设数列｛包｝满足八=^^-,证明：b1+b9+-+b<5•

n2/勺12Mn2

10.（2022•浙江开学）已知数列仅〃｝的首项为a,小，对于任意的正自然数

12

4an

n，

（i）求证：数列W-i｝为等比数列；

an

（H）若」…」<100,求满足条件的最大整数

ala2an

fajl，n为奇数*

11.（2022•淄博一模）已知数列｛”“｝满足：山=2,旦a口=4回皿（nEN）.设

n为偶数

bn=(I2n-1.

（I）证明：数列｛加+2｝为等比数列，并求出｛加｝的通项公式：

（2）求数列｛。〃｝的前2〃项和.

12.（2021・3月份模拟）已知数列｛而｝满足41=2,4〃+1=上/〃-——,b„=an-

22X3n3n-1

（1）求证：数列｛加｝是等比数列：

（2）设数列伍〃｝的前〃项口勺和为a，求证：S“V工.

2

13.（2022•浙江开学）已知数列｛的｝的前〃项和为名,且m=LSn=an+i-1,数列｛儿｝为

等差数列，且244=3/）3+1,S6=7加.

（I）求｛"〃｝与｛/）〃｝的通项公式：

b

（H）记c=—.求｛Cn）的前〃项和为

nan

14.（2021•广州二模）已知等比数列｛如｝的前二项和为S〃,m=LSe+2S“j=3S〃（〃22）.

（1）求数列｛如｝的通项公式;

（2）令/二小-1一，求数列｛加｝的前〃项和

nSn$n+1

15.（2021•萍乡二模）已知等比数列多“｝各项均为正数,S”为其前〃项和.若对任意正整数

n,有Sn+2=45'〃+3恒成立，且加=log2a2”.

（1）求数列伍”｝的通项公式；

（2）令c=_--，求数列｛Cn｝的前〃项和

nb"

16.（2022•浙江开学）已知数列伍“｝的前〃项和为

Sn»a1=1,（n+3）Sn=nSn+1（nGN*）-

（1）求数列｛知｝的列项公式:

（2）设b-fT为数列｛加｝的前〃项和，如果对于任意的〃WN“恒有"<A,求A

nann

的最小值.

17.（2022春•雅安期末）已知数列｛“〃）中，“1=2,且对任意正整数机，〃都有。…=”,〃+〃〃.

（I）求数列｛〃”｝的列项公式;

bb上

（2）若数列｛加｝满足：a=---1…+（-l）nT」一，

工2+122+12r,+l

（i）求数列｛'｝的通项公式；

（ii）设Cn=30+tb，若5H>Cn对任意〃WN*恒成立，求实数/的取值范围.

18.（2022秋•拱里区校级月考）己知公差为d的等差数列｛如｝和公比gV0的等比数列｛加｝

中,a\=b\=1»。2+〃3=3,。3+历=2.

（I）求数列伍〃｝和｛加｝的通项公式：

（II）令Cn=3%（ntN*>抽去数列｛Cn｝的第3项、第6项、第9项、…第3〃

项、…，余下的项的顺序不变，构成一个新数列｛/〃｝,求数列｛h｝的前2023项和S2O23.

19.（2022秋•浙江月考）已知数列仅〃｝的各项均为正数，记S”为｛.｝的前n项和,

（托N“且”22）.

（I）求证：数列｛何｝是等差数列，并求｛“〃｝的通项公式;

<±1

（2）当%N",时，求证:4_

20.（2022•玉鸡模拟）已知｛0〃｝是等差数列，OI+O2+«3=12,出=8.

（1）求｛〃〃｝的通项公式；

（2）若对于任意，店N+,点儿（«,„加）都在曲线），=2^上，过4作x轴的垂线，垂足

为Bn,记△04祖的面积为S〃，求数列｛S〃｝的前n项和Tn.

21.（2022秋•重庆月考）已知数列｛的｝满足m=l,a〃+i=3“〃+l.

