第7章《平面图形的认识（二）》（解析）VIP

2022-2023学年苏科版数学七年级下册易错题真题汇编（提高版）第7章《平面图形的认识（二）》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•偃师市校级一模）小明将含30°的三角板和一把直尺如图放置，测得∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°解：如图：∵∠1＝25°，∠3＝∠1+30°，∴∠3＝55°，∵直尺的对边平行，∴∠4＝∠3＝55°，∴∠2＝180°﹣90°﹣∠4＝180°﹣90°﹣55°＝35°，故选：C．2．（2分）（2022秋•崂山区期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．3．（2分）（2022春•东坡区期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（）A．22° B．27° C．30° D．37°解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，∵MN⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA与∠COM互为对顶角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故选：B．4．（2分）（2022春•宾阳县期末）如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵GH∥BC，∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故②正确；即正确的个数是2，故选：B．5．（2分）（2022•黔东南州一模）如图，AB∥CD，若∠E＝55°，则∠B+∠D等于（）A．125° B．180° C．250° D．305°解：过点E作EF∥AB，如图：∵EF∥AB，AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠FED＝180°，∴∠B+∠BEF+∠D+∠FED＝360°，即∠B+∠BED+∠D＝360°．而∠BED＝55°，∴∠B+∠D＝360°﹣55°＝305°．故选：D．6．（2分）（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④解：当点G在点F右侧时，如图示：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH＝（∠AEF+∠FEG）＝（180°﹣∠BEG）＝（180°﹣β），∴2α+β＝180°，故④是正确的；当点G在M和F之间时，如图：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH＝∠AEF﹣∠FEG＝（180°﹣∠BEF）﹣（180°﹣β﹣∠BEF）＝β，∴2α＝β，故①是正确的．故选：B．7．（2分）（2022春•工业园区校级期中）如图，△ABC的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为17，则△ABC的面积是（）A．54 B．51 C．42 D．41解：如图所示，连接CF，∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，∴S△BCE＝S△ABD，∴S四边形CDFE＝S△ABF＝17，∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE，∴S△BCF＝S△BAF＝17，同理可得，S△ACF＝S△BAF＝17，∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝17，∴S△ABC＝3S△BAF＝3×17＝51，故选：B．8．（2分）（2022春•越秀区校级期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK＝∠CKG，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠AGK＝∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，∵∠FGA＝∠DGH，∴90°﹣2∠FGA＝16°，∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确；设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，∴∠AGK＝∠1+∠2，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM＝∠CGM，∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2，∴∠2＝18.5°，∴∠MGK＝18.5°，故④错误，故选：B．9．（2分）（2022秋•广州期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC＝为整数，∴BC边长为偶数，∴BC＝4，6，8，10，即BC的长可能值有4个，故选：A．10．（2分）（2019秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•礼泉县期末）如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为36°．解：延长FB交CD于点G，如图：∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠3，∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补，∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，∴x+4x＝180，解得，x＝36，即∠F的度数为36°．故答案为：36．12．（2分）（2022春•西乡塘区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，若按此变化规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则＝2n+1．解：由题意得：△OAB的面积＝OB•2＝×2×2＝2，△OA1B1的面积＝OB1•2＝×4×2＝4＝22，△OA2B2的面积＝OB2•2＝×8×2＝8＝23，…∴△OAnBn的面积＝2n+1，故答案为：2n+1．13．（2分）（2022秋•香坊区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝95°．解：过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，如图：∵AB∥CD，QF∥AB，∴AB∥QF∥CD，∴∠BAQ＝∠AQF，∠QCD＝∠CQF，∴∠BAQ+∠QCD＝∠AQF+∠CQF，即∠BAQ+∠QCD＝∠AQC，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∴∠APE+∠CPE+∠PAB+∠PCD＝360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，∵∠APC＝75°，∴∠PAB+∠PCD＝285°，∵∠PAQ＝2∠BAQ，∴∠PAB＝3∠BAQ，∵∠PCD＝3∠QCD，∴3∠BAQ+3∠QCD＝285°，∴∠BAQ+∠QCD＝95°，∴∠AQC＝95°．故答案为：95°．14．（2分）（2022春•孝南区期末）如图1，∠DEF＝24°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中∠CFE＝108°．