2025年沪科版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当时，f(x)＝x＋sinx，则()A.f(1)B.f(2)C.f(3)D.f(3)2、【题文】如图，正四棱锥的所有棱长相等，E为PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的余弦值是（）

A.B.C.D.3、【题文】过点(2,-1)作圆的切线，其方程是（）A.x-2y-4=0B.2x-y-5=0C.2x+y-3=0D.2x-y-5=0或x-2y+4=04、【题文】已知两直线和若且在轴上的截距为–1，则的值分别为（）A.2，7B.0，8C.-1，2D.0，-85、2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A.92B.94C.116D.1186、已知平面向量=（1，2），=（1，-1），则向量-=（）A.（-2，-1）B.（-2，1）C.（-1，0）D.（-1，2）7、如图是某几何体的三视图；则该几何体的体积为（）

A.24B.36C.72D.144评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、已知f（x）在R上是奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-ln（1+x）；则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=____．9、在△ABC中，设==点D在线段BC上，且=3则用表示为____．10、已知=（2，1）与=（1，2），要使|+t|最小，则实数t的值为____11、.定义在实数集R上的函数如果存在函数（A、B为常数），使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数。给出如下四个结论：①对于给定的函数其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R的函数不存在承托函数；③为函数的一个承托函数；④为函数的一个承托函数。其中所有正确结论的序号是__________________.12、【题文】设指数函数是上的减函数，则的取值范围是____13、直线ax+2y+1=0与直线x+y+4=0平行的充要条件是____14、若函数f（x）满足f（x+3）=2x-1，则函数f（x）的解析式：f（x）=______．15、幂函数f（x）的图象经过点则函数f（x）的解析式为______．16、已知向量=(1，2)，=(x，4)，且⊥则x=____________．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)17、计算的值．

18、已知．（1）求的值；（2）求的值．19、【题文】(本小题满分12分)

如图，四棱锥中，为矩形，平面平面

求证：

若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.20、在四棱锥P鈭�ABCD

中；底面ABCD

为菱形，隆脧PAD=隆脧PABAC

交BD

于O

(I)

求证：平面PAC隆脥

平面PBD

(II)

延长BC

至G

使BC=CG

连结PGDG.

试在棱PA

上确定一点E

使PG//

平面BDE

并求此时AEEP

的值．21、已知{an}

是递增的等差数列；它的前三项的和为鈭�3

前三项的积为8

．

(1)

求数列{an}

的通项公式；

(2)

求数列{|an|}

的前n

项和Sn

．22、已知以点C

为圆心的圆经过点A(鈭�1,2)

和点B(3,4)

且圆心在直线x+3y鈭�15=0

上．

(1)

求圆C

的方程；

(2)

设点P

在圆C

上，求鈻�PAB

的面积的最大值．评卷人得分四、证明题(共2题，共10分)23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．24、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、作图题(共1题，共10分)25、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分六、综合题(共2题，共16分)26、如图；在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式．27、已知抛物线Y=x2-（m2+4）x-2m2-12

（1）证明：不论m取什么实数；抛物线必与x有两个交点。

（2）m为何值时；x轴截抛物线的弦长L为12？

（3）m取什么实数，弦长最小，最小值是多少？参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】试题分析：由已知得函数关于对称，当时，是单调递增函数，当时函数是单调递减函数，比较1,2,3距离对称轴的远近得出故选D.考点：1.函数的对称性；2.函数的单调性.【解析】【答案】D2、D【分析】【解析】

试题分析：由于正四棱锥的所有棱长相等，设为2，BE=EO=1，OB=E为PC的中点，那么可知连接AC,BD的交点O，则将BE平移到PA,则在三角形EOB中，利用三边长度可知异面直线BE与PA所成角的余弦值是故选D.

考点：异面直线所成的角的求解。

点评：求解异面直线的所成的角，一般采用平移法，放在一个三角形中来求解运算，属于基础题。【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】若切线斜率不存在，此时直线方程为到圆心即原点的距离为2，不符合，所以切线斜率存在，设过点切线方程为则有解得所以切线方程为即故选B【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】解：在购买“化妆品”这一类中抽取了116人；则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x；

则

解得x=94；

故选：B

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．6、D【分析】解：平面向量=（1，2），=（1，-1），则向量-=（1，2）（1；-1）=（-1，2）．

故选：D．

直接利用向量的坐标运算求解即可．

本题考查平面向量的坐标运算．考查计算能力．【解析】【答案】D7、C【分析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱；

