2024秋高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-2.1.2演绎推理自主预习·探新知情景引入在生活中，我们常常会遇到这样一些推断：人生病要吃药，小明生病了，因此，小明要吃药；摩擦生热，冬天双手相互摩擦，手就不冷了；随意四边形的内角和为360°，梯形是四边形，因此梯形的内角和是360°，……这些推理都是从一般的原理动身，推出某个特别状况下的结论的，与前一节所学的合情推理不同，这属于另一种推理——演绎推理．新知导学1．演绎推理从__一般性的原理__动身，推出__某个特别__状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由__一般到特别__的推理．2．演绎推理与合情推理的主要区分与联系(1)合情推理与演绎推理的主要区分：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由__部分__到__整体__、__个别__到__一般__的推理，类比是由__特别__到__特别__的推理；而演绎推理是由__一般__到__特别__的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不肯定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论肯定正确．(2)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发觉，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．3．三段论(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的__一般原理__；②小前提——所探讨的__特别状况__；③结论——依据一般原理，对特别状况做出的__推断__.其一般推理形式为大前提：M是P.小前提：S是M.结论：__S是P__.(2)利用集合学问说明“三段论”：若集合M的全部元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么__S中全部元素也都具有性质P__.4．其他演绎推理形式(1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”．(2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等．注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是常常见到的，为表述记忆便利，我们也一块给出，以供学生扩展学问面．(3)完全归纳推理是把全部可能的状况都考虑在内的演绎推理规则．预习自测1．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x是对数函数(小前提)，所以y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x是增函数(结论)．”下列说法正确的是(A)A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误[解析]大前提错误，因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，故选A.2．“全部9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数．”上述推理是(A)A．完全正确B．推理形式不正确C．错误，因为大小前提不一样D．错误，因为大前提错误3．给出下列结论：①演绎推理的特征为，前提为真时，结论肯定为真．②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真．③由合情推理得到的结论肯定为真．④演绎推理和合情推理都可以用于证明．⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．其中正确结论的序号为__①⑤__.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶三段论推理模式的理解与应用典例1将下列演绎推理改写为三段论推理的形式，并注明大前提、小前提、结论．(1)函数f(x)＝x4的图象关于y轴对称；(2)全部的奇数都不能被4整除，所以23不能被4整除；(3)通项公式为an＝3n－1的数列{an}是等差数列．[思路分析]分析各个命题，明确它们的大前提、小前提、结论，若有省略，则应补齐，然后再改写为三段论模式．[解析](1)全部偶函数的图象关于y轴对称，大前提函数f(x)＝x4是偶函数，小前提所以函数f(x)＝x4的图象关于y轴对称．结论(2)全部的奇数都不能被4整除，大前提23是奇数，小前提所以23不能被4整除．结论(3)在数列{an}中，假如当n≥2时，an－an－1为同一个常数，那么{an}为等差数列，大前提通项公式为an＝3n－1的数列{an}中，当n≥2时，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3为常数，小前提所以通项公式为an＝3n－1的数列{an}是等差数列．结论．『规律总结』用三段论写演绎推理的过程时，关键是明确其中的大前提、小前提、结论，其中大前提是指一般性的原理，一般都是省略不写的；小前提指出了一种特别状况，有时也是省略的，大小前提结合起来，揭示了一般原理与特别状况的内在联系，得到结论．┃┃跟踪练习1__■将下列演绎推理改写为三段论推理的形式，并注明大前提、小前提、结论．(1)直角三角形的内角和等于180°；(2)三角函数是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；(3)在数列{an}中，an＝3·4n，则数列{an}是等比数列．[解析](1)因为全部三角形的内角和都等于180°，大前提直角三角形是三角形，小前提所以直角三角形的内角和等于180°.结论(2)因为全部三角函数都是周期函数，大前提y＝tanx是三角函数，小前提所以y＝tanx是周期函数．结论(3)假如在数列{an}中，eq\f(an＋1,an)＝q(q是与n无关的常数)，那么{an}是等比数列，大前提数列{an}当an＝3·4n时，eq\f(an＋1,an)＝4，小前提所以数列{an}是等比数列．结论命题方向❷演绎推理在几何证明中的应用典例2已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图所示，求证：l⊥β.[思路分析]本题可由线面垂直的定义证明l⊥β.[解析]在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.①假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提所以a∥b.结论②假如一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的随意一条直线都垂直，大前提l⊥α，a⊂α，小前提所以l⊥a.结论③假如一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提a∥b，且l⊥a，小前提所以l⊥b.结论④假如一条直线和一个平面内的随意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提因为l⊥b，且直线b是平面β内的随意一条直线，小前提所以l⊥β.结论『规律总结』在几何推理过程中，多数状况采纳的都是三段论推理模式，其中大前提通常是：两个三角形全等、相像的判定定理，线面平行与垂直的判定定理、性质定理，面面平行与垂直的判定定理、性质定理等，因此都可以省略不写．┃┃跟踪练习2__■用三段论证明，并指出每一步推理的大前提和小前提．如图所示，在锐角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足．证明：AB的中点M到D、E的距离相等．[证明](1)∵有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，小前提∴△ABD是直角三角形．结论同理，△AEB也是直角三角形．(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，小前提∴DM＝eq\f(1,2)AB.结论同理，EM＝eq\f(1,2)AB.∴DM＝EM.学科核心素养用三段论证明代数题典例3(2024·菏泽高二检测)已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满意f(m)>f(n)，则m，n的大小关系是__m<n__.[解析]当0<a<1时，函数f(x)＝ax为减函数，(大前提)a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，(小前提)所以函数f(x)＝(eq\f(\r(5)－1,2))x为减函数，(结论)故由f(m)>f(n)，得m<n.『规律总结』五类代数问题中的三段论(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．(2)导数的应用：利用导数探讨函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式．(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列．(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题．┃┃跟踪练习3__■设a>0，f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上为增函数．[解析](1)因为f(x)是R上的偶函数，所以对一切x∈R，都有f(x)＝f(－x)，即eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)＝eq\f(e－x,a)＋eq\f(a,e－x)＝eq\f(1,aex)＋aex，整理得(eq\f(1,a)－a)(ex－eq\f(1,ex))＝0对一切x∈R恒成立．因ex－eq\f(1,ex)不恒为0，故eq\f(1,a)－a＝0，所以a＝±1.又a>0，所以a＝1.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝ex1＋eq\f(1,ex1)－ex2－eq\f(1,ex2)＝(ex2－ex1)·(eq\f(1,ex1＋x2)－1)＝ex1(ex2－x1－1)·eq\f(1－ex1＋x2,ex1＋x2).因为x1>0，x2>0且x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋x2>0，所以ex2－x1>1,1－ex1＋x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．易混易错警示三段论推理中大(小)前提错误致误典例4如图，已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.[错因分析]在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误．[正解]证明：如图，过点A作直