（1）证明：Ln,｝是竽比数列，并求（期）的通项公式；

（2）证明：JJ+…工<3.

a

la2a3an2

22.（2022秋•皇姑区期中）已知数列｛”“｝前.〃项积为%,且㊀+T=l（nCN*>

nn

（i）求证：数列卜L｝为等差数列：

1-an

（2）设s=T?+To+---+r2,求证：S>a—

un11121nnairH2

23.（2021秋•柳州月考）数列｛m｝的前〃项和为金，若山=2,点（S„,苏+1）在直线y=

^-^x-n-1（n€N*）上，

n

S

（1）求证：数列｛」•｝是等差数列；

（2）若数列｛加｝满足为=2%〃，求数列｛加｝的前〃项和%.

24.（2022秋•莱西市校级月考）记S为数列｛“〃｝的前〃项和，己知切=1,且数列

｛4〃S+（2/1+3）是等差数列.

（I）证明:是等比数列，并求｛“〃｝的通项公式:

3kl・an，n为奇数

⑵设,求数列｛加｝的前2〃项和Tm.

旦，n为偶数

an

25.（2022秋•大连期中）己知数列伍〃｝是公比为2的等比数列，〃2,。3,q-4成等差数列.

（1）求数列｛加｝的通项公式;

]+loga

（2）若b=----------二三，设数列（〃”｝的前〃项和7〃，求证：1W7；,<3.

n父

26.（2022秋•湖北月考）已知数列｛〃〃｝的前〃项和为5〃，满足*小，Sq=S4......—•

an+1

l2n2an+l

（1）证明数列｛」-｝是等差数列，并求数列他〃｝的通项公式：

an

（2）若数歹U｛为｝满足bn=（2n+l）2・an*an+1，求数列｛儿｝的前"项和

27.（2022秋•黄冈月考）已知数列｛如｝各项均为正数且满足a/-（〃-1）如-2/+〃=0,

数列]方”）满足/?!=3..11hn*-1=2〃”+?”+'.

（1）求｛"〃｝,｛加｝的通项公式；

（2）若Cn=bn+an,求-n）的前〃项和行.

28.（2022秋•张掖期中）已知数列也〃｝的前〃项和S”="〃-（1）nl+2,数列｛加｝满足

2

bn=2nCln.

（1）证明：数列｛加｝是等差数列:

（2）设cn--------------C）--------,求数列9“的前〃项和T〃.

n

2（n-an）（n+1-an+|）

29.（2022秋•金凤区校级期中）设数列｛如｝的前刀项和为S〃，ai=2且如+i=2a”,数列｛加｝

1b

满足ST?且bn+i『nT

（1）证明：数列｛」->是等差数列，并求伍”），｛仇｝的通项公式；

bn

（2）设数列｛0■｝的前〃项和为力”求加.

bn

30.（2022•南通模拟）已知数列｛m｝满足:。1=1,且，其中，正N”,从①a“+i・2a〃

=〃-1,②M+La”=2"-I,@三出=2+工1-三个条件中任选一个填入上面的横线中,

n

a2n-n

并完成下列问题解答.

（1）求数列｛Z｝的通项公式;

（2）设加=-----------------,%为数列｛加｝的前〃项和，求S.

n

（2-an）（n+2）

3

31.（2022秋•长春月考）已知数列｛m｝满足：ai=2,nan+\+（n+1）=（〃+2）an+（/i+1）.

（I）证明：数列一Ak｝是等差数列：

n（n+1）

（II）设d=n?：2）,求数列（〃〃｝的前〃项和Sn.

2叫「

32.（2022秋•长沙期中）已知正项数列优〃｝满足m=2且-2-n.

an+l6a+aanaan+lv

（1）求数列｛知｝的通项公式:

log,a：,n为奇数

（2）令b=《27,求数列｛为｝的前2〃+1项的和S2〃+i.

n"n为骸

33.（2022秋•沙坪坝区校级月考）设数列｛知｝满足阿=2,02=6,且叱2=2〃〃+I-而+2.等

差数列｛加｝的公差d大于0.己知。2=历+3,且加，bi,加成等比数列.