其底面面积S=×（2+4）×3=9；

高h=8；

故体积V=Sh=72；

故选：C

由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱；代入柱体体积公式，可得答案．

本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

设x＜0；则-x＞0；

所以f（-x）=（-x）2-ln（1-x）=x2-ln（1-x）

又f（x）是奇函数；所以f（-x）=-f（x）；

于是f（x）=-f（-x）=-x2+ln（1-x）．

故答案为：-x2+ln（1-x）．

【解析】【答案】求函数f（x）的解析式；先设x＜0，则-x＞0，解出f（-x），再由奇函数的定义得到f（-x）=-f（x），两者联立解出x＜0的解析式。

9、略

【分析】

=

=

=

=

故答案为：．

【解析】【答案】表示要表示从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，再把写成用表示的形式．

10、略

【分析】

=5t2+8t+5

当时最小。

故答案为

【解析】【答案】利用向量模的性质模的平方等于向量的平方；求出向量模的平方为二次函数，在对称轴处函数值最小．

11、略

【分析】【解析】试题分析：由题意可知，如果存在函数（A、B为常数），使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数，那么对于f(x)=B来说，不存在承托函数，当f(x)=g(x)=x,则此时有无数个承托函数。②定义域和值域都是R的函数不存在承托函数，因为一个函数本身就是自己的承托函数。故错误。对于③因为恒成立，则可知为函数的一个承托函数；成立。对于④如果为函数的一个承托函数。则必然有并非对任意实数都成立。，只有当时成立，因此错误。故正确的序号为①③.考点：本试题是一个创新试题，新定义题型。【解析】【答案】①③.12、略

【分析】【解析】

试题分析：根据指数函数的定义知，指数函数在时为减函数，在时为增函数，故本题中

考点：指数函数的性质.【解析】【答案】13、a=2【分析】【解答】解：直线ax+2y+1=0与直线x+y+4=0平行的充要条件是a﹣2=0；

解得a=2；

故答案为：a=2．

【分析】根据一般方程，两直线平行的充要条件是A1B2﹣A2B1=0，即可求得结论．14、略

【分析】解：设x+3=t；则x=t-3；

所以f（t）=2（t-3）-1=2t-7；

以f（x）=2x-7；

故答案为：2x-7．

设x+3=t；则x=t-3，得到关于t的解析式，即得到f（x）的解析式．

本题考查了利用换元法求函数的解析式；属于基础题．【解析】2x-715、略

【分析】解：设幂函数f（x）=xα；

其图象过点

则2α=

解得α=-3；

所以函数f（x）=x-3（x≠0）．

故答案为：f（x）=x-3（x≠0）．

设出幂函数f（x）=xα，根据图象过点求出α的值即可．

本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目．【解析】f（x）=x-3（x≠0）16、略

【分析】解：由向量=(1，2)，=(x，4)，且⊥

则1×x+2×4=0；所以x=-8．

故答案为-8．【解析】-8三、解答题(共6题，共12分)17、略

【分析】

由换底公式得；

原式=•=1．

【解析】【答案】由换底公式即可求得．

18、略

【分析】试题分析：先用诱导公式求得的值，根据及角的范围求得的值。（1）先求将按两角差的正切公式展开即可求得其值。（2）由及二倍角公式分别求出再将按两角差的余弦公式展开即可求其值。（1）∴∴3分∴．6分（2）9分∴．12分考点：1同角三角函数关系式；2二倍角公式；3两角和差公式。【解析】【答案】（1）7；（2）19、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以ABPD

（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面积：设则故四棱锥P-ABCD的体积为。

故当时，即时；四棱锥的体积P-ABCD最大.

求二面角的余弦值；可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC的法向量及。

平面DPC的法向量；再利用向量数量积求夹角余弦值即可.

试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故ABAD；

又平面PAD平面ABCD

平面PAD平面ABCD=AD

所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故ABPD

（2）解：过P作AD的垂线；垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.

故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG

在直角三角形BPC中，

设则故四棱锥P-ABCD的体积为。

因为

故当时，即时；四棱锥的体积P-ABCD最大.

