第15讲 综合除法和余数定理（教师版）

第15讲综合除法和余数定理（教师版）一、第15讲综合除法和余数定理（例题部分）1.求多项式除以x+2，所得的商和余式．【答案】解:先用一般的竖式除法计算所以，商式为3x-1，余数为-5．从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．

商式为3x-1．，余数为-5．【解析】【分析】在除式为一次式x-a时，可以采用这种简便的除法，称为综合除法．演算过程如下：(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．x的代数式常用记号f(x)或g(x)等表示，例如，用f(x)表示代数式，可记为f(x)=这时，f(1)就表示x=1时，代数式的值，即f(1)=同样地，有,等等．f(x)可以代表x的任一个代数式．但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的记号表示，如f(x)、g(x)、q(x)、(rx)等.采用上述记号，在除法中，我们有

①其中，f(x)表示被除式，g(x)表示除式，q(x)表示商式，r(x)表示余式，余式r(x)的次数小于除式g(z)的次数．如果g(x)是一次式x-a，那么r(x)的次数小于1，因此，r(x)只能为常数(0或非零常数).这时．余式也叫余数，记为r，即有

②在②中令x=a得f(a)=r因此，我们有以下重要定理：余数定理：多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。如除以x+2的余数为这与我们前面用综合除法求得的余数相同.又由②式．如果能被x-a整除，那么必有r=0．反之，如果r=0，那么能被x-a整除．因此，我们有：因式定理：如果多项式能被x-a整除，亦即有一个因式x-a，那么，反之，如果，那么x-a必为如果多项式的一个因式。2.求除以所得的商式和余数．【答案】解：用综合除法计算如下：所以，商式为，余数为5.【解析】【分析】综合法过程如下：(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.3.求多项式除以x-2所得的商式和余数．【答案】解：先将按降幂排列，=用综合除法，计算如下：

所以，商式为，余数为7．【解析】【分析】说明注意先将按降幂排列，如果有缺项，应该用零补足；再根据综合法的步骤：(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.4.用综合除法计算【答案】解：，先用除以。所以，我们有===因此．所求的商式为；余数为9．【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；

从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r=(ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x)，余数仍为r．5.

（1）求x-1除所得的余数；（2）求2x-2除所得的余数.【答案】（1）解：由余数定理，所求的余数为：

f(1)=7×15−4×14−6×12+5=2.

∴所得余数为2.

（2）解：由例4的说明，我们知道，除以ax+b的余数和除以的余数是相同的，

所以除以2x-2的余数和除以x-1的余数相同，

∴所求的余数为．【解析】【分析】（1）余数定理：多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)，由此计算即可.

（2）如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(这时可用综合除法)；得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r．

从而f(x)=a(x+)⋅1a⋅q(x)+r=(ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x)，余数仍为r．由此计算即可.6.多项式除以x-1，x-2，所得的余数分别为3和5．求除以(x-1)(x-2)所得的余式．【答案】解：根据题意，由余数定理知：

f(1)=3，f(2)=5；

设f(x)除以(x-1)(x-2),所得商式为q(x)，余式为cx+d，(因为除式是二次的，所以余式至多是一次的)，则f(x)=(x−1)(x−2)⋅q(x)+(cx+d)，所以，有由①、②解得因此，所求的余式为2x+1．【解析】【分析】本题余式cx+d的系数是待定的，可以利用余数定理来定出c、d．一般地，对于不相等的常数a、b，设f(x)除以(x−a)(x−b)，所得商式为q(x)，余式为cx+d，则f(x)=(x−a)(x−b)q(x)+(cx+d)③；所以解得即余式为.7.a、b是不相等的常数．若多项式f(x)被x-a和x-b整除，证明f(x)也被(x-a)(x-b)整除．【答案】证明：∵f(x)被x-a，x-b整除，由余数定理可知：

f(a)=0，f(b)=0，

设f(x)除以(x-a)(x-b)，所得商式为q(x)，余式为cx+d，(因为除式是二次的，所以余式至多是一次的)，则f(x)=(x−a)(x−b)⋅q(x)+(cx+d)，

∴，

∵a、b是不相等的常数，

∴解得：c=d=0，

∴余式为cx+d=0，

即f(x)被(x-a)(x-b)整除．【解析】【分析】根据余数定理，结合题意可知f(a)=0，f(b)=0，设f(x)除以(x-a)(x-b)，所得商式为q(x)，余式为cx+d，(因为除式是二次的，所以余式至多是一次的)，则f(x)=(x−a)(x−b)⋅q(x)+(cx+d)，代入可得方程组，由于a、b是不相等的常数可得c=d=0，余式为cx+d=0，即得证.8.试确定a和b的值，使f(x)=2x4−3x3+ax2+5x+b被(x+1)(x-2)整除．【答案】解：∵f(x)被(x+1)(x-2)整除，

∴f(x)被x+1和x-2整除，

根据因式定理，有

f(−1)=2×(−1)4−3×(−1)3+a×(−1)2+5×(−1)+b=a+b=0，

f(2)=2×24−3×23+a×22+5×2+b=4a+b+18=0，

即，

解得：.

∴a=-6，b=6.【解析】【分析】根据因式定理，结合题意可得f(−1)=0，f(2)=0，即得到一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.

9.证明：a3+b3+c3−3abc有因式a+b+c．【答案】证明：用综合除法：∵a+b+c除a3+b3+c3−3abc，余数为0，

∴a3+b3+c3−3abc有因式a+b+c，

并