（1）求证：数列｛”"+1-。〃｝为等差数列，并求｛“〃）的通项公式：

（2）求数列｛~—｝的前〃项和Tn.

bnbnM

34.（2022秋•郴州月考）已知数列仅〃｝中，a\=l,其前〃项和为S“,S〃+i=3S〃+l.

（I）求数列｛。〃｝的通项公式；

（2）设b=1083。a+1,若数列｛——---｝的前〃项和为方”求证：T<3.

bQ/2n4

35.（2022秋•襄阳期中）已知数列｛如｝满足加1+2202+…+2%”=〃X2/2-2n+,+2.

（1）求｛“〃｝的通项公式；

3a+4rI

（2）设加=---------------,证明：_2_Wbi+历+…+加V，.

oan-i,a672120

Nanan+lan+2

36.（2022秋•秦皇岛月考）已知数列5〃｝的前”项和为S“，m=2,当心2时,2（n-1）

Sn=2nSn-i+/r-n.

（I）求数列（的｝的通项公式;

⑵求证:土♦士W禧

37.（2022秋•湖北期中♦已知数列｛如｝的首项为4,且满足a.+]=4a_2nH，若[穹_]

2

（1）求数列｛儿｝的通项公式;

（2）数列｛Cn｝中，Cl=4,对任意"〃而N'，都有'一。』求数列｛加・Cn）的前〃项

n-m

和S”.

38.（2022秋•烟台期中）记S1为数列｛的｝的前〃项和，已知m=l,

（1）求｛如｝的通项公式：

⑵设儿;等㊀丁Tn=fbg计|bi+2,求证f

%i=l4

39.（2022秋•湖北期中）已知等差数列｛a”）和等比数列｛加｝满足m=2,历=4,如=21og2加,

，怎N”.

（1）求数列｛加｝的通项公式;

（2）设数列（〃”）中不件数列｛〃“｝中的项按从小到大的顺序构成数列｛Cn｝,记数列（Cn）的前

〃项和为S，求S50.

40.（2022秋•湖南月考）记各项均为正数的数列（如｝的前耀项和是外,已知如2+丽=2S”,

〃为正整数.

（1）求｛如｝的通项公式：

（2）设加=tan（a-tan求数列｛加｝的前八项和1.

41.（2022秋•潍坊月考）在各项均不相等的等差数列｛的｝中，田=1,且m,。2,。5成等比

数列，数列｛加｝的前〃项和Sn=2,,+l-2.

（1）求数列｛〃”）,｛加｝的通项公式：

（2）设。广？-I"2%，数列｛cn）的前〃项和6,若不等式27）i+〃2>31og«（1-a）

对任意的正整数〃恒成立，求实数a的取值范围.

42.（2022秋•玄武区校级月考）设数列｛“”）满足ai=2,“2=6,且a〃+2=2a〃+i-a”+2.

（1）求证：数列｛a“+La〃｝为等差数列，并求｛的｝的通项公式:

（2）设加=a“cos,m,求数列｛加｝的前n项和Tn.

43.（2022秋•鞍山期中）已知数列｛a〃｝的前，项和&=3h1,数列｛加｝满足加=7,加+1

=bn+（2n-1）.

（1）求数列｛〃〃｝、｛加｝的通项公式.

a.b

（2）若c求数列｛cn｝的前〃项和

nn

44.（2022秋•潍坊月考）已知数列伍〃｝中，ai=2,当时，（??-1）an=2tMn.\.

（1）求数列伍”｝的通项公式：

（2）设。产11%7）,数列｛cn｝中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最

an

小项；若不存在，说明理由.

45.（2022秋•湖北月考）已知等差数列伍〃｝的首项m>0,记数列他〃｝的前〃项和为

Sn（n€N*）>且数列的｝为等差数列•

S

（1）证明：数列｛-£n｝为常数列；

n

a1Sn

（2）设数列合｝的前〃项和为求｛「｝的通项公式.

