九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-重难点专项突破07相似三角形中的“A”字模型（4种题型）（解析版）

重难点专项突破07相似三角形中的“A”字模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一：直接利用“A”字模型解题例1.如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝．【分析】利用A字模型相似三角形进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠ECB，∴△EAF∽△EBC，∴EAEB∴13∴AF＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．例2．（2022秋•静安区期末）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D、E分别在边AB、AC上，当AD＝4，∠ADE＝∠C时，＝．【分析】首先判定△ADE∽△ACB，然后利用该相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴＝．∵AC＝5，AD＝4，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．题型二：添加辅助线构造“A”字模型解题例3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=25，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝【分析】根据已知∠BCE＝∠A，想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点E作EF⊥BC，垂足为F，可得△ABC∽△CEF，进而可得CF＝2EF，然后设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，最后再证明A字模型相似△BFE∽△BCD，从而解答即可．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，AB=25∴AC=A∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴ACBC∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴BFBC∴2−2a2∴a=1∴EF=12，∴CE=E故答案为：52【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握A字模型相似是解题的关键．例4．如图，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值．【答案】．【解析】点作交于点． ，；，，，，，，的值为．【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．例5．如图，在中，点D在线段BC上，，，AD=2，BD=2DC，求AC的长．【答案】．【解析】过点作交于点． ，； 又， ，， ． ，． 又，．．【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．题型三：“AX”字型解题例6.如图，中，，，，，，求的长．【答案】．【解析】，，即，求得：．【总结】相似三角形中“”字型和“”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．例7.如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上， 且，已知，．求的长．【答案】2．【解析】由，可得：，故，由，，求得．【总结】相似三角形中“”字型和“”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．题型四：双A字模型例8.如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD， 垂足为F．求证：．AABCDEF【解析】ABBD，CDBD，EFBD， ， ，即．【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2020秋•大观区校级期中）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2，∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．故选：B．【点评】此题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．（2021秋•岳西县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝3，AC＝2，则DM＝（）A． B． C． D．【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质可得△DMC是等腰三角形，从而可得MD＝MC，然后再证明A字模型相似三角形△ADM∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∵DM∥CB，∴∠MDC＝∠DCB，∴∠MDC＝∠ACD，∴MD＝MC，∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B，∠AMD＝∠ACB，∴△ADM∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DM＝，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．3．（2021秋•萧县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，sinA＝，则BD的长度为（）A． B． C． D．4【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，∴cosA＝＝，∴cosA＝＝，∴AB＝5，∴BC＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4．（2021秋•亳州期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，下列条件不能使得△ABC与△ADE相似的是（）A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C．＝ D．＝【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故A不符合题意；B、∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，故B不符合题意；C、∵＝，∠AED≠∠ABC，∴△ABC与△ADE不相似，故C符合题意；D、∵＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．5．（2021秋•全椒县期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成影子AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，点C、A、P在同一水平线上，则树的高度AB长是（）A．3m B．2m C．m D．m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO．∴＝．∴＝．∴AB＝2．故选：B．【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．6．（2019秋•桐城市期末）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝2，CD＝3，那么EF的长是（）A． B．1 C． D．【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得＝，＝，从而可得+＝+＝1．然后把AB＝2，CD＝3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴＝，＝，∴+＝+＝1．∵AB＝2，CD＝3，∴+＝1，∴EF＝．故选：C．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+＝1是解决本题的关键．7．（2022•萧县校级开学）如图，若△ABC内一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，①∠BAC＝90°，则必有∠APC＝90°；②若AB＝AC．则必有PB2＝PA•PC，对于这两个结论，下列说法正确的是（）A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②均对 D．