第13讲“设而不求”（教师版）

第13讲“设而不求”（教师版）一、第13讲“设而不求”（例题部分）1.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管.打开4个进水管时，需要5小时注满水池.打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池.现在要在2小时内将水池注满，至少要打开多少个进水管?【答案】解：设每个进水管1小时的注水量为a，排水管1小时的排水量为b,设2小时注满水池需要打开x个进水管，则由题意，得这方程组只有两个方程，却有三个未知数.在一般情况下是不能确定这三个未知数的值的.但由方程组的特点，我们可以求出x的值，而不用具体求出辅助未知数a、b的值.由①得4a-6=6b-3b，即a=b.

③将③代入②，得2(ax-a)一15(2a-a)，2ax=17a.所以x=8.5.水管当然不能有半个，所以至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.答：至少需打开9个进水管.【解析】【分析】本题若只设一个未知数x，等量关系就不太明显,因此，我们又设了辅助未知数a与b，从而列出了含有三个未知数、两个方程的方程组.再根据这个方程组本身的特点，在不求a与b的情况下，求得x的值.2.小强上山时的速度为3千米／时.到达山顶后，沿原路下山，下山时的速度为5千米／时.求小强在整个过程中的平均速度.【答案】解：设小强上山时的路程为s千米，则上山所用的时间为小时.下山的路程也是s千米，下山所用时间时.因此，在整个过程中，总的路程为2s，总的时间为了+，根据平均速度的计算公式；得=答：小强在整个过程中的平均速度为千米／时.【解析】【分析】不可粗心地认为平均速度为=4(千米／时).这种错误是由于对平均速度的概念不太清楚.我们知道，平均速度=总路程÷总时问，而题设中并未给出这个总路程：因此我们引入了辅助未知数s.在列出算式后，我们发现s并不用求，它在计算过程中自然消去了.3.小明和小亮同时出发，从甲地往乙地.小明走完全程的一半时，小亮才走了l6千米.小亮走完全程的一半时，小明已走了25千米.小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米?【答案】解：设半程长为s千米，小明的速度为每小时x千米，小亮的速度为每小时y千米.由于在相同时问里走过的距离与速度成正比，所以由①、②得即由s≥0，得s=20.2×(20-16)=8.答:小亮未走完的路程还有8千米.【解析】【分析】设半程长为s千米，小明的速度为每小时x千米，小亮的速度为每小时y千米.由于在相同时问里走过的距离与速度成正比，根据题意列出方程，从而得出半程s值，再由题意求得答案.4.A、B、C、D、E五个人做一项工作．若A、B、C、D四人一起做，8天可完工．若B、C、D、E四人一起做，6天可完工.若A、E两人一起做，12天可完工．若A一个人单独做，多少天才能完工?【答案】解：设总工作量为1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d、e．根据题意得①-②得a-e=-

④③十④得2a=a=所以，A一人单独做，需=48（天）才能完工.答：A一人单独做，需48天才能完工．【解析】【分析】设总工作量为1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d、e．根据工作效率=工作总量÷工作时间，结合题意列出方程，解之可求得A的工作效率，再由工作时间=工作总量÷工作效率求得答案.5.如图，在一个梯形内有两块面积分别为10和12的三角形．已知梯形的上底长是下底长的，求图中阴影部分的面积．【答案】解：设这个梯形的上底长为2a，下底长为3a．梯形的高是面积为10、12的两个三角形的高的和，即为梯形的面积为：所以，阴影部分面积为45-10-12=23.【解析】【分析】根据题意设这个梯形的上底长为2a，下底长为3a；再由题中给出的两个三角形的面积以及三角形面积公式可求得梯形的高为，根据梯形面积=（上底+下底）×高，由此求得梯形面积，阴影部分面积=梯形面积-两个三角形面积即可求得.6.一个十位数字为0的三位数，恰好等于数字和的67倍.交换个位与百位数字后得到一个新的三位数．新的数是数字和的m倍，求m的值．【答案】解：设原三位数的百位数字为x，个位数字为y．由题意，得①

+②得由x+y>0，得67+m=101，m=34．答:m的值为34．【解析】【分析】设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程，再两个方程相加，由x+y>0得67+m=101，解之即可得m值.7.设a1，a2，…，a1999,a2000都是正数，M=(a1+a2+…+a1999)(a2+a3+…+a2000)，N=(a1+a2+…+a2000)(a2+a3+…+a1999)．试比较M与N的大小．【答案】解：设x=a2+a3+…+a1999，则M=(a1+x)(x+a2000)=x2+(a1+a2000)x+a1a2000，N=(a1+x+a2000)x=x2+(a1+a2000)x．所以，M-N=a1a2000．由于以a1>0，a2000>0，

故a1a2000>0，

即M-N>0，

亦即M>N．答:M>N．【解析】【分析】分析本题粗看之下，与“设而不求”好像没有什么关系．但仔细观察本题的特点，发现不管M和N的哪一个因式，都有a2+a3+…+a1999．若用乘法展开