46.（2022秋•辽宇期中）已知数列｛。〃｝的前."项和S“=〃2+〃.

（I）求数列｛如｝的通项公式;

（2）设Cn=16,数列｛5｝的前〃项和为及，是否存在正整数"，使得T〃vF-3人

anan4-2

对于旌N+恒成立？若存在，求出2的最小值；若不存在，请说明理由.

47.（2022秋•湖北月考）已知数列｛〃〃｝满足工,号计.•+负〃=(n6N+).

31

（I）求数列｛如｝的通项公式:

（II）设d=Iog34”，求数列｛------------｝的前〃项和为Tn.

bnb^nb#2

48.（2022•开福区校级开学）已知数列伍〃｝的前八项和为S,且满足（g-1）Sn=qan-1（q

>0),，店N*.

（1）求数列｛“〃｝的通项公式:

⑵当行2时，数列满足b“=_，求证：l<b+b+...+b<2：

1Jn

nn（,n+1；an2

（3）若对任意正整数"都有成立，求正实数q的取值范围.

49.（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知数列｛.｝的前〃项的为Sn,满足

S「Si=----------（n>2,n€N*）>cn=\,G=2.

（I）记加=a〃a”+i,求｛加｝的通项公式;

(2)记Cn=10g2。”-10g26fn+2,求｛Cn｝的前63项和763.

50.(2022秋•沈北新区校级月考)已知数列｛m｝是等差数列，“2=3,05=6,数列｛'｝的前

〃项和为S,且2'7〃=2.

(I)求数列｛”“｝、｛加｝的通项公式：

(II)记c=——迎——，若数列｛cn)的前〃项和为。，证明：丁〈工.

nanPan+l*bnn2

新高考数列大题优质练习

参考答案与试题解析

一.解答题(共50小题)

1.(2022秋•新泰市校级期中)已知数列是等差数列，其前〃项和为S〃,且满足m+“5

=10,54=16：数列｛加｝满足：6+3历+32加+…+3〃””=匚，(«GN*).

3

(I)求数列｛4｝,｛加｝的通项公式；

(II)设Cn=""加+——，求数列(C”的前n项和Tn.

anan+-l

【答案】(/)an=2n-1,氏=工

3n

(II)1-更+_^_.

3n2n+l

【解答】解：(/)设等差I列｛加｝的公差为数・・・。1+。5=10.54=16,

:.2〃I+4d=10,4a\+64=16,

联立解得“1=1,d=2,

Un=1+2(fl~1)=2fl~I.

数列(岳｝满足：加+3历+3?历+…+3厂区=工,(，正N*),

••・〃22时，6+3历+32/,3+・”+3〃-2=21zl,

3

相减可得3〃%〃=a,解得〃〃=」一

33n

(II)由(/)可得：Cn=(btbn+——-——=2、-1+1

ananM3n(2n-l)(2n+l)

1—1=」(1-1)

a”什］(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

数歹ijf._1-］的前〃项和=2(|-1+1-1+-+—L--_J_)=1(］

anarr4-123352n-l2n+l2

_n

"2n+l'

设数歹ij｛空支｝的前〃项和为A〃，则A〃=2+%>3+…+军工,

3n3312333n

lj—1.35…2rr32n_1

33233343n3*1

3332333n3的33的

3

化为4=1-止L

3n

・•・数列｛c”的前〃项和T„=\-空L」_.

3n2n+l

2.（2022秋•邹城市期中）已知数列｛处｝,m=2,且满足〃6N”,有的・a〃+i=22ffH.

（1）求数列S”｝的通项公式“〃：

（2）若为1）,设数列（历｝的前.〃项和为品，试求和：2g_g_+・

n

【答案】(1)an=2.

(2)Mx(1-—1—).

9n+l1

22na-1

【解答】解：（1）I。“•21=22n+1

.an+lan+2__a

>•------------T--：-------n-+-2

anan+l22nH

取〃=1时，6/I«2=23,a\=2,解得42=4.

