2024秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.1双曲线的简单几何性质课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-其次章2.32.3.2第请同学们仔细完成练案[15]A级基础巩固一、选择题1．(安徽安庆市2024－2024学年高二调研)“m＝1”是“双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3)＝1的离心率为2”的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]∵双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3)＝1的离心率为2，∴a2＝m>0，b2＝3.∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(3,m))＝2，∴m＝1.∴“m＝1”是“双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3)＝1的离心率为2”的充要条件．故选C．2．(2024·全国卷Ⅱ理，5)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为(A)A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x[解析]双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又∵离心率eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(3)，∴a2＋b2＝3a2.∴b＝eq\r(2)a(a>0，b>0)．∴渐近线方程为eq\r(2)ax±ay＝0，即y＝±eq\r(2)x.故选A．3．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(D)A．eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1[解析]依据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,2)x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝eq\f(b,2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq\f(4,\r(4＋b2))，yA＝eq\f(2b,\r(4＋b2))，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝eq\f(32b,4＋b2)＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，故选D．4．过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝(D)A．eq\f(4\r(3),3) B．2eq\r(3)C．6 D．4eq\r(3)[解析]双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－eq\f(y2,3)＝0，将x＝2代入x2－eq\f(y2,3)＝0得：y2＝12，y＝±2eq\r(3)，∴|AB|＝4eq\r(3).选D．5．已知双曲线以△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a，b，c.且a＝4，b＝5,c＝eq\r(21)，则此双曲线的离心率为(C)A．5－eq\r(21) B．eq\f(\r(21)＋5,2)C．5＋eq\r(21) D．eq\f(5－\r(21),2)[解析]由题意，2c′＝4,2a′＝5－eq\r(21)，∴e＝eq\f(4,5－\r(21))＝5＋eq\r(21).故选C．6．已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为(A)A．x±eq\r(2)y＝0 B．eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0[解析]eeq\o\al(2,1)＝eq\f(c\o\al(2,1),a2)＝eq\f(a2－b2,a2)，eeq\o\al(2,2)＝eq\f(c\o\al(2,2),a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)，∴eeq\o\al(2,1)·eeq\o\al(2,2)＝eq\f(a4－b4,a4)＝1－(eq\f(b,a))4＝eq\f(3,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.二、填空题7．已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为__eq\f(x2,4)－y2＝1__.[解析]依据双曲线渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，可设双曲线的方程eq\f(x2,4)－y2＝m，把(4，eq\r(3))代入eq\f(x2,4)－y2＝m得m＝1.所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.8．(2024－2024学年房山区期末检测)以下三个关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，k为非零常数，若|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1与椭圆eq\f(x2,35)＋y2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为__②③__(写出全部真命题的序号)．[解析]①平面内与两个定点F1，F2的距离的差的肯定值等于常数k(k＜|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k＝|AB|时，表示射线，∴①②方程2x2－5x＋2＝0的两根是2和eq\f(1,2)，2可作为双曲线的离心率，eq\f(1,2)可作为椭圆的离心率，②正确；③双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1与椭圆eq\f(x2,35)＋y2＝1的焦点都是(±eq\r(34)，0)，有相同的焦点，③正确；故答案为②③.三、解答题9．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程．[解析]∵点A与圆心O连线的斜率为－eq\f(1,4)，∴过A的切线的斜率为4.∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x.设双曲线方程为x2－eq\f(y2,16)＝λ.∵点A(4，－1)在双曲线上，∴16－eq\f(1,16)＝λ，λ＝eq\f(255,16).∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,\f(255,16))－eq\f(y2,255)＝1.10．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq\f(\r(3),4)c，求双曲线的离心率．[解析]由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为eq\f(\r(3),4)c得，eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),4)c.将b＝eq\r(c2－a2)代入平方后整理得，16(eq\f(a2,c2))2－16·eq\f(a2,c2)＋3＝0.解关于eq\f(a2,c2)的一元二次方程得eq\f(a2,c2)＝eq\f(3,4)或eq\f(1,4).∵e＝eq\f(c,a)，∴e＝eq\f(2\r(3),3)或e＝2.因0<a<b，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(2)，所以应舍去e＝eq\f(2\r(3),3)，故所求离心率e＝2.B级素养提升一、选择题1．(多选题)双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则离心率为(BC)A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(\r(5),2)C．eq\r(5) D．eq\r(3)[解析]当焦点在x轴上时，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(5),2)，当焦点在y轴上时，eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，故选BC．2．(2024－2024学年辽宁葫芦岛协作校考试)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(4,0)，点A的坐标为(0,3)，点P为双曲线左支上的动点，且|PA|＋|PF|的最小值为9，则该双曲线的离心率是(C)A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．3[解析]设双曲线左焦点为Q(－4,0)，则由双曲线的定义有|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a＋|PQ|≥|AQ|＋2a＝9.当且仅当P，A，此时|AQ|＝eq\r(32＋42)＝5.故5＋2a＝9⇒a＝2.又c＝4.故离心率e＝eq\f(4,2)＝2.故选C．3．(2024·河南洛阳市高二期末)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过左焦点F1的直线切圆x2＋y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若eq\o(F1P,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，则双曲线C的渐近线方程为(B)A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x[解析]∵过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，左焦点F1引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为P，∴|OP|＝a，设双曲线的右焦点为F′，∵P为线段FQ的中点，∴|QF′|＝2a，|QF1|＝2b由双曲线的定义知：2b－2a＝2∴b＝2a∴双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，即2ax±ay＝0，∴2x±y＝0.故选B．4．(多选题)双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是(BC)A．该双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)xC．点P到两渐近线的距离的乘积为eq\f(144,25)D．若PF1⊥PF2，则△PF1F2[解析]∵eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，故A错误；双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，即4x±3y＝0，故B正确；设双曲线上一点P(x0，y0)，∴eq\f(x\o\al(2,0),9)－eq\f(y\o\al(2,0),16)＝1，即16xeq\o\al(2,0)－9yeq\o\al(2,0)＝144，则点P到两渐近线的距离的乘积为eq\f(|4x0＋3y0|,5)·eq\f(|4x0－3y0|,5)＝eq\f(|16x\o\al(2,0)－9y\o\al(2,0)|,25)＝eq\f(144,25)，故C正确；若PF1⊥PF2，则∠F1PF2＝90°，由焦点三角形面积公式S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(∠F1PF2,2))＝eq\f(16,tan45°)＝16，故D错误．综上，正确的有BC．二、填空题5．(2024·北京卷，12)已知双曲线C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为__y＝±eq\f(\r(3),6)x__，C的焦点到其渐近线的距离是__eq\r(3)__.[解析]双曲线C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),6)x，即y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).6．从双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝9的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|＝__1__.[解析]设F2为椭圆右焦点，则|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，|PF|－|PF2|＝6.∵FT是⊙O的切线，∴|FT|＝4，∴|MT|＝|MF|－|FT|＝eq\f(1,2)|PF|－4，∴|MO|－|MT|＝eq\f(1,2)|PF2|－eq\f(1,2)|PF|＋4＝4－eq\f(1,2)(|PF|－|PF2|)＝1.三、解答题7．若F1、F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．[解析]由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5.由双曲线的定义得，||PF1|－|PF2||＝2a上式两边平方得，|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，所以∠F1PF2＝90°.8．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|eq\o(MQ,\s\up6(→))|＝2|eq\o(QF,\s\up6(→))|，求直线l的方程．[解析](1)由题意可设所求的双曲线方程为eq\f(x2,