解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝24°．由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝156°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝132°，图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝108°．故答案为：108°．15．（2分）（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为25°或115°．解：①当点F在AB的上方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠BEF＝∠C＝50°，∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝×50°＝25°；②当点F在BC的下方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE＝∠BDG＝×70°＝35°；∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣30°﹣35°＝115°综上所述，∠BDE的度数为25°或115°．故答案为：25°或115°．16．（2分）（2022春•武汉期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝28度．解：如图，分别过E、G作AB的平行线EM和GN，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥CD∥GN，∵BE是∠ABG的平分线，CF是∠GCD的平分线，∴∠BEM＝∠ABE＝∠ABG，∠MEF＝∠DCF＝∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°，∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF＝（∠ABG+∠GCD），∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°，∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°，∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°，∴3∠BEC＝5∠BGC+172°，∴∠BGC＝（5∠BGC+172°）﹣180°，∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°，∴∠BGC＝28°．故答案为：28．17．（2分）（2022春•新都区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，点E在BC上，点D在AC上，AE⊥BD，若AE＝BD，CE：BE＝4：5，S△AEB＝65，则S△DCE＝20．解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：则∠BMD＝∠CMD＝∠ANE＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CDM、△CAN是等腰直角三角形，∴CM＝DM，CN＝AN，∵AE⊥BD，∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DBM＝90°，∴∠EAN＝∠DBM，∴△AEN≌△BDM（AAS），∴AN＝BM，EN＝DM，∴CN＝BM，∴CM＝BN，∴CM＝DM＝BN＝EN，设BE＝5a，则CE＝4a，BC＝BE+CE＝9a，CM＝DM＝BN＝EN＝BE＝a，AN＝BM＝BC﹣CM＝a，∴S△AEB＝BE×AN＝•5a•a＝65，∴a2＝4，∴S△DCE＝CE×DM＝•4a•a＝5a2＝20；故答案为：20．18．（2分）（2022春•南京期中）如图，在两条笔直且平行的景观道AB，CD上放置P，Q两盏激光灯．其中光线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至边PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向以每秒3°的速度旋转至边QD就停止旋转，此时光线PB也停止旋转．若光线QC先转4秒，光线PB才开始转动，当PB1∥QC1时，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．解：当PB1∥QC1，则∠PB1Q＝∠CQC1，如下图：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠CQC1＝∠BPB1．设光线PB旋转时间为t秒，∴4×3+3t＝5t．∴t＝6．当PB1∥QC1，则∠CQC1＝∠PB1C，如下图：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠BPB1＝∠CQC1．设光线PB旋转时间为t秒，此时光线PB由PA处返回，∴∠APB1＝5t°﹣180°．∴∠BPB1＝180°﹣∠APB1＝180°﹣（5t°﹣180°）＝360°﹣5t°．∴360﹣5t＝4×3+3t．∴t＝43.5．综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．故答案为：6或43.5．19．（2分）（2018秋•香坊区期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝35°．解：∵AD⊥BC，∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD，又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD，∴∠FCB＝∠B，∴EF∥AB，∴∠ECG＝∠BGC＝70°，∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，∴∠BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCG，∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG＝×70°＝35°，故答案为：35．20．（2分）（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，且AE：EB＝2：3，点D是BC边上的点，且BD：DC＝1：2，AD与CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是16，则△ABC的面积为60．解：连接FB，如图所示：设S△BDF＝a，S△BEF＝b，∵，∴S△AEF＝b，∵BD：DC＝1：2，∴S△CDF＝2a，∴S△ABD＝S△ACD＝（16+b），S△ACE＝（16+2a），∵S△ACF＝S△ACD﹣S△CDF＝S△ACE﹣S△AEF，∴32+b﹣2a＝（16+2a）﹣b，∴10a﹣6b＝64，∵a+b＝16，，解得，∴S△ABC＝S△ACD+S△AEF+S四边形BDFE＝（32+b）+b+16＝40+20＝60．故答案为：60．