，数列仅〃｝是等比数列，首项为2,公比为2.

(2)bn=an(an-1)=2〃(2〃-1)=4"-2",

.•・数列｛〃”｝的前〃项和为nnn

-2(2-l).=4X4-6X2<

4-12-13

nn1

,23-23X(1_y

sn2(2n+1-l)(2n-l)22n-l2n+1-l

S1s2s3sn222-l22-l23-l2n-l2n+1-l

2x(1--1—).

22n+1-l

3.(2022秋•浙江月考)在下面三个条件中任选一个，补充在F面的问题中并作答.

s

①〃〃〃+i=(〃+l)an+1：②a+1=2｛S:③g*=("+1)4

已知Sn为数列｛a〃｝的前ii项和，满足a\=\,a〃>0,①.

(1)求｛m｝的通项公式；

(2)若bn=[lg(“D],其中因表示不超过x的最大整数,求数列仍〃｝的前100项和

Tioo.

【答案】(1)a.,-2n-1.

(2)147.

【解答】解：(1)选择条件①.

由〃。〃+1・(7/4-1)an=1>得(〃+2)。”+1=1,

两式作差得(«+1)(an+an-2)-2(M+1)a”+i=0,即a〃+an+2=2a〃+i,

故｛〃“｝为等差数列，

当〃=1时，由条件①知02-2m=l,e=3,故公差d=G・m=2,

所以an=2n-1,

选择条件②，

当〃=1时，可知〃]=1,a2+2a=4S-V

当心2时，4]+2%1那』-1，

两式相减得a〉2an-a3-2anT=4(Sn-SxP=4a/

即(Un^Cln-1)((In~Cln-\-2)=0»又所以(In~(in-]=2t

所以伍〃｝是I为首项，2为公差的等差数列，

所以an=2n-I,

选择条件③，

由a1_SS

=苫，得｛-£｝为常数列，

(n+1)2

Sn.

所以%=S]=1，得Sn=/，

n

22

当〃，2时，an=n-(n-1)=2n-l,

又m=l也符合上式，所以a〃=2"-1.

(2)由(1)可得加=[/g⑵)],

当心⑵)=1时，〃=5；当1g(2〃)=2时，〃=50：当4(2〃)=3时，〃=500,

所以7100=Ug2]+[lg4]+-+UgS]+[lg10]+-+[fe98]+[(g100]++[fe200]=4XG+45X1+51X2=

147.

4.（2022秋•丽水月考）在数列优〃）中，m=2，a〃-a”+i=2c（HGN*）.

3

（I）求数列｛“〃｝的通项公式:

（2）求满足不等式a।a2+a2a3+•••+akak+1<-i-（k£N*）成立的k的最大值.

【答案】（I）““=」一；（2）8.

2n+l

【解答】解：（I）由如+i=2a〃+ia〃（吒N"）,可得二2=2

an+lan

可得｛｝是首项为公差为的等差数列，则

_L3,2I——=3+2(/?-I)=2〃+1,

anan

即有lln=---;

2n+l

(2)anan+1=--------i-----------=A(-------),

(2n+l)(2n+3)22n+l2n+3

所以a1672+^2^3+,•,+ak(lk+1——(--—+—-2+...+—------)

235572k+l2k+3

=1(2-，)<1,

232k+37

可得」一>二二，即2A+3V21,即有AV9,

2k+321

则整数A•的最大值为8.

5.（2022秋•宁波月考）己知数列他〃｝的前〃项和S〃满足S”=2fl”-2。£N"）.

（1）求数列S”｝的通项公式:

b

（2）令加=的-4〃，求数列1｝的前〃项和。.

an

【答案】（I）的=2"；（2）刀,=〃-8+空马.

2n-2

【解答】解：（1）在S尸加〃-2中，令〃=1,则如=>|-2,即m=2,

当〃22时，有S”-i=2a”-i-2,

两式相减得，a”=2a〃-2a”-1,即a〃=2“〃-i（%22）,

所以数列｛四｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以数列a“=2・2〃r=2〃.