建立如图所示的空间直角坐标系，

故

设平面BPC的法向量则由得

解得

同理可求出平面DPC的法向量从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为。

考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角【解析】【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大.平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为20、略

【分析】

(I)

只需证明PO隆脥BDAC隆脥BD

可得BD隆脥

平面PAC

即可证平面PAC隆脥

平面PBD

．

(II)

连接AG

交BD

于M

在鈻�PAG

中，过M

作ME//PG

交PA

于E

连接ED

和EB

可得ADM

∽鈻�BGMAMGM=ADBG=12PG//ME

得EAEP=MAMG=12

即AEEP=12

．

本题考查了空间线面、面面位置关系，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

属于中档题．【解析】解：(I)隆脽隆脧PAD=隆脧PABAD=AB隆脿鈻�PAD

≌鈻�PAB

得PB=PD

隆脽O

为BD

中点；隆脿PO隆脥BD(2

分)

隆脽

底面ABCD

为菱形；隆脿AC隆脥BD

隆脽AC隆脡PO=O隆脿BD隆脥

平面PAC(4

分)

隆脽BD?

平面PBD隆脿

平面PAC隆脥

平面PBD(6

分)

(II)

连接AG

交BD

于M

在鈻�PAG

中；过M

作ME//PG

交PA

于E

连接ED

和EB

隆脽PG?

平面BDEME?

平面BDE隆脿PG//

平面BDE(8

分)

隆脽AD//BGBG=2AD鈻�ADM

∽鈻�BGM隆脿AMGM=ADBG=12(10

分)

隆脽PG//ME隆脿EAEP=MAMG=12

即AEEP=12(12

分)

21、略

【分析】

(1)

依题意，解方程组{a1鈰�(a1+d)鈰�(a1+2d)=8a1+(a1+d)+(a1+2d)=鈭�3

即可求得数列{an}

的首项与公差；再利用{an}

是递增的等差数列进行取舍，即可求得答案；

(2)

由(1)

得当n鈮�3

时，an>0|an|=an

通过对n=1

与n=2

及n鈮�3

的情况的讨论即可求得Sn

．

本题考查含有绝对值的数列的求和，通过对n

的取值情况的分类讨论，去掉数列{|an|}

的前n

项和式Sn

中的绝对值符号是关键，也是难点，属于中档题．【解析】解：(1)

设{an}

的公差为d(d>0)

依题意，{a1鈰�(a1+d)鈰�(a1+2d)=8a1+(a1+d)+(a1+2d)=鈭�3(2

分)

即{a1鈰�(a1+2d)=鈭�8a1+d=鈭�1

解得{d=3a1=鈭�4

或{d=鈭�3a1=2(4

分)

因为d>0

所以{d=3a1=鈭�4{an}

的通项an=鈭�7+3n(5

分)

(2)

由(1)

得a1=鈭�4|a1|=4a2=鈭�1|a2|=1(6

分)

当n鈮�3

时，an>0|an|=an(7

分)

所以S1=4S2=5(8

分)

当n鈮�3

时；Sn=S2+(a3+an)=5+[2++(鈭�7+3n)](9

分)

=5+2+(鈭�7+3n)2隆脕(n鈭�2)

=32n2鈭�112n+10(11

分)

综上所述，Sn={4,n=15,n=232n2鈭�112n+10,n鈮�3(12

分)

．22、略

【分析】

(1)

求出圆心与半径；即可求圆C

的方程；

(2)

设点P

在圆C

上，求出高的最大值，弦AB

的长，即可求鈻�PAB

的面积的最大值．

本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】解：(1)

取弦AB

的中点M

则M

的坐标为(1,3)

隆脽A(鈭�1,2)B(2,4)隆脿kAB=4鈭�23鈭�(鈭�1)=12隆脿kCM=鈭�2

隆脿

直线CM

的方程为：y鈭�3=鈭�2(x鈭�1)

即2x+y鈭�5=0(2

分)

隆脽

圆心在直线x+3y鈭�15=0

上，隆脿{x+3y鈭�15=02x+y鈭�5=0隆脿{y=5x=0

即C(0,5)(4

分)

隆脿

半径r=(0+1)2+(5鈭�2)2=10隆脿

圆C

的方程为：x2+(y鈭�5)2=10(6

分)

(2)

设鈻�PAB

的高为h

由(1)

可知kAB=12隆脿

直线AB

的方程为：y鈭�4=12(x鈭�3)

即x鈭�2y+5=0(7

分)隆脽|CM|=|鈭�2隆脕5+5|12+22=5(9

分)

隆脿hmax=|CM|+r=5+10(10

分)

又|AB|=(3+1)2+(4鈭�2)2=25(12

分)

隆脿Smax=12隆脕25隆脕(5+10)=5+52(13

分)

四、证明题(共2题，共10分)23、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．24、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．五、作图题(共1题，共10分)25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围