2024秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2.2直线与抛物线的位置关系学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE9-2.4.2.2直线与抛物线的位置关系自主预习·探新知情景引入一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调整，就能射出一束较强的平行光，这是什么缘由呢？提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形态是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．新知导学直线与抛物线的位置关系直线与抛物线公共点的个数可以有__0个、1个或2个__.将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线__相切__，若Δ>0，则直线与抛物线__相交__，若Δ<0，则直线与抛物线__没有公共点__.特殊地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有__一__个公共点．预习自测1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(C)A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0[解析]设弦两端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2.∵A、B在抛物线上，∴yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－4，∴直线AB方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为(C)A．45° B．60°C．90° D．120°[解析]设抛物线方为y2＝2px(p>0)．如图，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠FA1A∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝eq\f(1,2)∠AFB＝90°.3．直线y＝x＋1与抛物线y2＝2px相交，所得弦长为2eq\r(6)，则此抛物线方程为(C)A．y2＝2x B．y2＝6xC．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不对[解析]把x＝y－1代入y2＝2px得y2－2py＋2p＝0，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝2p，k＝1，由弦长eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(6)，可解得p＝－1或3.∴抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.故选C．4．(2024·黑龙江省学业水平考试)直线l过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)若|BF|＝2，则|AF|＝(B)A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(12,5) D．eq\f(8,3)[解析]可得抛物线C：y2＝2x的焦点F(eq\f(1,2)，0)，准线方程为：x＝－eq\f(1,2)，由抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，故点B在第四象限，设B(x1，y1)，(x1＞0，y1＜0)，由|BF|＝2，由抛物线定义可得：x1＋eq\f(1,2)＝2，x1＝eq\f(3,2)，代入抛物线方程可得：y1＝－eq\r(3)，故B(eq\f(3,2)，－eq\r(3))，设AB的直线方程为：eq\f(y－0,－\r(3)－0)＝eq\f(x－\f(1,2),\f(3,2)－\f(1,2))，化简可得：y＝－eq\r(3)x＋eq\f(\r(3),2)，联立直线与抛物线：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x＋\f(\r(3),2),y2＝2x))，可得3x2－5x＋eq\f(3,4)＝0，解得：x＝eq\f(3,2)或x＝eq\f(1,6)，故A点的横坐标为eq\f(1,6)，|AF|＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，故选B．5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为eq\r(3)的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若Aeq\o(M,\s\up6(→))＝Meq\o(B,\s\up6(→))，则p＝__2__.[解析]本题考查了抛物线与直线的位置关系．如图，由斜率为eq\r(3)，∠BMx＝60°，可得BP＝eq\f(1,2)AB，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，∴M为中点．∴BP＝BM，∴M为焦点，即eq\f(p,2)＝1，∴p＝2.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶直线与抛物线的位置关系典例1已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[思路分析]直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可探讨之．[规范解答]直线l：y－1＝k(x－1)，将x＝－eq\f(y2,2)代入整理得，ky2＋2y＋2k－2＝0.(1)k＝0时，把y＝1代入y2＝－2x得，x＝－eq\f(1,2)，直线l与抛物线C只有一个公共点(－eq\f(1,2)，1)．(2)k≠0时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4.由Δ＝0得，k＝eq\f(1±\r(3),2)，∴当k<eq\f(1－\r(3),2)或k>eq\f(1＋\r(3),2)时，Δ<0，l与C无公共点．当k＝eq\f(1±\r(3),2)时，Δ＝0，l与C有且只有一个公共点．当eq\f(1－\r(3),2)<k<eq\f(1＋\r(3),2)且k≠0时，Δ>0，l与C有两个公共点．综上知，k<eq\f(1－\r(3),2)或k>eq\f(1＋\r(3),2)时，l与C无公共点；k＝eq\f(1±\r(3),2)或k＝0时，l与C只有一个公共点；eq\f(1－\r(3),2)<k<0或0<k<eq\f(1＋\r(3),2)时，l与C有两个公共点．『规律总结』直线与抛物线交点个数的推断方法设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，①若a≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．┃┃跟踪练习1__■过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为eq\f(π,4)的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为__8__.[解析]过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为eq\f(π,4)的直线方程为y＝x－1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，Δ＝36－4＝32>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，|FA|·|FB|＝eq\r(x1－12＋y\o\al(2,1))·eq\r(x2－12＋y\o\al(2,2))，＝eq\r(x\o\al(2,1)－2x1＋1＋4x1)·eq\r(x\o\al(2,2)－2x2＋1＋4x2)＝eq\r(x1＋12)·eq\r(x2＋12)＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝1＋6＋1＝8.命题方向❷与抛物线有关的中点弦问题典例2已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程．[规范解答](1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，所求抛物线方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝4x1①，yeq\o\al(2,2)＝4x2②，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以eq\f(y2－y1,x2－x1)＝2，所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.