(2)bn=an-4〃=2"-4n,

所以%>=2_4n=]_

an2n

设数列（3

｝的前n项和为Qn,则Tn=n-Qn,

2n一2

而Qn=」r+,2_4-3+.・Tn-l+.n

2一120212n72n-2’

所以=工+2+£+•••+nT+.n

22°21222n-1,

2[l-4)n]

乙

两式相减得，-1Q„=J^+_L+J_+_L+...+^_-_D_

22~2°21222n-22n-

_n+2

2nH，

所以0=8-空当，

2n一2

所以Tn=n-Q„=n-

6.（2022秋•温州月考）已知数列｛板｝是等差数列,。1=1,且卬,a2,a5-I成等比数列.给

定依N*,记集合（砾Wa〃W2A,〃WN*）的元素个数为块.

（I）求bi,历的值;

（2）求最小自然数"的值，使得力+历+…+加＞2022.

【答案】（1）bi=2,历=3；

（2）当最小自然数"的值为11时，使得加+历+…+从＞2022.

【解答】解：⑴设等差数列伍”｝的公差为4

Vai=l,且41，02,45-1成等比数列，

2=“1・（G-］）,即（］+"）2=4",解得"=］,

a2

.•.a〃=l+〃-1=n,

•・•集合，怎N,的元素个数为bk,

・•・当k=l时，集合｛〃|々危2,〃。”｝的元素个数为/，，即〃i=2；

当&=2时，集合｛〃|2W〃W4,，｛N,｝的元素个数为例，即。：!=3,

故〃1=2,82=3；

（2）集合｛碌“WN"｝的元素个数为枚，即集合｛碌五〃五2勺〃€1＜｝的元素个数

为从，

：.bk=2k-k+],即加=2〃・“+l,

2n

，加+历+…+b“=(2-1+1)+(2-2+1)+...+(2・〃+l)=(2+22+...+2").n(n+l)+n

2

n(2f,-

-2(l-2)-n_+Il=2I)工_+2>2022,

1-22222

2

令Cn=2"+I-2-工

22

则(2n+2-2-(n+1)W+I工)

Cn+1-Cn=-(2-1-Hl+=2*">0,

2222

，数列（5｝单调递增，

当〃=10时，2（2,J-1）-二一+工=2(210-1)-50+5=2001<2022,

22

2.

-工+匚=11-工

当〃=11时，2（2〃-1）2(2-1)l+L=4039>2022,

2222

当最小自然数〃的值为II时，使得+历+…+加＞2022.

7.（2022秋•南山区校级期中）设等差数列｛“〃｝的前〃项和为品，已知53=35,且g是m

与m3的等比中项，数列｛氏｝的前"项和Tn=4n2+5r?

（1）求数列S”｝、｛加｝的通项公式;

（2）若ai＜4,对任意总有一11一+...H——I—＜入恒成立，求

4S।-b।4S2~b24Sn-bn

实数人的最小值.

【答案】（I）数列｛的｝的通项公式fl/i=7或an=2n+l,数列加｝的通项公式为bn=8n+l；

（2）实数人的最小值为』.

2

【解答】解：（1）设等龙数列｛〃〃｝的公差为4,

V55=35,且a是m与m3的等比中项,

5a|+10d=35

,即3d（3d-2ai）=0,m+2d=7,解得d=0或

a4^=（a1+3d）^=a1（a1+12d）

d=2,

当d=0时,ai=7,此时数列｛s＞）的通项公式a〃=7,

当d=2时,m=3,此时数列｛。〃｝的通项公式。〃=3+2Cn-I）=2n+\,

2

•・•数列（仇｝的前〃项和Tn=4n+5r^»

当〃=1时，加=Ti=9,

当“22时，Li-1=4(«-1)2+5(ri-i)②,

由①-②得“22时，>"=4『+5〃-[4(〃・1)2+5(〃.[)]=8H+1,

当”=1时，加=9,

，数列｛〃”｝的通项公式为，尢=8〃+1：

(2)由(I)得a”=7或。i=2〃+l,/加=8〃+1,

*.*ai<4,.\an=2n+\.