①，②均错【分析】①首先由∠BAC＝90°得到∠PAC+∠PAB＝90°，然后利用∠PAB＝∠PCA＝α即可证明；②首先利用AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB，即∠PBA+∠PBC＝∠PCB+∠PCA，再利用∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α可以得到∠PBA＝∠PCB，最后证明△ABP∽△BCP即可求证明．【解答】解：①当∠BAC＝90°时，∠PAC+∠PAB＝90°，∵∠PAB＝∠PCA＝α，∴∠PAC+∠PCA＝90°，∴∠APC＝90°，∴①正确；②当AB＝AC时，则∠ABC＝∠ACB，即∠PBA+∠PBC＝∠PCB+∠PCA，∵∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，∴∠PBA＝∠PCB，∵∠APB＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB，∠BPC＝∠180°﹣∠PCB﹣∠PBC，∴∠APB＝∠BPC，∴△ABP∽△BCP，∴PB2＝PA•PC．故选C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用等腰三角形的性质，能力要求比较高．二．填空题（共3小题）8．（2022秋•蒙城县月考）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝7.5m．【分析】根据题意证△DEF∽△DCB，根据线段比例关系求出BC即可求出AB的长．【解答】解：∵∠EDF＝∠CDB，∠BCD＝∠FED＝90°，∴，∵DE＝8cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝6（cm），∵DE＝8cm＝0.08m，EF＝6cm＝0.06m，∴，∴BC＝6m，AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（m），故答案为：7.5．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，并根据比例关系求值是解题的关键．9．（2023•亳州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是边AB上的一点，MN是线段CP的垂直平分线且分别交AC、BC于点M、N．（1）若MN∥AB，则MN＝2.5；（2）若MN经过Rt△ABC的某一顶点，则MN＝或．【分析】（1）设MN与CP相交于点E，先利用勾股定理求出AB，然后再利用A字模型相似三角形证明△CMN∽△CAB，即可得＝＝，然后进行计算即可解答；（2）分两种情况：当MN经过点A时，当MN经过点B时，画出图形然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：设MN与CP相交于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵MN是线段CP的垂直平分线，∴CP⊥MN，CE＝PE＝CP，∵MN∥AB，∴CP⊥AB，∠A＝∠CMN，∠B＝∠CNM，∴△CMN∽△CAB，∴＝＝，∴MN＝AB＝2.5，故答案为：2.5；（2）分两种情况：当MN经过点A时，连接PN，∵MN是线段CP的垂直平分线，∴AC＝AP＝3，NC＝NP，∵AN＝AN，∴△ACN≌△APN（SSS），∴∠ACB＝∠APN＝90°，∴∠NPB＝180°﹣∠APN＝90°，∴∠ACB＝∠NPB＝90°，∵AB＝5，AP＝3，∴BP＝AB﹣AP＝5﹣3＝2，∵∠B＝∠B，∴△BPN∽△BCA，∴＝，∴＝，∴NP＝，∴MN＝AN＝＝＝，当MN经过点B时，连接PM，∵MN是线段CP的垂直平分线，∴BC＝BP＝4，MC＝MP，∵BM＝BM，∴△MCN≌△MPN（SSS），∴∠ACB＝∠MPN＝90°，∴∠APM＝180°﹣∠MPN＝90°，∴∠ACB＝∠APM＝90°，∵AB＝5，BP＝4，∴AP＝AB﹣BP＝5﹣4＝1，∵∠A＝∠A，∴△APM∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PM＝，∴MN＝BM＝＝＝，综上所述：MN的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2021春•安庆期中）有一张矩形纸片ABCD，AD＝9，AB＝12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．【解答】解：如图，由勾股定理易得AC＝15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE＝7.5．∵∠AEF＝∠B＝90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．∴EF＝．∴折线长＝2EF＝．故答案为．【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．三．解答题（共5小题）11．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝4，求BC的长．【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，列出比例式代入数值，即可求出DE的长．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC＝10，∴BC的长为10．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形对应边成比例是解题的关键．12．（2022秋•瑶海区校级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝12，BC＝15．求AD长及四边形BDEF的周长．【分析】证△ADE∽△ABC，根据线段比例关系求AD，DE，然后根据四边形BDEF是平行四边形求周长即可．【解答】解：∵AE＝2CE，∴AC＝AE+CE＝2CE+CE＝3CE，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴AD＝AB，DE＝BC，∵AB＝12，BC＝15，∴AD＝8，DE＝10，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，∵EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴四边形BDEF的周长是：2（DE+BD）＝2×（10+4）＝28，即AD的长为8，四边形BDEF的周长是28．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2019秋•淮北期中）如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求证：AD2＝BG•DH；（2）求证：CE＝DG；（3）求证：EF＝HG．【分析】（1）证明∠BAG＝∠AHD，∠ABD＝∠ADB＝45°，得到△ABG∽△HDA，可得＝，即可得出结论；（2）连接AC，根据正方形ABCD的性质得到∠EAF＝45°，得到∠ACE＝∠ADN＝∠CAD＝45°，AC＝AD，继而可得∠EAC＝∠NAD，得到△EAC∽△NAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（3）根据两边的比相等，且夹角相等证明△GAH∽△EAF，得＝，证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD，∵∠EAF＝45°，∴∠BAG＝45°+∠BAH，∠AHD＝45°+∠BAH，∴∠BAG＝∠AHD，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴△ABG∽△HDA，∴＝，∴BG•DH＝AB•AD＝AD2；（2）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ADB＝∠CAD＝45°，∴AC＝AD，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAF﹣∠CAF＝∠CAD﹣∠CAF，即∠EAC＝∠GAD，∴△EAC∽△GAD，∴＝＝，∴CE＝DG；（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，∴＝＝，同理得：△AFC∽△AHB，∴＝＝，∴＝，∵∠GAH＝∠EAF，∴△GAH∽△EAF，∴＝＝，∴EF＝GH．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．14．（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△ABC的中位线，进而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，进而可得EA＝ED，即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE∥CA，∴点E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，∵点D是边BC的中点，DF∥AB，∴点F是AC的中点，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值为1．【点评】本题考