上海市2020届高三数学二轮复习分层次辅导讲义：立体几何.01空间几何体的结构特征及三视图(A级)学生版

Page空间几何体高考要求空间几何体高考要求内容要求层次重难点空间几何体的结构与三视图柱、锥、台、球及其简单组合体A认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．识别且会画简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图会用斜二侧法画出它们的直观图．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．三视图B斜二测法画简单空间图形的直观图B空间几何体的表面积和体积球、棱柱、棱锥的侧面积、表面积和全面积及体积B了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．知识框架知识框架知识内容知识内容空间基本概念几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母来命名；几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般用一个小写字母或用直线上两个点表示；一条直线把平面分成两个部分．几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面，平面或平面．一个平面将空间分成两个部分．如图的长方体通常记为，它有六个面（即围成长方体的各个矩形），十二条棱（相邻两个面的公共边），八个顶点（棱与棱的公共点）．看长方体的棱：，；（与有什么关系呢？可以引出两条直线的一种新关系：异面）看长方体的面：平面平行于平面，平面平行于平面棱垂直于底面，棱垂直于侧面围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．如上面长方体中，有四条对角线，，，，又称体对角线，，…称为面对角线．把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．<知识储备>⑴立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区别的，立体几何里的平面是理想化的，绝对平且无限延展的，它是点的集合．⑵立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分，无形状，无边沿，无厚度，不可度量．⑶我们通常画平行四边形表示平面，它表示的是整个平面，没有边沿，一般把这个平行四边形的锐角画成，并将横边的长度画成邻边的两倍．画两个相交平面时，当一个平面的一部分被另一部分遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画，以增加立体感．⑷有时根据需要我们也可以用其它平面图形来表示一个平面，如用三角形，圆等．⑸在立体几何中，辅助线并不总是虚线，而是根据实际情况，能看到的用实线，被遮住的用虚线，以增强立体感，更好地配合空间想象．⑹我们说两个平面时，通常情况下是指两个不重合的平面．⑺异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．如果两条直线既不平行又不相交，则它们是异面直线．棱柱、棱锥和棱台（1）棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．下图中的棱柱，两个底面分别是面，，侧面有，等四个，侧棱为，对角面为面，为棱柱的高．（2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．（3）棱柱的分类：=1\*GB3①底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；=2\*GB3②侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．（4）棱柱的记法：=1\*GB3①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱；=2\*GB3②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱或棱柱等．（5）特殊的四棱柱：（1）棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高．（2）棱锥的分类：=1\*GB3①底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；=2\*GB3②底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．（3）棱锥的记法：用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为棱锥或棱锥．（1）棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．（2）棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；（3）棱台的记法：用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示．（4）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．上图为一个正三棱台，记为棱台，侧棱，，延长后必交于一点．，为上下底面的中心，它们的连线是棱台的高，是棱台的斜高．圆柱、圆锥和圆台：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示．圆柱、圆锥、圆台的性质：=1\*GB3①平行于底面的截面都是圆；=2\*GB3②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．球与球面：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离．飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行．球的截面性质：球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有，其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离．平行投影由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．（1）概念：已知图形，直线与平面相交，过上任意一点作直线平行于，交平面于点，则点叫做点在平面内关于直线的平行投影（或象）；如果图形上的所有点在平面内关于直线的平行投影构成图形，则叫做图形在内关于直线的平行投影．平面叫做投射面，叫做投射线．<知识储备>另外的解释：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．（2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．（3）正投影：概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．直观图与三视图1．三视图：俯视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；主视图：一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主视图；左视图：和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．三视图：将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如下图为圆锥的三视图：<知识储备>投影法背景知识：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子，人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法，使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法，工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；三视图是观察者从不同位置观察同一个几何体画出的空间几何体图形，直观图是观察者站在某一点观察几何体画出的空间几何体的图形；三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形．画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．正等测画法的依据还是平行投影，不过这时投影线和人的视线平行，并且投影线与投影面垂直，它一般用于画圆柱，圆锥，圆台，球等旋转体．2．直观图：概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法：(1)斜二测画法规则：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴，，再作轴，使，．（三维空间中）②画直观图时，把，，画成对应的轴，使或，，所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）③已知图形中，平行于轴，轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴，轴或轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．(2)正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握．<知识引申>正等测画法具体应用主要应用于工程及机械专业的绘图．空间几何体的表面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．，其中为底面的周长，为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．，其中为底面边长，为斜高；，其中为底面周长，为圆锥的底面半径，为母线长；，其中分别是正棱台上下底面的边长，为斜高；，其中分别是圆台上下底面的半径，为母线长；，为球的半径．<知识储备>1．除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以直接推导出来．2．要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化．空间几何体的1．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：，其中为底面积，为高；2．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；3．台体（棱台，圆台）的体积公式：，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；4．球的体积：，为球的半径．<知识储备>对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的．祖暅原理：幂势相同，则积不容异．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等．祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年．课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：⑴长方体的体积；⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：；⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为；⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式．例题精讲例题精讲空间几何体的特征与性质有下列四个命题：各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有侧面可能都是直角三角形；④四棱锥的四个侧面中可能四个都是直角三角形．其中正确的命题有．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（）A．底面是正多边形B．各侧棱都相等C．各侧棱与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥(原创题)已知甲烷（）的分子结构是正四面体，如图，其中碳原子C位于正四面体的几何中心，四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点，碳氢原子之间各自以碳氢化学键相连，若每两个碳氢键之间夹角为，则=___________．空间想象能力的培养根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．下面的图形可以构成正方体的是 （）A B C D【巩固】如下图，右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的（）如图，长方体中，，，，并且．求沿着长方体的表面自到的最短线路的长．如图，是半径为的球心，点在球面上，两两垂直，分别是大圆弧与的中点，则点在该球面上的球面距离是（）A．B．C．D．利用几何体三视图求表面积和体积一个几何体的及长度数据如图，则该几何体的表面积与体积分别为（）A．B．C．D．如图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积为（）A．