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝80°；探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∵∠1＝130°，∠2＝150°，∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，故答案为：80；（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：如图①，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；（3）如图②，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，∵PM∥AB，∴∠1+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），∵∠1+∠2＝325°，∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．22．（6分）（2022春•顺德区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并直接写出结论．（3）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．解：（1）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，理由如下：如图，当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（3）①∵AB∥CD，∠EPF＝60°，∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ＝∠PEB，∠QFD＝∠PFD，∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝×300°＝150°；故答案为：150°；②∠EPF+2∠EQF＝360°．理由如下：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，设∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠EPF＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠EQF＝α+β，即∠EPF+2∠EQF＝360°．23．（6分）（2022春•云州区期中）如图，AD∥BC，射线OM上有一动点P，且∠ADP＝∠a，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠a、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）当点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．解：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图1，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）分两种情况：①当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图2，过P作PE∥AD交ON于点E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．24．（10分）（2022春•河东区期中）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，如图2，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为100°；请说明理由；（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．解：（1）∵PE∥AB，∠PAB＝135°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝45°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝180°﹣∠PCD＝55°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°，故答案为：100°；（2）∠DPC＝∠α+∠β，理由：过点P作PF∥AD，∴∠DPF＝∠ADP＝∠α，∵AD∥CB，∴PF∥CB，∴∠CPF＝∠PCB＝∠β，∵∠DPC＝∠DPF+∠CPF，∴∠DPC＝∠α+∠β；（3）分两种情况：当点P在射线AM上运动时，∠DPC＝∠β﹣∠α，理由：如图：过点P作PG∥AD，∴∠GPD＝∠ADP＝∠α，∵AD∥BC，∴PG∥BC，∴∠GPC＝∠BCP＝∠β，∵∠DPC＝∠GPC﹣∠GPD，∴∠DPC＝∠β﹣∠α；当点P在OB上运动时，∠DPC＝∠α﹣∠β，理由：如图：过点P作PH∥AD，∴∠HPD＝∠ADP＝∠α，∵AD∥BC，∴PG∥BC，∴∠HPC＝∠BCP＝∠β，∵∠DPC＝∠HPD﹣∠HPC，∴∠DPC＝∠α﹣∠β；综上所述：当点P在射线AM上运动时，∠DPC＝∠β﹣∠α；当点P在OB上运动时，∠DPC＝∠α﹣∠β．25．（10分）（2022春•汉川市期中）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．（1）如图1，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．①若∠4＝38°，求∠1的度数；②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；（2）如图2，EG平分∠MEF，EH平分∠MEB，直接写出∠GEH与∠EFC的数量关系．解：（1）①∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝38°，∴∠1的度数为38°；②EM∥FN，理由：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，∴∠MEF＝∠EFN，∴EM∥FN；（2）∠EFC＝2∠GEH，理由：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFC，∵EG平分∠MEF，∴∠MEG＝∠GEF＝∠GEH+∠FEH，∴∠GEH＝∠MEG﹣∠FEH，∵EH平分∠MEB，∴∠MEH＝∠BEH，∴∠MEG+∠GEH＝∠BEF+∠FEH，∴∠MEG﹣∠FEH+∠GEH＝∠BEF，∴2∠GEH＝∠BEF，∴∠EFC＝2∠GEH．26．（10分）（2022秋•沈阳期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是20°，当DP⊥OE时，x＝70；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，∴∠BOE＝20°，∵DE∥OB，∴∠DEO＝∠BOE＝20°；∵∠DOE＝∠DEO＝20°，∴DO＝DE，∠ODE＝140°，当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，即x＝70，故答案为：20，70；②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，∴∠EDF＝80°，又∵∠ODE＝140°，∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，∴x＝60；（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．分两种情况：①如图2，若DP在DE左侧，∵DE⊥OA，∴∠EDF＝90°﹣x°，∵∠AOC＝20°，∴∠EFD＝20°+x°，当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），解得x＝68；②如图3，若DP在DE右侧，∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，∴当∠EFD＝4∠