〃

•••等差数列伍〃｝的前〃项和为S,尸n(3+2n+l).=(n+2),

2

令Cn=------------=————=—(--,1

4Sn-bn4n2-122n-l2n+l

-+...+-------------=C|+c-2+...+Cn=—(1-—+—L+-+2^i

।।之24

4S-b4s-bSn-bn233

」）=」（一」),

2n+l22n+l

*/A<1-_J_)随〃的增大而增大,

22n+l

T(1)V1恒成立,

22n+l2

:对任意总有11+——<人恒成立,

「4S-b

4Sb]'4S2-b2nn

入卫,

2

故实数人的最小值为1.

2

8.（2022秋•浙江月考）已知数列（〃〃｝的前〃项和为S〃，m=3,S〃=2+“〃+i.(nGN*).

（I）证明：数列｛S〃-2｝为等比数列;

an+2

（2）设加=,记数列｛儿｝的前〃项和为心，证明:T“V1.

(an+1+l)(2Sn-3)

【答案】（I）证明过程请看解答；（2）证明过程请看解答.

【解答】证明：（I）在S〃=2+a“+i中，令〃=1,有ai=2+G,所以〃2=1

由S〃=2+a〃+i,知当时，SH-i=2+a〃.

两式相减得,an=an+\-an.即a“+i=2a〃(心2),

所以数列｛“”｝从第二项开始，是公比为2的等比数列,

3,n=l

所以an

2n.2,n>2,

所以品=3+]+2+22+…+2心=3+1(卜2111)=2,〃2,

1-2

所以&-2=2"7+2-2=2门,是首项为1,公比为2的等比数列，得证.

n=l.

,ri

(2)由(I)知〃〃=,Sn=2+2,

n>2

rHkAbn=----------r—；------------=---------------------------------------------=

n-1n-1

(an+:+l)(2Sn-3)(2+l)[2-(2+2)-3]

on11

-----------------------------=2(—t—--

(2n-1+1)(2n+l)2n-1+12n+l

所以Lf=2[(A-A)+(A-i)+...+(—1---^)]=2(-l--^)=1-—^―

23352n-1+12n+l22n+l2n+l

vi,得证.

9.(2022秋•上城区校级月考)已知各项均为正数的无穷数列S”｝的前〃项和为S”，且满足

n(I+1)

g=晨nSn+1=(n+l)Sn»l(n€N*)-

(1)证明数列｛如｝是等差数列,并求出｛。〃｝的通项公式;

(2)设数列｛加｝满足1^=^^-，证明：b[+b/~+bn<!・

n21**g1/n2

【答案】(1)证明见解答,“〃=〃：(2)证明见解答.

【解答】解：⑴证明：・：nSn+i=(n+l)Sn小辿(n€N*)，

乙

•$n+l$n1S1

•・WTa’又了二ag

・$nn+1

•---=-----，

n2

・

••Xc=n(n+1)'，

2

"产5…公-n(n+lA(nl)n=〃,(/I>2),又m=l,

2

Cln=〃,

/•“〃♦i-a”=〃+1-〃=1,

,数列｛m｝是等差数列,且如=〃:

(2)证明：由(1)可得1：%=-----------崂=」---------1——

nnH

2叫赳件]n<(n+1)・2

/.加+bl+・+bn=(―-----)-(——------------)+•+[------------------------------]

22X222X223X23n-2n(n+l)・2nH

=1一1<1,

2（n+l）-2n+12

故原命题成立.

10.（2022•浙江开学）己知数列｛“〃｝的首项为如工，对于任意的正自然数

［2

4an

n，

（I）求证：数列W-1｝为等比数列；

dn

（II）若」-J+…100,求满足条件的最大整数〃.

ala2an

【答案】（I）证明见解析；

(II)98.

1.3an+1,1-an