『规律总结』“中点弦”问题的两种解题策略(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)求斜率，再由点斜式求解．(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．┃┃跟踪练习2__■若本例中条件“线段AB恰被M(2,1)所平分”改为“线段AB恰被M(1,1)所平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，说明理由．[解析]存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝4x1①yeq\o\al(2,2)＝4x2②且y1＋y2＝2，②－①得yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)＝4(x2－x1)∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝2，∴直线AB的方程为y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.命题方向❸抛物线性质的综合应用典例3已知点A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点．[规范解答](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.∴yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2＝－4p2y1y2∴y1y2＝－4p2∴x1x2＝4p2(2)证明：yeq\o\al(2,1)＝2px1①yeq\o\al(2,2)＝2px2②②－①得yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)＝2p(x2－x1)∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(2p,y1＋y2)∴直线AB的斜率为eq\f(2p,y1＋y2)∴直线AB的方程为y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－x1)即y＝eq\f(2p,y1＋y2)x＋eq\f(y1y2,y1＋y2)也就是y＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－2p)∴直线AB过定点(2p,0)．『规律总结』应用抛物线性质解题的常用技巧1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合题中，常常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法许多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．4．圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要探讨问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．┃┃跟踪练习3__■(2024－2024学年辽宁葫芦岛协作校考试)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线方程是x＝－2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且倾斜角为eq\f(π,4)的直线l与抛物线C交于A，B两点，求|AB|；(3)设点M在抛物线C上，且|MF|＝6，求△OFM的面积(O为坐标原点)．[解析](1)因为抛物线C的准线方程是x＝－2，所以eq\f(p,2)＝2，即p＝4，故抛物线C的方程为y2＝8x.(2)因为直线l过点F，且倾斜角为eq\f(π,4)，所以直线l的方程是y＝x－2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x,y＝x－2))，整理得x2－12x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.(3)设M(x0，y0)，因为|MF|＝6，所以x0＋eq\f(p,2)＝6，所以x0＝4，将(4，y0)代入方程y2＝8x，解得y0＝±4eq\r(2)，则△OFM的面积为eq\f(1,2)|OF||y0|＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2).学科核心素养与抛物线有关的最值问题的再探究(1)具备定义背景的最值问题，可用定义转化为几何问题来处理．(2)最值问题常用方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解．典例4已知点F(1,0)，点P为平面上的动点，过点P作直线l：x＝－1的垂线，垂足为Q，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→)).(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满意eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(MB,\s\up6(→))|的取值范围．[规范解答](1)设P(x，y)，则Q(－1，y)，∵eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，F(1,0)，∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，∴2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，即y2＝4x，∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)由(1)知，M(0,0)，设A(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)，B(eq\f(y\o\al(2,2),4)，y2)，则eq\o(MA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),4)，y2－y1)，∵eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),16)＋y1(y2－y1)＝0，又y1≠y2，y1≠0，∴y2＝－(y1＋eq\f(16,y1))，∴yeq\o\al(2,2)＝yeq\o\al(2,1)＋eq\f(256,y\o\al(2,1))＋32≥2eq\r(256)＋32＝64，当且仅当yeq\o\al(2,1)＝eq\f(256,y\o\al(2,1))，即y1＝±4时取等号．又|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(y\o\al(2,2),4)2＋y\o\al(2,2))＝eq\f(1,4)eq\r(y\o\al(2,2)＋82－64)(yeq\o\al(2,2)≥64)，∴当yeq\o\al(2,2)＝64，即y2＝±8时，|eq\o(MB,\s\up6(→))|min＝8eq\r(5)，故|eq\o(MB,\s\up6(→))|的取值范围是[8eq\r(5)，＋∞)．『规律总结』常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要留意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，则x0＝eq\f(y\o\al(2,0),2p)，即P(eq\f(y\o\al(2,0),2p)，y0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应留意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y2＝2px(p>0)，则x≥0，y2≥0.┃┃跟踪练习4__■已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值时的点P的坐标是__(0,0)__.[解析]设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－y2,4)，y))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－2，y))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－4，y))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\